【数学】重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以A不符合题意；
因为不能化简，是最简二次根式，所以B符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D不符合题意．
故选：B．
2. 下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 1，2，1C. D.
【答案】D
【解析】A：，而，不满足条件；
B：因为，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形；
C：，不满足条件；
D：，满足条件；
故选：D.
3. 一组数据2，5，4的中位数是（ ）
A. 2B. 4C. 4.5D. 5
【答案】B
【解析】将数据，，按从小到大排列排序后为，，，数据个数是奇数，中间位置是第个，
中位数是．
故选：．
4. 下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【解析】若一个四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，故A选项可以判定；
若一个四边形两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，故B选项可以判定；
若一个四边形对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，故C选项可以判定；
若一个四边形一组对边平行，另一组对边相等，那么这个四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故D选项不能判定．
故选：D．
5. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，在中，，求的长，如果设则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
∵，
∴
∴，
故选：B
6. 已知，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
∵，即，
∴，即，
故选：B．
7. 如图，已知正方形的边长为3，点E，F，G，H分别为正方形各边上一点，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正方形的边长为3，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象与轴的交点坐标为
B. 图象经过一、三、四象限
C. 当时，
D. 若点均该函数图象上，则
【答案】C
【解析】选项A：求与轴交点，令，则，
解得，
交点坐标，A错误．
选项B：一次函数中，，，
当且时，图象过一、二、三象限 ，
B错误．
选项C：当时，，
又一次函数，随增大而增大，当时，
，C正确．
选项D：把代入得，把代入得，，即，
D错误．
故选：．
9. 如图，在矩形ABCD中，点是CD的中点，交BC于点，连接BF．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，延长，交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵为边中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，互不相等，且．下列说法：
①当时，满足条件的整式共有2个；
②满足条件的整式中，有7个是二次三项式；
③当时，的值为，则的最小值为；
其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】①∵，，
∴，
∵为自然数，互不相等，
∴，或，，
∴满足条件的整式共有2个．故①正确；
②∵为自然数，为正整数，互不相等，且．
∴或，，， ，，，，，，，，，，
∴都为非零的有6组，
∴满足条件的整式中，有6个是二次三项式．故②错误；
③当时，，
∵，
∴，
∴，
∵为正整数，为自然数，
∴当，时，y有最小值，为．故③正确．
综上，①和③正确，共2个．
故选：B．
二、填空题
11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】要使有意义，则需要，解出得到.
12. 甲、乙两名同学在5次数学测验中，平均成绩均为121分，这两名同学成绩的方差分别是，甲、乙两人的成绩更稳定的是____________．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】∵，
∴，
∴乙的成绩更稳定．
故答案为：乙．
13. 如图，数轴上点表示的数为3，过点作于点，且，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是____________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴，
所以点A表示的实数是．
故答案为：．
14. 如图，直线与直线的交点的纵坐标为2，则关于的不等式的解集为__________________．
【答案】
【解析】∵两条直线相交于点，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的长为_________________．
【答案】
【解析】∵矩形，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 若关于的一次函数的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整数的值之和为_________________．
【答案】
【解析】由题意得，，
解得：，
∴整数为或0或1或2或3或4或5或6，
∴整数的值之和为：，
故答案为：．
17. 如图，在中，平分是的中点，则的长度为_________________．
【答案】2
【解析】如下图所示，延长、交于点F，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
∵点D是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：2．
18. 对于任意一个四位正整数，若的各位数字都不为0且均不相等，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“相异数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为，所以．（1）的值为____________；（2）若“相异数”的千位上的数字是7，百位上的数字是8，且能被15整除，则的最大值是_______________．
【答案】①. 207；②. 7863
【解析】（1）；
（2）设的十位上的数字是，个位上的数字是，
“相异数”的千位上的数字是7，百位上的数字是8，
，
能被15整除，，
设
∴，
或30或45或60，
①当时，当时，，此时（舍）；
当时，，此时；
②当时，当时，，此时；
当时，，此时；
③当时，当时，，此时；
④当时，当时，，此时（舍）．
，
的最大值为7863．
故答案为：207，7863．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）.
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20. 某校八年级学生小明和同学学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降9米（的长度不变），则他应该往回收线多少米？
解：（1）在中，由勾股定理得，
（米），
（米），
答：风筝的垂直高度为米．
（2）设风筝下降到点，连接，如图，
由题意得，米，
（米），
在中，由勾股定理得，
（米），
（米），
答：他应该往回收线7米．
21. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴①___________．
∵
∴②___________．
同理可得，．
∴，
在和中，
，
∴，
∴③_________________．
又∵，
∴°，同理可得，．
∴④_________________．
∴．
请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________．
（1）解：
以点为圆心，任意长度半径画弧，与相交于两点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在的另一侧相交，最后用直尺连接点与两弧的交点，得到．
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴①（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴②（垂线的性质）．
同理可得，．
∴，
和中，
，
∴，
∴③（全等三角形的性质）．
又∵，
∴°，同理可得，．
∴④（角的等量代换）．
∴．
∴在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤平行且相等．
22. 为庆祝中国共产主义青年团成立103周年，某校团委在七、八两个年级同学开展了团知识竞赛，现从两个年级分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了收集、整理、描述、分析对竞赛成绩（成绩得分用x表示，数据分成5组：，，，，其中85分及以上为优秀）下面给出了部分信息：
①七年级抽取学生成绩的频数分布直方图
②七年级学生在这一组的成绩数据：83，85，85，85，85，86，87，89.
