四川省甘孜州2024-2025学年高一下期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省甘孜州2024-2025学年高一下期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．2B．C．D．
3．某学校高一､高二､高三年级学生人数之比为，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（ ）
A．7B．10C．15D．20
4．已知圆台上下底面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知事件，互斥，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
8．如图，四面体中，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（ ）
A．B．C．D．或
二、多选题
9．在中，为边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若，则或
C．若复数是纯虚数，则实数或－4
D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则
11．已知一直角三角形的两条直角边分别为1cm，2cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为，，，，，，，则这组数据的第百分位数是 （米）
13．某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据：
根据表中所给数据，可得相关系数 .（结果用四舍五入法保留2位小数）
（参考公式：相关系数，参考数据：，）
14．如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 .
四、解答题
15．如图，在平行四边形中，是的中点，且在直线上，且，记，，若.
（1）求的值；
（2）若，，且，求.
16．如图，梯形是水平放置的四边形的斜二测画法的直观图，已知，，．

(1)在下面给定的表格中画出四边形（不需写作图过程）；

(2)若四边形以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．
17．近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.

(1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.
18．已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．
(1)证明：；
(2)当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
19．当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.
(1)若，，.
①求；
②设的周长为，求的值；
(2)若，，求实数的最小值.
1．A
根据复数的四则法则计算即可.
【详解】.
故选：A.
2．B
根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，，由，得，所以.
故选：B
3．C
根据分层抽样的特点即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的特点知高一年级抽取学生人数为.
故选：C.
4．C
根据圆台的体积公式代入求解即可.
【详解】因为圆台的上､下底面积分别为，
所以该圆台的上､下底面的半径分别1，2，
如图所示：
即，，，所以，所以，
故圆台的高为2，则圆台的体积，
故选：.
5．B
利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解.
【详解】由事件，互斥，，得，而，
联立解得，故.
故选：B
6．A
由条件结合正弦定理列方程求，又，可得，由此可求.
【详解】由正弦定理可得，又，，，
所以，所以，
又，所以，
所以，
故选：A.
7．C
由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案.
【详解】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误；
B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；
C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确；
D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
8．D
利用异面直线的夹角定义和余弦定理求解.
【详解】取的中点为，连接，
在中，，且，
在中，，且，
因为异面直线与所成角的大小为，
所以直线的夹角为，则或，
所以在中，
当时，由余弦定理得，
，得，
当时，由余弦定理得，
，得，
故选：D
9．AB
根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解.
【详解】在中，，A选项正确；
，B选项正确；
在中，为边的中点，则，C选项错误；
，所以D选项错误；
故选：AB.
10．AD
根据复数的模长公式求解，进而即可判断选项A；由复数模长的几何意义即可判断选项B；根据纯虚数的意义求解，进而即可判断选项C；根据矩形的性质及向量加法和减法的几何意义即可判断D．
【详解】对于选项A，若，则，故选项A正确；
对于选项B，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，
即有无数个点与复数对应，故选项B错误；
对于选项C，若是纯虚数，
则，解得，故选项C错误；
对于选项D，若，则复平面内以，为邻边的平行四边形是矩形，
由矩形的对角线相等，则，即，故选项D正确．
故选：AD．
11．ABC
斜边长为，斜边上的高为，对轴分三种情况，结合圆锥的体积公式即可求解.
【详解】由题意斜边长为，
若以直角边为轴，则所求为，
若以直角边为轴，则所求为，
若以斜边为轴，则斜边上的高为，所求为.
故选：ABC.
12．
首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，
因为，故第百分位数为第个数.
故答案为：
13．
根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
，
则，
，
所以，.
故答案为：.
14．
先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值.
【详解】因为点在上，所以，
因为是的中点，所以，
又因为，（，），
所以，
所以，，计算可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
15．（1）2；（2）.
（1）先求出，再求出，比较系数即得解；
（2）由余弦定理求出，再根据即得解.
【详解】（1）∵是的中点，∴，
∵，∴.
由可知.
又∵，∴.
（2）∵，及可知.，
在中，由，，及余弦定理可知
得，
解得.
∴
.
∴.
16．(1)图形见详解
(2)
【详解】（1）因为与轴重合，则与轴重合，且；
与轴平行，则与轴平行，且；
与轴重合，则与轴重合，且；
连接，即可得四边形.

（2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，
故体积为.

17．(1)，中位数为74，平均数为72.5
(2)方案一受到奖励的商家更多，理由见解析
（1）由频率分布直方图中各组频率之和等于1，列出方程求出，利用中位数定义和平均数公式分别计算即得；
（2）按照方案一要求，利用频率分布直方图先求出平均日利润超过78百元的商家所占的比率，再求对应的商家数目；方案二只需取前，即前200个商家家，比较即得结论.
【详解】（1）由题意可知，解得.
设中位数为，则，解得，所以中位数为74，
平均数为
（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质、线面平行的性质，结合菱形的性质推理得证.
（2）证得平面，建立空间直角坐标系，结合已知的线面角表示相关点的坐标，再利用面面角的向量法求解.
【详解】（1）在四棱锥中，连接交于，由菱形，得，且为、的中点，
由，得，而，面，则面，
又面，于是，又平面，平面平面，面，
则，所以.
（2）由（1）得，，由，为中点，得，
又，平面，则平面，
于是与平面所成的角为，，，,
以为原点，建立如图的空间直角坐标系，记，
，
则，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，
，由图知，二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19．(1)①；②
(2)
【详解】（1）①
，
则
②设
而，
在中，由余弦定理得:
同理有
则
在中由余弦定理知: 即
又则
又等面积法知：
则，，
故
（2）因为
所以
所以
所以所以为直角三角形，
点为的费马点，则，
设，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．
月份
7
8
9
10
11
12
销售量
11
12
14
15
18
20
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C
B
A
C
D
AB
AD
题号
11









答案
ABC