2024-2025学年陕西省渭南市大荔县高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省渭南市大荔县高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数21−i的共轭复数是( )
A. 1+iB. 1−iC. 2+2iD. 2−2i
2.下列命题中一定正确的是( )
A. OA−OB=ABB. AB+BA=0
C. 0−AB=0D. AB+BC+CA=0
3.已知tanα=3，则sinα−2csα2sinα+csα的值为( )
A. 1B. 17C. 2D. 5
4.已知a,b是两个单位向量，a与b的夹角为π3，则|a−b|=( )
A. 12B. 2C. 1D. 3
5.已知角θ的终边上有一点(1,3)，则sin(π−θ)+cs(π2−θ)cs(−θ)−cs(π+θ)=( )
A. −2B. 2C. −3D. 3
6.若l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则( )
A. 若l//α，m⊂α，则l//mB. 若l//α，m⊥α，则l⊥m
C. 若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α//βD. 若l//α，α//β，则l//β
7.已知函数f(x)=2sin(π4x+φ)(|φ|B，则csA0，则△ABC为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=2sin(2x+π6)的对称轴为______．
13.长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点在同一个球面上，则该球的表面积______．
14.已知OA,OB不共线，且AP=tAB(t∈R),OP=λOA+μOB，则λ+μ=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m+(m+m2)i，其中m∈R，i是虚数单位，
(1)若z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知sinx2−2csx2=0．
(1)求tanx的值；
(2)求cs2xcs(5π4+x)sin(π+x)的值．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=4．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求三棱锥E−PBC的体积．
18.(本小题17分)
定义：已知两个非零向量a与b的夹角为θ.我们把数量|a||b|sinθ叫做向量a与b的叉乘a×b的模，记作|a×b|，即|a×b|=|a||b|sinθ．
(1)若向量a=(2,4)，b=(−3,1)，求|a×b|；
(2)若平行四边形ABCD的面积为4，求|AB×AD|；
(3)若|a×b|= 3，a⋅b=1，求|a+2b|的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|B，所以csA1．
因为正弦函数的值域为[−1,1]，
所以不存在这样的角B，即△ABC无解，故选项B错误；
对于选项C：因为a−c⋅csB=a⋅csC，
所以sinA−sinC⋅csB=sinA⋅csC，
又因为sinA=sin[π−(B+C)]=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC=sinAcsC，
即(sinB−sinA)csC=0，
即sinB=sinA或csC=0．
由sinB=sinA可得a=b，即△ABC为等腰三角形；
由csC=0，C∈(0,π)，可得C=π2，所以△ABC为直角三角形．
综上可知，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选项C正确；
对于选项D：若csAcsBcsC>0，且A，B，C∈(0,π)，
可知csA>0，csB>0，csC>0，即A，B，C都是锐角，
所以△ABC是锐角三角形，故选项D错误．
故选：AC．
由A，B∈(0,π)，且A>B，结合函数y=csx在(0,π)上单调性，即可判断csA，csB的大小，即可判断选项A；
由A=30°，b=5，a=2，根据正弦定理得到sinB=54>1，与正弦函数的值域为[−1,1]相矛盾，可知不存在这样的角B，即可判断选项B；
利用正弦定理，诱导公式及和角的正弦公式将a−c⋅csB=a⋅csC，变形为(sinB−sinA)csC=0，即sinB=sinA或csC=0，即可判断△ABC的形状，进而判断选项C；
由csAcsBcsC>0，及A，B，C的范围分析得到A，B，C都是锐角，即可判断选项D．
本题考查正弦定理与三角恒等变换的应用，属于中档题．
12.【答案】x=π6+kπ2,k∈Z
【解析】解：对于函数y=2sin(2x+π6)，
令2x+π6=π2+kπ,k∈Z，解得x=π6+kπ2,k∈Z，
所以函数y=2sin(2x+π6)图象的对称轴为x=π6+kπ2,k∈Z．
故答案为：x=π6+kπ2,k∈Z．
根据正弦函数图象的对称性进行求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．
13.【答案】9π
【解析】解：由题意长方体的体对角线就是球的直径，所以长方体的体对角线长为： 4+4+1=3，
所以球的直径为：3；半径为：32，
所以球的表面积是4π⋅94=9π，
故答案为：9π．
长方体的体对角线就是外接球的直径，求出长方体的体对角线长，即可求出球的半径．
本题是基础题，考查长方体的外接球半径的求法，考查计算能力．
14.【答案】1
【解析】解：因为OA,OB不共线，AP=tAB(t∈R)，
所以OP−OA=t(OB−OA)，整理可得OP=(1−t)OA+tOB．
所以由平面向量基本定理可得λ=1−tμ=t，
所以λ+μ=(1−t)+t=1．
故答案为：1．
根据平面向量共线定理将AP=tAB(t∈R)变形为OP=(1−t)OA+tOB，即可根据平面向量基本定理得λ=1−tμ=t，即可求出λ+μ的值．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
15.【答案】空集；
(−∞,−1)．
【解析】解：(1)由复数z=m+(m+m2)i为纯虚数，得m=0且m+m2≠0，无解，
所以实数m的值的集合为空集；
(2)由z在复平面内所对应的点(m,m+m2)在第二象限，得m0，解得m0−2