③八年级20名学生成绩为：55，55，63，84，84，84，85，89，86，90，90，95，95，97，97，98，98，99，100，100．
④七、八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的______________，______________，______________；
（2）你认为哪个年级的学生对团知识的掌握较好？请说明理由．
（3）该校七年级共有1000名学生，八年级共有1200名学生，全部参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加知识竞赛成绩优秀的学生人数一共有多少？
解：（1）∵的人数为人，
七年级的优秀率，
∴按照从小到大排列，七年级学生成绩中位数应为第10和第11名成绩的平均数，而第10和第11名落在一组的成绩数据，故；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是84，共出现3次，因此众数是84，
即，
故答案为：85，65，84；
（2）八年级学生对团知识掌握较好，
八年级的中位数90大于七年级的中位数85，
八年级学生对团知识掌握较好；
（3）七年级：（人），
八年级：（人），
（人），
答：估计七、八年级参加知识竞赛成绩优秀的学生人数一共有1490人．
23. 2025年6月14日是“文化和自然遗产日”．今年活动主题为“让文物焕发新活力，绽放新光彩”，宣传口号是“守护文化遗产 建设文化强国”．某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进种纪念品16件，种纪念品8件，需要1760元；若购进种纪念品9件，种纪念品3件，需要750元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若每件种纪念品的售价为60元，每件种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进种纪念品的数量不多于种纪念品的数量的7倍，设购进种纪念品件，总利润为元，请写出总利润（元）与（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，
由题意，得：
解得：．
答：购进A种纪念品每件需30元，购进B种纪念品每件需160元．
（2）由题意，得：，
解得：，
，
，
随着的增大而减小，
，是整数，
当时，最大，此时，
利润最高时的进货方案为：A种262件，B种38件．
24. 在矩形中，，点是边的中点．动点以每秒1个单位的速度从出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为秒，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数表达式；
（2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）在图中已经画出了直线的图象，结合两函数图象，直接写出时自变量的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）
解：（1）在矩形中，，
，
∵点E是边的中点．
，
当点M在上时，此时，
可得，则，
；
当点M在上时，此时，
可得，
，
综上，；
（2）画图如图：
性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
（3）由图像，可知，
当时，或．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的另一直线交轴正半轴于，且面积为6．
（1）求点的坐标及直线的表达式；
（2）若为线段上一点，且的面积等于的面积，若D、E为轴上的两个动点（点在点的上方），且，求点的坐标及的最小值；
（3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点、G、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令中，得，令得，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
直线的解析式为；
（2）∵的面积等于的面积，
∴，即,
∴，解得，
∴，
将向下平移1个单位长度得：，
连接交y轴于点E，
，
，
的最小值；
（3）存在，点的坐标为或．
理由：∵，
设直线的表达式为，
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：．
①当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，如图：
∵，，
∴点G的纵坐标是3，
∵点G为直线上一动点，直线的表达式为：．
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当为平行四边形的边，四边形为平行四边形时，
如图：过点G作轴于F，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G的纵坐标是，
∵点G为直线上一动点，
∴，解得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴点G的纵坐标是3，
∵点G为直线上一动点，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上，存在，满足条件的点H的坐标为或或．
26. 已知菱形．
（1）如图1，当时，过点作于点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段、的长度；
（2）如图2，当时，过点作于点，连接，过点作，连接MC，且，连接，请探索线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，当时，连接，点是对角线上的一个动点，若，求的最小值．
（1）解：四边形是菱形，
，．
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
点是线段的中点，
；
（2）．
法1：（截长法）证明：如图2，在上截取，连接，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
，
，
，即
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
法2：（补短法）证明：如图2，延长至点G，使，连接，
四边形是菱形，
，，
又，
，
又，
，
又，，
，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
，，
；
（3）解：的最小值为.
理由：如图3，过点C在直线的上方作，分别过点D、Q作于点H，于点G，交于点，连接，则，
关于直线对称，
，
，
当点与重合时，的值最小，
当点与重合时，．
当点与不重合时，．
四边形是菱形，，
，
又，
，
，
，
即最小值是．
的最小值是．年级
平均数
众数
中位数
优秀率
七年级
87
85
a
八年级
87
90