人教版新课标B必修4两角和与差的余弦表格教案设计

这是一份人教版新课标B必修4两角和与差的余弦表格教案设计，共5页。
1、知识目标
（1）利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式
（2）灵活正反运用两角差的余弦
2、能力目标
（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。
（2）培养学生注重知识的形成过程。
3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。
（二）教学重点、难点
重点： （1）两角差的余弦
（2）灵活应用两角差的公式解决问题
难点： （1）两角差的余弦的推导
（2）两角差的余弦的灵活应用
（三）教学方法
本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易接受；在公式的应用上采用练习讲解法。
（四）教学内容安排
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习向量的数量积以及它的主要作用：求两个向量夹角的余弦值。
正板书：
例1：已知向量
，
，求的余弦
解：=1
=1
=
=
==
即：cs15
=
=
学生回答，老师写副板书；写出向量的数量积以及它的变形（求夹角的余弦值）
师：求向量夹角的余弦值，应具备哪些条件？
生：应该求出两个向量的数量积以及它们各自的模
师：回答很好。我们先来求这两个向量的模以及它们的数量积。
生：上黑板板书。
师：下面我们来看看这道题的几何解释。
由上面的代数解法可知，它们的模都是1，这说明它们都在单位圆上。（给出幻灯片或边说边画）
如果，，则∠AOB==15；通过图形可知，实际上我们求的就是cs15
以旧带新，注意创设问题的情境，为引出新课程打基础。
通过这道题一来巩固向量积，二来为引出两角差的余弦做好准备。
先通过代数方法来求；
从几何图形上直观的反应这道题。
加深同学们从几何图形上进一步理解两个向量夹角的余弦
练习1：向量与向量夹角的余弦值
解：cs=
师：思考题：请同学们按照上述想法来看这道题
师：提醒学生从几何图形方面想问题。并找学生回答。
生：在坐标系的单位圆中画出向量，由图形可知，这两个向量的夹角是60，所以它们夹角的余弦值是
让学生深刻理解和掌握通过图形可以解决两个向量夹角的余弦
利用向量积公式出发来求，碰到的困难是“求不出向量积”；逼着学生从几何角度想问题。
公式的推导以及理解
公式cs（α—β）的推导，以及公式的结构。
练习2：设∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夹角的余弦值是多少？
解：点A，点B，
那么，
所以cs∠AOB=cs（α－β）=cs==
总结：
cs(α－β)=csαcsβ+sinαsinβ.
公式cs（α+β）的推导，以及公式的结构。
cs（α+β）=cs[α-（-β）]
=
=
师：如果上述图形中∠XOA=α，∠XOB=β，那么向量，夹角的余弦值是多少？
生：点A，点B，那么，
所以cs∠AOB=cs（α-β）=cs==
师：非常好。我们注意到在推导过程中，角α，β没有任何限制。所以cs（α-β）=
师：要解决的问题是两角和的余弦，而我们现在知道的是两角差的余弦，如何能把和的问题转化成差的问题？
生：把α+β写成α-（-β）
师：对，实质上就是用-β代替公式中的β，然后再借助于诱导公式化简。
由特殊到一般。推导出两角差的余弦。
通过对问题的分析和提醒，使得学生有一个目标感。
公式的应用
例2：已知csα=（），求cs（）+cs（）
解：因为csα=，且
所以sin==
因此cs（）+cs（）=cscsα－sinsinα+cscsα+sinsinα=2 cscsα=
练习：求cs105O的值
解：cs105=cs（60+45）=
==
练习1：P135练习A2；B1
例3：已知锐角α，β满足csα=，cs（α+β）=，求csβ的值
解：因为α，β都是锐角，所以sinα=；而cs（α+β）=，所以sin（α+β）=
则csβ=cs[（α+β）-α]=cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα=
师：请看这道题
生：由α的余弦求出α的正弦，而是特殊值，由两角差的余弦公式可以求出
师：提醒学生在求α的正弦时，别忽略了依据角的范围决定它的正负。
生：105可以拆成60与45的和
师：让学生上黑板演示。最好是使用两种方法。一种是把α+β拆开，分别求α，β的正余弦；另一种是把β拆成[（α+β）-α]；让学生比较两种方法的繁简，从而掌握这种拆未知角的方法。
强化公式的应用
了解学生使用公式的情况
通过习题强化公式的灵活应用
给以相应的练习题来培养学生计算的能力和运用公式的本领。同时由其引出例3
归纳小结
本节主要是从向量的数量积以及利用向量在单位圆中的图形两种思路探讨了两角差的余弦公式的推导；灵活使用两角和与差的余弦。
依赖板书，与学生共同总结本节课的内容。
使学生对本课的知识点有一个完成得清晰的认识，体现了由特殊到一般，以及数形结合的教育思想；
帮助学生梳理知识点，同时让学生掌握如何拆分角转化成两角和与差的三角函数。
布置作业
看书复习
P135B组习题3、4、5
课后思考：两角和的余弦公式
巩固本节课所学的知识。注重公式的形成过程。