2024-2025学年湖北省孝感市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省孝感市高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=−2−i，则z(z−+i)的虚部是( )
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
2.已知向量a=(−3,1)，b=(2,1)，则a在b方向的投影向量为( )
A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (1,−2)
3.已知α∈(π2,π)且tanα+tan(π4−α)=53，则tanα=( )
A. −13B. −2C. 13D. 2
4.在△ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，|a|=1，|b|=|c|=2，则a⋅b+b⋅c+c⋅a=( )
A. 3B. −3C. −92D. 92
5.下列命题：
①若a,b都是非零向量，则(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)；
②a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；
③λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线；
④若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.在△ABC中，B=π3，BD=2DA，CD=2，则43AB+2BC的取值范围为( )
A. (2,4]B. (4,8]C. (0,4]D. (1,2]
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,00)的图像的两条相邻对称轴之间的距离为π2．
(1)求函数f(x)在区间[−π2,π2]上的单调递减区间；
(2)若关于x的方程3[f(x)]2+mf(x)+1=0在区间[−π6,π3]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德⋅费马(1601−1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2 3，2 3sinB=bsinB+C2，点P是△ABC的“费马点”．
(1)求角A；
(2)若PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA=−4，求△ABC的周长；
(3)在(2)的条件下，设f(t)=9t−n⋅3t+(|PA|+|PB|+|PC|)2，若当t∈[1,2]时，不等式f(t)≥0恒成立，求实数n的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由z=−2−i，得z−=−2+i，
∴z(z−+i)=(−2−i)(−2+2i)=4−4i+2i−2i2=6−2i，
则z(z−+i)的虚部是−2．
故选：B．
由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为向量a=(−3,1)，b=(2,1)，所以a⋅b=−5，|b|= 5，
a在b方向的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−5 5×b 5=−b=(−2,−1)．
故选：A．
根据平面向量的投影向量的定义进行求解．
本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为α∈(π2,π)且tanα+tan(π4−α)=53，
所以tanα+1−tanα1+tanα=53，
整理得，3tan2α−5tanα−2=0，
则tanα=−13或tanα=2(舍)．
故选：A．
由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，
则a+b+c=0，
则a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=0，
又|a|=1，|b|=|c|=2，
则a⋅b+b⋅c+c⋅a=−12+22+222=−92．
故选：C．
由题意可得：a+b+c=0，两边平方可得：a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=0，然后求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：对于①，向量的数量积不满足结合律，故①错误；
对于②，|a|=|b|且a//b⇔a=b或a=−b，
所以，|a|=|b|且a/​/b是a=b的必要不充分条件，故②错误；
对于③，当λ=μ=0时，a与b可以为任意向量，满足λa=μb=0，
但a与b不一定共线，故③错误；
对于④，若A，B，C，D是不共线的四点，
当AB=DC时，则AB/​/CD且|AB|=|DC|，
此时，四边形ABCD为平行四边形；
当四边形ABCD为平行四边形时，
由相等向量的定义可知AB=DC，
所以，若A，B，C，D是不共线的四点，
则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，故④对．
故选：A．
由向量的数量积的定义可判断①；由|a|=|b|且a/​/b，可得a=b或a=−b，从而得|a|=|b|且a/​/b是a=b的必要不充分条件，即可判断②；举反例即可判断③；由AB=DC且A，B，C，D是不共线的四点，可得四边形ABCD为平行四边形；由四边形ABCD为平行四边形，可得AB=DC且A，B，C，D是不共线的四点，即可判断④．
本题考查了平面向量数量积的综合应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由BD=2DA，得
43AB+2BC=43⋅32BD+2BC=2(BD+BC)，
在△BCD，由余弦定理得：
BD2+BC2−2BD⋅BC⋅csπ3=CD2，
即BD2+BC2−BD⋅BC=4，
则(BD+BC)2=4+3BD⋅BC≤4+34(BD+BC)2，
即BD+BC≤4，当且仅当BD=BC时等号成立，
因此2− 3，
所以−π3