2024-2025学年湖北省部分重点高中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省部分重点高中高一（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=a2−4+(a+2)i为纯虚数，则实数a的值为( )
A. 2B. 2或−2C. −2D. −4
2.与向量a=(1,− 3)垂直的单位向量是( )
A. ( 32,12)B. (12, 32)
C. ( 32,12)和(− 32,−12)D. (12, 32)和(−12,− 32)
3.已知圆锥的母线长为2，高为 3，则圆锥的全面积为( )
A. 5πB. 4πC. 3πD. 2π
4.已知向量AB=(4,2)，AC=(−1,3)，则△ABC的面积为( )
A. 5 2B. 7C. 10D. 14
5.正方体中，A，B，C，D分别是所在棱的中点，则下列图形中AB与CD是异面直线，且所成的角为60°的是( )
A. B.
C. D.
6.设A，B，C，D是同一个半径为2的球的球面上四点，△ABC为等腰直角三角形且面积为3，则三棱锥D−ABC体积的最大值为( )
A. 9B. 6C. 92D. 3
7.在△ABC中，AB= 21，BC=5，AC=4，O为△ABC的外心，则OA⋅OB的值为( )
A. −72B. 72C. −7 32D. 7 32
8.已知向量a，b满足：|a|=1，|a+2b|=3，则|b|+|a+b|的最大值为( )
A. 3B. 10C. 4D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z=1−i3−4i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. 复数z的虚部为125i
B. |z|= 25
C. 复数z对应的点在第一象限
D. 复数ω满足|ω|=1，则|ω−z|的最大值为 25+1
10.一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为x0，方差记为y0，下列说法错误的是( )
A. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于x0
B. 去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于y0
C. 去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于y0
D. 去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于y0
11.如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱CD上的动点(M、N不与四面体的顶点重合).记BN与DM所成的角为φ，BN与平面MCD的所成的角为θ，平面MCD与平面BCD的夹角为β，则φ，θ，β的大小关系不可能是( )
(注：平面α与平面β相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角)
A. φ>θ>βB. φ>β>θC. β>θ>φD. β>φ>θ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我市某所高中共有学生1800人，其中一、二、三年级的人数比为5：4：3，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为______．
13.已知向量a,b,c满足|b|=1，|c|= 7，2a+b+c=0.若a与b夹角是2π3，则|a|= ______．
14.设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M在正方体的表面上运动，且满足A1M与平面ABCD成45°的角，则点M轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
复数z的共轭复数为z−,i为虚数单位．
(1)若1+i是关于z的实系数一元二次方程az2+bz+1=0的一根，求实数a，b的值．
(2)若3z−−|z|=7−9i，求复数z．
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=4，AC=3，BC=5．
(1)求证：A1B⊥平面AB1C；
(2)求直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取500名学生的竞赛成绩为样本，按照[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在[30,90)内的学生的平均成绩为x1−=65分，方差为s12=200；成绩在[90,150]内的学生的平均成绩为x2−=115分，方差为s22=225；样本的学生的平均成绩为x−=97分.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)成绩位列前60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？(取整数分)
(3)求样本的方差s2．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=3 3，AB⋅AC=6，且有3csAa+csBb=2csCc．
(1)求角A和角C；
(2)若BD=2DC，求|AD|．
19.(本小题17分)
(1)如图1，直线l与△MON的三边所在直线分别相交于P，Q，R三点.若OP=mPM，MQ=nQN，NR=tRO，证明：mnt=−1．
(2)四面体ABCD中，E，F分别为棱AB，CD的中点，经过EF的平面α分别与棱BC，DA相交于点G，T(不与顶点重合)，证明：
①若AC//α，则BD//α(如图2)；
②平面α始终平分四面体ABCD的体积.请仅就AC与平面α相交于点K时(如图3)证明此结论．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可知，复数z=a2−4+(a+2)i为纯虚数，
由纯虚数的定义可得，a2−4=0a+2≠0，
解得a=2，
即实数a的值为2．
故选：A．
利用复数的概念可得出关于实数a的等式与不等式，即可解得实数a的值．
本题主要考查了纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设与向量a=(1,− 3)垂直的单位向量是e=(x,y)，
由题意可得a⊥e，|e|=1，
所以a⋅e=x− 3y=0|e|= x2+y2=1，解得x= 32，y=12或x=− 32，y=−12，
故e=( 32,12)或e=(− 32,−12)．
故选：C．
设与向量a=(1,− 3)垂直的单位向量是e=(x,y)，由题意可得a⊥e，|e|=1，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于x、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意圆锥的母线长为2，高为 3，
可得圆锥的底面半径为r= 22−( 3)2=1，
则圆锥的全面积为πr2+πrl=π×12+π×1×2=3π．
故选：C．
由勾股定理得出底面半径，进而由圆的面积公式以及圆锥的侧面积公式得出圆锥的全面积．
