内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”为全称量词命题，
其否定为，
故选：B．
2. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A. 4B. 8C. 10D. 16
【答案】D
【解析】由题意，，故其子集的个数为.
故选：D
3. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
4. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的定义域是，所以，所以，
所以的定义域是，故对于函数，有，解得，
从而函数的定义域是.
故选：A.
5. 已知全集，能表示集合与关系的Venn图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
又，
所以，
所以，，，
根据选项的Venn图可知选项D符合.
故选：D.
6. 已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（ ）
A. 7B. 9C. -7D. -9
【答案】B
【解析】因为是定义域为的奇函数，
所以，，，
所以．
故选：B．
7. 对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，解得，
因此或或，
又因为表示不大于x的最大整数，所以，
只有为的真子集，满足要求．
故选：B．
8. 已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，令，
则，因此函数在上单调递增，由，
得，由，得，
即，则，解得，所以原不等式的解集为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关系正确的有（ ）
A. B.
C. D. 
【答案】BCD
【解析】因为是整数，所以，故A错误；
因为为无理数，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
由于为正整数集，为自然数集，为整数集，所以，故D正确.
故选：BCD.
10. 对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】AB
【解析】因为，
①当时，不等式的解集为，
②当时，不等式变为，
方程的根为或，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当且时，不等式的解集为或，
综述：当或时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当且时，不等式的解集为或，
故选：AB.
11. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B.
C. 当时，
D. 在上单调递减
【答案】AC
【解析】对于A，由题设，可知的图象关于点对称，故A正确；
对于B，在中，令，得，故B错误；
对于C，当时，，所以，又，
所以，即当时，，
而为偶函数，所以当时，，
综上可知，当时，，故C正确；
对于D，由B的解析可知，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，则____________.
【答案】
【解析】由解得，所以.
故答案为：.
13. 已知幂函数的图象经过原点，则的值是______.
【答案】3
【解析】由题意可得，即，解得或.
当时，幂函数的图象过原点；
当时，幂函数的定义域为，图象不过原点，不满足题意.
故的值是3.
故答案为：3
14. 若，则的最小值为__________.
【答案】2
【解析】由，可得，
则两边同除以，得，
又因为，
当且仅当，即或时等号成立，
所以.
故答案：2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，而，
所以，或.
（2）因为，
（i）当时，，解得，此时满足；
（ii）当时，满足，即需满足或，
解得或
综上所述，实数的取值范围为.
16. 已知函数的定义域为，函数的值域为.
（1）若，求集合；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由，解得或，
所以函数的定义域为集合或.
当时，，对称轴为，
因为，所以，又当时，
所以.
（2）因为 “”是“”的必要不充分条件，所以，
又因为，，
所以，
又因为或，
所以或，解得或，
故的取值范围为.
17. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过点：
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在上的值域为，求的值.
解：（1）因为二次函数的图象关于直线对称，设，
把点代入可得，解得，
所以，即二次函数的解析式为.
（2）因为，且在上的值域为，
所以，可得，
由二次函数的性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为在上值域为，所以，即，
即是方程的两个根，
又因为，解得.
18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
（1）求关于的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
解：（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，整理得.
（2）由（1）知，即，
由基本不等式可得，
令，则，解得（舍去）或.
，当且仅当即时等号成立，
海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为.
19. 已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
（1）判断函数的单调性；
（2）解不等式：；
（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）为奇函数，所以，
则由，得，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上，函数在上单调递增
（2）由（1）知函数为上的增函数，
则，解得，故不等式的解集为.
（3）因为，所以.
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立.
令，
则即得，
即，解得，
故实数的取值范围是.