2024-2025学年四川省甘孜州高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省甘孜州高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.1−7i3−i=( )
A. 1−2iB. −12−52iC. 1+2iD. −12+52i
2.已知向量a=(m+1,1)，b=(3,−3)，若a//b，则m=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
3.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3：2：2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为( )
A. 7B. 10C. 15D. 20
4.已知圆台上下底面积分别为π，4π，母线长为 5，则该圆台的体积为( )
A. 7π3B. 10π3C. 14π3D. 20π3
5.已知事件A，B互斥，P(A∪B)=35，且P(A)=3P(B)，则P(A−)=( )
A. 1720B. 1120C. 920D. 320
6.在△ABC中，若A=π3，a= 3，b=1，则B=( )
A. π6或5π6B. π6C. π3D. π3或2π3
7.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是( )
A. “甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B. “甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
8.如图，四面体ABCD中，AC=3，BD=2，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为( )
A. 72 B. 132
C. 192 D. 72或 192
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，M为边AB的中点，则( )
A. AB=CB−CAB. BC=BA+AC
C. CM=CB+CAD. BM=CB−CM
10.已知i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A. 若复数z=3+4i，则|z−|=5
B. 若|z|=1，则z=±i或±1
C. 若复数(m2+3m−4)+(m2−2m−24)i是纯虚数，则实数m=1或−4
D. 在复平面内，z1，z2所对应的向量分别为OZ1,OZ2，其中O为坐标原点，若OZ1⊥OZ2，则|z1+z2|=|z1−z2|
11.已知一直角三角形的两条直角边分别为1cm，2cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是( )
A. 23π cm3B. 43π cm3C. 4 515π cm3D. 4 55π cm3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某次体检，7位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.41，1.80，1.69，1.77，则这组数据的第75百分位数是______(米)．
13.某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量y(单位：万件)，得到以下数据：
根据表中所给数据，可得相关系数r≈ ______.(结果用四舍五入法保留2位小数)
(参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2，参考数据：i=16(xi−x−)(yi−y−)=32， 42≈6.48)
14.如图，在△ABC中，点P在边BC上，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，且P是MN的中点，若AM=mAB，AN=nAC(m,n>0)，则1m+2n的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且F在直线DC上，且DF=tFC，记AB=a，AD=b，DE+BF=23a+12b．
(1)求t的值；
(2)若|AB|=3，∠DAB=π3，且|BF|= 3，求|DE|.
16.(本小题15分)
如图1，梯形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知O′A′//B′C′，O′A′=2，O′B′=B′C′=3．
(1)在图2给定的表格中画出四边形OABC；
(2)若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征．
17.(本小题15分)
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润(单位：百元)进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示．

(1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前13的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由．
18.(本小题17分)
已知四棱锥P −ABCD，底面ABCD为菱形，PD=PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD//平面AMHN．
(Ⅰ)证明：MN⊥PC；
(Ⅱ)当H为PC的中点，PA=PC= 3AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求二面角P−AM−N的余弦值．
19.(本小题17分)
当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°的点M为△ABC的“费马点”；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为△ABC的“费马点”.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是△ABC的“费马点”．
(1)若acsC+ 3asinC−b−c=0，a=2 3，B200，所以方案一受到奖励的商家更多．
18.(Ⅰ)证明：连接AC交BD于O，
因为ABCD为菱形，
所以BD⊥AC，且O为AC、BD的中点，
∵PD=PB，
∴PO⊥BD．
∵AC∩PO=O，且AC⊂面PAC、PO⊂面PAC．
∴BD⊥面PAC．
∵PC⊂面PAC，
∴BD⊥PC．
∵BD//平面AMHN，且面PBD∩平面AMHN=MN，BD⊂面PBD，
∴DB//MN．
∴MN⊥PC．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得DB⊥AC且PO⊥BD，
∵PA=PC，且O为AC中点，
∴PO⊥AC，
又AC∩BD=O，AC⊂面ABCD，BD⊂面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
∵PA 与平面 ABCD 所成的角为∠PAO=60°．
可得AO=12PA，PO= 32PA，
∵PA= 3AB，
∴BO= 36PA．
以O为原点，建立如图的空间直角坐标系O−xyz．
记PA=2，∴O(0,0,0)，A(1,0,0)，
B(0, 33,0),C(−1,0,0),D(0,− 33,0)，P(0,0, 3)，H(−12,0, 32)，
∴DB=(0,2 33,0)，AH=(−32,0, 32)，AB=(−1, 33,0)，AP=(−1,0, 3)，
设平面AMHN的法向量为m=(x,y,z)，
由m⋅DB=2 33y=0m⋅AH=−32x+ 32z=0，取x=1，可得m=(1,0, 3)．
设平面PAB的法向量为n=(a,b,c)，
由n⋅AB=−a+ 33b=0n⋅AP=−a+ 3c=0，取a=1，可得n=(1, 3, 33)
cs=m⋅n|m||n|= 3913，
所以二面角 P−AM−N 的余弦值为 3913．
19.解：(1)①由sinAcsC+ 3sinAsinC−sinB−sinC=0,a=2 3,B0,n>0,x>0)，则由|PB|+|PC|=t|PA|，可得m+n=t．
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
结合|AC|2+|AB|2=|BC|2，可得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
由x2>0，整理得m+n+2=mn，且m>0，n>0，
故m+n+2=mn≤(m+n2)2，当且仅当m=n，即m=n=1+ 3时，等号成立．
因为m+n=t，所以t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(负值舍去)．
因此，t≥2+2 3，可知实数t的最小值为2+2 3． 月份x
7
8
9
10
11
12
销售量y
11
12
14
15
18
20