2024-2025学年湖北省孝感市高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省孝感市高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=−2−i，则z(z−+i)的虚部是( )
A. 2B. −2C. 2iD. −2i
2.已知向量a=(−3,1)，b=(2,1)，则a在b方向的投影向量为( )
A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (1,−2)
3.已知α∈(π2,π)且tanα+tan(π4−α)=53，则tanα=( )
A. −13B. −2C. 13D. 2
4.在△ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，|a|=1，|b|=|c|=2，则a⋅b+b⋅c+c⋅a=( )
A. 3B. −3C. −92D. 92
5.下列命题：
①若a,b都是非零向量，则(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)；
②a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；
③λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线；
④若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.在△ABC中，B=π3，BD=2DA，CD=2，则43AB+2BC的取值范围为( )
A. (2,4]B. (4,8]C. (0,4]D. (1,2]
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,00)的图像的两条相邻对称轴之间的距离为π2．
(1)求函数f(x)在区间[−π2,π2]上的单调递减区间；
(2)若关于x的方程3[f(x)]2+mf(x)+1=0在区间[−π6,π3]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德⋅费马(1601−1665)于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2 3，2 3sinB=bsinB+C2，点P是△ABC的“费马点”．
(1)求角A；
(2)若PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA=−4，求△ABC的周长；
(3)在(2)的条件下，设f(t)=9t−n⋅3t+(|PA|+|PB|+|PC|)2，若当t∈[1,2]时，不等式f(t)≥0恒成立，求实数n的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.A
6.B
7.C
8.D
9.ACD
10.ABD
11.BCD
12.(0,115)或(12,−5)
13.(−π4,π6)∪(π4,π3)
14.−34
15.(1)由题意得z=1eπ2i+(1−i 2)2024−1−i3(1+i)2
=1csπ2+isinπ2+[(1−i)22]1012−1−(−i)1+2i+i2=1i+(−i)1012−1+i2i
=−i+i1012−−i−i2−2i2=−i+1−(12−12i)=12−12i，
所以|z|= (12)2+(−12)2= 22；
(2)根据z1=eπ4i=csπ4+isinπ4= 22+ 22i，z1对应向量OA，可得OA=( 22, 22)，
因为z2=−1+3i对应的向量为OB=(−1,3)，
所以OA与OB所成的角为θ，满足csθ=OA⋅OB|OA|⋅|OB|= 22×(−1)+ 22×3 12+12× 1+9= 55．
16.(1)因为(sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC，
化简得sin2A+sin2C−sin2B=sinAsinC，
由正弦定理得：a2+c2−b2=ac，
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
因为B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)由tanA=34，A∈(0,π)得，sinA=35，csA=45，
因为C=π−A−B，所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA
=35csπ3+45sinπ3=35⋅12+45⋅ 32=3+4 310，
在△ABC中，由正弦定理bsinB=csinC得 3sinπ3=c3+4 310，
所以c=3+4 35．
17.(1)因为AN=2NC，故BN=BC+CN=BC+13CA，
又因为BP与BN共线，设BP=μBN，则BP=μ(BC+13CA)=μBC+13μCA，
由题意知BP=λBC+115CA，故λ=μ13μ=115，
所以λ=μ=15，实数λ的值为15；
(2)因为BM=MC,AN=2NC，
所以AM=12(AB+AC),BN=AN−AB=23AC−AB，
所以AM⋅BN=12(AB+AC)⋅(23AC−AB)=12(23AC2−AB2−13AB⋅AC)
=12(23×62−22−13×2×6⋅csπ3)=9，
|AM|= 14(AB2+AC2+2AB⋅AC)= 14(62+22+2×6×2×12)= 13，
|BM|= 49AC2+AB2−43AB⋅AC= 49×62+22−43×2×6×12=2 3，
所以cs∠MPN=AM⋅BN|AM|⋅|BN|=9 13⋅2 3=3 3926．
18.(1)由题意得f(x)=12sin2ωx+ 3( 22csωx+ 22sinωx)( 22csωx− 22sinωx)
=12sin2ωx+ 32(cs2ωx−sin2ωx)=12sin2ωx+ 32cs2ωx=sin(2ωx+π3)，
由f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，可得f(x)的周期T=2×π2=π，可得2ω=2πT=2，ω=1．
所以f(x)=sin(2x+π3)，由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，
可得f(x)的减区间为[π12+kπ,7π12+kπ](k∈Z)，取k=−1、0，与f(x)的减区间取交集，
可得f(x)在区间[−π2,π2]上的单调递减区间为[−π2,−5π12]与[π12,π2]；
(2)当x∈[−π6,π3]时，2x+π3∈[0,π]，
可知f(x)在[−π6,π12]上是增函数，在[π12,π3]上是减函数，最小值为0，最大值为1．
设t=f(x)，则方程3[f(x)]2+mf(x)+1=0可化为3t2+mt+1=0，
显然t=0不是方程的根，所以将方程化为m=−3t−1t，0