2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高二（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高二（下）期末数学试卷（B卷）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,10)组成的一个样本，得到经验回归方程为y =2x+0.6，且x−=3，去除两个样本点(−4,−6)和(4,8)后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为( )
A. y =2x+0.5B. y =2x+0.6C. y =2x+0.7D. y =2x+0.8
2.曲线E：4x2+9y2−36=0的离心率为( )
A. 53B. 33C. 23D. 52
3.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，a10=19，则S20=( )
A. 320B. 400C. 480D. 560
4.某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有( )
A. 8种B. 10种C. 12种D. 14种
5.已知圆C1：(x−1)2+y2=1，圆C2：(x−3)2+y2=9，则两个圆的位置关系为( )
A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切
6.已知函数f(x)=lnx+ax2−2x在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A. a>12B. a≥12C. a>1D. a≥1
7.若函数f(x)=ex−x图象在点(x0,f(x0))处的切线方程为y=kx+b，则k−b的最小值为( )
A. 1+1eB. −1−1eC. 1−1eD. −1+1e
8.宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦.”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻，现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为( )
A. 47B. 37C. 56D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲组样本数据：x1，x2，x3，x1+x2+x33，乙组样本数据：x1，x2，x3，x4，x1+x2+x3+x44，其中x1m+n2．
18.(本小题17分)
在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D.点Q在线段PD上，且满足DQ= 32DP.当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的标准方程．
(2)过点F(1,0)的直线l交曲线C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交曲线C于D，E两点，其中A，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．
(ⅰ)证明：直线MN过定点；
(ⅱ)求△FMN面积的最大值．
19.(本小题17分)
为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛.该挑战赛共分n(n∈N∗,n≥2)关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束.已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为p(00，多次求导研究其单调性，即可证明．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式恒成立问题，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】x24+y23=1；
(i)证明过程见解析；
(ii)949．
【解析】(1)设点Q(x,y)是所求曲线C上的一点，且P(x1,y1)，
因为PD⊥x轴于D，
所以D(x1,0)，
因为DQ= 32DP，
所以x1=xy1=2 3y，
因为点P是圆x2+y2=4上任意一点，
所以x2+(2 3y)2=4，
整理得x24+y23=1，
则曲线C的标准方程为x24+y23=1；
(2)(i)证明：当直线l的斜率存在且不为0时，
设直线l方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−1)x24+y23=1，消去y并整理得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，
由韦达定理得x1+x2=8k23+4k2，
所以y1+y2=k(x1+x2−2)=k(8k23+4k2−2)=−6k3+4k2，
可得M(4k23+4k2,−3k3+4k2)，
因为直线DE与直线l垂直，
所以直线DE的方程为y=−1k(x−1)，
设D(x3,y3)，E(x4,y4)，
联立y=−1k(x−1)x24+y23=1，消去y并整理得(3k2+4)x2−8x+4−12k2=0，
由韦达定理得x3+x4=83k2+4，
所以y3+y4=−1k(x3+x4−2)=6k3k2+4，
可得N(43k2+4,3k3k2+4)，
则kMN=3k3k2+4+3k3+4k243k2+4+4k23+4k2，
所以直线MN的方程为y−3k3k2+4=3k3k2+4+3k3+4k243k2+4−4k23+4k2(x−43k2+4)，
即y−3k3k2+4=−7k4(k2−1)(x−43k2+4)，
令y=0，
解得x=47，
所以直线MN过定点G(47,0)；
当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x=1，
此时A(1,32),B(1,−32)，
所以M(1,0)，
直线DE的方程为y=0，
可得D(−2,0)，E(2,0)，
则N(0,0)，
所以直线MN过定点G(47,0)，
综上所述，直线MN过定点G(47,0)；
(ii)由(i)知，直线MN过定点(47,0)，且yM=−3k3+4k2,yN=3k3k2+4，
可得|GF|=|1−47|=37，
所以S△FMN=12|GF||yM−yN|=314⋅|3k3+4k2+3k3k2+4|
=92⋅|k|(1+k2)(3+4k2)(4+3k2)=92⋅|k|+1|k|12(k2+1k2)+25，
令t=|k|+1|k|，t≥2，
此时|k|+1|k|12(k2+1k2)+25=t12t2+1=112t+1t，
令y=12t+1t，
易知函数y=12t+1t在[2,+∞)上单调递增函数，
所以当t=2时，ymin=492．
即k=1时，△FMN面积取得最大值，最大值为92×249=949．
(1)设点Q(x,y)是所求曲线C上的一点，且P(x1,y1)，由DQ= 32DP，得到x1=xy1=2 3y，将其代入圆的方程，即可求得曲线C的标准方程；
(2)(i)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l方程为y=k(x−1)，联立方程组，求得M，由直线DE的方程为y=−1k(x−1)，联立方程组，求得N，求得直线MN的方程，得到MN过定点；当直线l的斜率不存在时，求得直线MN过定点，即可求解；
(ii)由(i)，结合得到S△FMN=12|GF||yM−yN|=92⋅|k|+1|k|12(k2+1k2)+25，令t=|k|+1|k|，结合y=12t+1t的单调性，即可求解．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】①12；②E(X)=1724；
甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由见解析．
【解析】解：(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P，
则P=(1−p)(1−q)=23×34=12；
②依题可知，X的可能取值为0，1，2，
则由①知P(X=0)=12，
P(X=1)=p(1−p)(1−q)+(1−p)q(1−q)=13×23×34+23×14×34=16+18=724，
P(X=2)=1−P(X=0)−P(X=1)=1−12−724=524，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×12+1×724+2×524=1724；
(2)设甲先出场成功概率为P1，乙先出场成功概率为P2，
则P1=pn+pn−1(1−p)q+pn−2(1−p)q2+⋯+p(1−p)qn−1+(1−p)qn
=(pn+pn−1q+pn−2q2+⋯+pqn−1+qn)−p(pn−1q+pn−2q2+⋯+pqn−1+qn)
=(pn+pn−1q+pn−2q2+⋯+pqn−1+qn)−(pnq+pn−1q2+⋯+p2qn−1+pqn)，
P2=qn+qn−1(1−q)p+qn−2(1−q)p2+⋯+q(1−q)pn−1+(1−q)pn
=(qn+qn−1p+qn−2p2+⋯+qpn−1+pn)−q(qn−1p+qn−2p2+⋯+qpn−1+pn)
=(qn+qn−1p+qn−2p2+⋯+qpn−1+pn)−(qnp+qn−1p2+⋯+q2pn−1+qpn)，
∵pn+pn−1q+pn−2q2+⋯+pqn−1+qn=qn+qn−1p+qn−2p2+⋯+qpn−1+pn，
pnq+pn−1q2+⋯+p2qn−1+pqn=qnp+qn−1p2+⋯+q2pn−1+qpn，
∴P1=P2，
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P，根据甲每关不成功概率是1−p，即可求解；
②X的可能取值为0，1，2，根据甲每关不成功概率是1−p，乙每关不成功概率是1−q，再结合独立事件乘法公式求出对应概率，即可求解；
(2)设甲先出场成功概率为P1，乙先出场成功概率为P2，把P1和P2展开成式子，对应部分相等，可得P1=P2，即甲，乙先出场成功概率一样．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于难题． X
0
1
2
P
12
724
524