本题考查了圆锥的全面积公式，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为向量AB=(4,2)，AC=(−1,3)，
所以cs∠BAC=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=−4+62 5× 10= 210，
则sin∠BAC=7 210，
故S△ABC=12|AB|⋅|AC|sin∠BAC=12×2 5× 10×7 210=7．
故选：B．
利用平面向量数量积的坐标运算可求得cs∠BAC的值，结合同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：对于选项A，连接NG、MH、EQ，如下图所示：
在正方体EFGH−MNPQ中，因为C、D分别为FG、FN的中点，
所以CD//NG，
同理可证AB//EQ，由图可知，AB、CD为异面直线，
因为MN/​/GH，MN=GH，
故四边形MNGH为平行四边形，
故MH//NG，则MN/​/CD，
因为四边形MQHE为正方形，所以MH⊥EQ，故AB⊥CD，故A不满足要求；
对于选项B，连接PM、EQ、EG、QG，如下图所示：
由图可知，直线AB、CD为异面直线，
因为A、B分别为HQ、HE的中点，所以AB//EQ，同理可得CD/​/MN，
因为ME//PG，ME=PG，
故四边形MEGP为平行四边形，故MP//EG，
所以异面直线AB、CD所成角等于∠QEG或其补角，
在正方体EFGH−MNPQ中，易知△QEG为等边三角形，故∠QEG=60°，
故异面直线AB、CD所成角为60°，故B满足要求；
对于选项C，连接BC、AD、MN，如下图所示：
在正方体EFGH−MNPQ中，MQ//FG，MQ=FG，
因为A、D分别为MQ、FG的中点，所以AM/​/DF，AM=DF，
所以四边形ADFM为平行四边形，所以AD//FM，
因为B、C分别为EM、EF的中点，所以BC//FM，故BC/​/AD，
所以，AB、CD共面，故C不满足要求；
对于选项D，在正方体EFGH−MNPQ中，取棱GH的中点S，连接QG、AS、BS，
由图可知，直线AB、CD为异面直线，
因为C、D分别为PG、PQ的中点，所以CD/​/PQ，同理可证AS//PQ，故AS//CD，
故异面直线AB、CD所成角为∠BAS或其补角，
因为EF/​/GH，EF=GH，B、S分别为EF、GH的中点，
所以EB//HS，EB=HS，
故四边形BEHS为平行四边形，所以BS=HE，BS//EH，
因为EH⊥平面HGPQ，故BS⊥平面HGPQ，
因为AS⊂平面HGPQ，故BS⊥AS，
不妨设正方体的棱长为2，
则BS=EH=2，AS= AH2+HS2= 2，
所以tan∠BAS=BSAS= 2，故∠BAS≠60°，故D不满足要求．
故选：B．
利用异面直线的定义结合异面直线所成角的定义逐项判断即可．
本题考查线线角的计算，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为△ABC为等腰直角三角形且面积为3，
不妨设AB⊥AC，设AB=AC=a，
则S△ABC=12a2=3，
所以a= 6，
设△ABC的外接圆的圆心为E，半径为r，
则r=12BC= 22a= 3，
则球心O到平面ABC的距离OE= OB2−r2= 22−( 3)2=1，
当D、O、E共线且O在线段DE上时，三棱锥D−ABC的高最大为1+2=3，
此时三棱锥D−ABC的体积也最大，最大值为13×3×3=3．
故选：D．
求得△ABC外接圆半径r，进而可得球心O到平面ABC的距离，结合球的性质可知三棱锥D−ABC的高的最大值，即可得结果．
本题考查几何体体积的计算，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意作图如下：
在△ABC中根据余弦定理得到cs∠ACB=AC2+BC2−AB22⋅AC⋅BC=16+25−212×5×4=12，
整理后求得∠ACB=π3，
根据图形易知∠AOB=2∠ACB=2π3，
在△ABC中根据得到ABsin∠ACB=2R，其中R为△ABC外接圆的半径，
解得2R= 21sinπ3=2 7，进而求得R=OA=OB= 7，
所以OA⋅OB= 7× 7×cs2π3=−72．
故选：A．
由余弦定理求得内角的值，根据圆的性质，可得向量夹角，由正弦定理求得外接圆的半径，利用向量数量积的定义式，可得答案．
本题主要考查平面向量的数量积以及正余弦定理，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据基本不等式整理可以得到：
|b|+|a+b|≤2 b2+(a+b)22=2 b2+a2+2a⋅b+b22=2 2a2+4a⋅b+4b24
=2 a2+(a+2b)24=2 1+324= 10，
并且|b|=|a+b|= 102时，可以取得等号．
故选：B．
根据条件及不等式(a+b2)2≤a2+b22求最大值即可．
本题主要考查平面向量的数量积和利用基本不等式求最值，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：由题意可知，复数z=1−i3−4i=(1−i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4i−3i−4i232+42=7+i25=725+125i，
对于A，复数z的虚部为125，故A错误；
对于B，复数z的模长为|z|= (727)2+(125)2= 25，故B正确；
对于C，复数z对应的点为(727,125)，在第一象限，故C正确；
对于D，设ω=a+bi，则a2+b2=1，ω−z=(a−727)+(b−127)i，
可知|ω−z|= (a−727)2+(b−127)2，
可以等价为点(a,b)到点(727,127)的距离的最大值，
因为a2+b2=1，
所以点(a,b)的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的单位圆，
如图所示，
则点(727,127)到圆周上的点的距离最大值为到圆心距离加半径，
即为 (727)2+(125)2+1= 25+1，故D正确．
故选：BCD．
根据复数的除法运算，求出复数，根据虚部、复数的模、复数对应复平面内点的象限、和复平面内点的轨迹的概念，分别判断各选项正误．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，举例：数据1，2，3，4，10，其平均数为1+2+3+4+105=4，
去掉1和10后，新数据2，3，4的平均数为2+3+43=3，不相等，故A错误；
对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大，
去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B正确；
对于C，举例：设这5个互不相等的数据为0，0.1，0.2，0.3，4，
则它们的平均数为0+0.1+0.2+0.3+45=0.92，
方差为(0−0.92)2+(0.1−0.92)2+(0.2−0.92)2+(0.3−0.92)2+(4−0.92)25=2.3816，
去掉最小值0后，新数据为0.1，0.2，0.3，4，其平均数为0.1+0.2+0.3+44=1.15，
其方差为(0.1−1.15)2+(0.2−1.15)2+(0.3−1.15)2+(4−1.15)24=2.7125，
则2.3816csβ>csφ，则θ1 33，即csθ>csφ>csβ，则θ