湖南省涟源市部分高中2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析

这是一份湖南省涟源市部分高中2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了 已知 ，则 等于， 函数 的单调递增区间为， 已知向量 ，则 的最小值是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 ，则下列表示正确 是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可
【详解】 ，所以 ，
故 A，C，D 错误，B 正确
故选：B.
2. 已知扇形弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由弧长公式 ，先求出半径 ，再由扇形面积公式 求解即可.
【详解】设扇形的半径为 ，则由弧长公式可得 ，解得 ，
所以扇形的面积 .
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故选：D.
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 角度有正角和负角之分，所以角度是向量
B. 若 ，则线段 与线段 在同一直线上
C. 若 ，则
D. 若 ，则 不一定平行
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的概念对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于 A，角度虽有大小却无方向，故不是向量，故 A 错；
对于 B，对于平行四边形 ， 与 不在同一直线上，故 B 错；
对于 C，向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故 C 错；
对于 D，若 为零向量，则 可任取，不一定平行，故 D 正确.
故选：D.
4. 已知 ，则 等于（ ）
A. B. 4 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数解析式即可求解.
【详解】 ，故选项 C 正确.
故选：C.
5. 已知四边形 满足条件 ，且 ，其形状是（ ）
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【答案】B
【解析】
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【分析】由 ，分析出四边形一组对边平行且相等，又由 ，分析出四边形对角线相等，
即可得到结果.
详解】由 ，可知 且 ，
则四边形 为平行四边形，
又由 ，可知四边形 为矩形，
故选:B.
6. 函数 的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数定义域，由复合函数的单调性法则，外函数 是增函数，要求函数的递增区间，则
求内函数 递增区间即可.
【详解】由题得由 ，得 ，
解得 ，即函数定义域为 ，
因为函数 是增函数，故求函数 的单调递增区间即求函数 在
上的单调递增区间，
令 ，则 ，
所以函数 的递增区间为 .
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故选：D.
7. 已知向量 ，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量线性运算的坐标表示及模长公式，再结合二次函数求最值即可；
【详解】由 ，
可得： ，
所以 ，当 取得最小值；
故选：C
8. 点 是 所在平面内一点， ，则 的最小
值为（ ）
A. 100 B. 120 C. 180 D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标求出向量的模，结合已知建立函数关系求出最小值.
【详解】以点 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ，设 ，
则 ，
则
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，当且仅 时取等号，
所以 的最小值为 120.
故选：B
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，且
，则下列说法正确的有（ ）
A. 是第四象限角 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数比较大小对选项进行分
析，从而确定正确答案.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以点 在第四象限，
所以 是第四象限角，故 A 正确；
因为 ，所以 ，故 B 错误；
因为 ，所以 ，
解得 （正值舍去），故 C 正确；
由 C 的分析知， ，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ，点 在直线 上，且
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，则点 的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由点 在直线 上，且 ，可推出点 在线段 上或 延长线上，转化成向量相
等，再利用坐标求解
【详解】设 ，由题意得 ，且点 在直线 上，故 可得以下两种情
况：
① ，此时有 ，可得 ，解得 .
② ，此时有 ，可得 ，解得
.
综上所述，点 的坐标为 或 .
故选：AB
11. 如图，已知正六边形 的边长为 2，点 为正六边形上的动点，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为 12
【答案】AD
【解析】
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【分析】结合图形即可判断 A，由向量的平行四边形法则即可判断 B，由向量数量积的几何意义即可判断 C，
由向量数量积的运算律代入计算，即可判断 D.
【详解】对于 A， ，由题图可得 与 为相反向量，故 A 错误；
对于 B，由题图易得 平分 ，
且 正三角形，设 交 于 ，根据平行四边形法则有 与 共线且同
方向，易知 ，则 ，
而 ，故 ，故 ，故 B 正确；
对于 C，根据向量数量积的几何意义可知， 的最小值为 ，故 C 正确；
对于 D，取 的中点为 ，连接 ，则 ，
则
，故 D 错误.
故选：AD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，且 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由共线向量的坐标表示，求得正切值，根据同角三角函数的商式关系，可得答案.
【详解】 ，由 ，可得 ，所以 ，
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所以 .
故答案为： .
13. 已知 为等腰三角形，且 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】由 及正弦定理，得 ，然后判断底边，利用余弦定理即可求解.
【详解】在 中，令内角 所对的边分别为 ，
由 及正弦定理，得 ，
若 为底边，则 ， ，不能构成三角形，
所以 为底边，故 ，
由余弦定理得 ，
故答案为: .
14. 定义 是 中的较小者.已知函数 ，若
，且方程 有 3 个不同的解，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】在同一坐标系中画出函数 和 的大致图象，结合图象分析可知当方程 有 3 个不
同的解时，方程 有 2 个小于 1 的正数解，再构建不等式组求解可得答案.
【详解】由题意，函数 和 在同一坐标系中的大致图象如图：
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函数 的定义域为 .
因为方程 有 3 个不同的解，所以方程 有 1 个解且为 1，
方程 有 2 个小于 1 的正数解.
所以
解得 ，
故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的最小正周期是 .
（1）求函数 在 上的单调减区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为 2，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用最小正周期求得 ，进而利用整体法可求得单调递减区间；
（2）由 ，可得 ，可求得函数的最大值与最小值.
【小问 1 详解】
函数 的最小正周期 .
由 ，解得 .
函数 在 上的单调减区间为 .
【小问 2 详解】
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由（1）得 .
.
函数 在区间 上的最大值为 2，最小值为 .
16. 已知向量 ，且 与 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）若 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用向量 坐标运算，结合夹角公式求出 ，进而求出 及模.
（2）由（1）的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解.
【小问 1 详解】
由向量 ，得 ，且 ，
由 与 的夹角为 ，得 ，解得 ，则 ，
于是 ，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知向量 ，
则 ，
由 与 的夹角为锐角，得 且 与 不共线，
由 ，解得 且 ，
所以实数 的取值范围为 .
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17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 的解析式；
（2）判断 的单调性（无需证明），并解关于 的不等式 .
【答案】（1）
（2）在 上单调递减， .
【解析】
【分析】（1）设 ，得到 .由 即可求解；
（2）由二次函数单调性即可判断，利用函数的单调性奇偶性即可求解；
【小问 1 详解】
设 ，则 .
是奇函数，且当 时， ，
.
所以 ；
【小问 2 详解】
时， ，对称轴为 ，开口向上，易知 在 为减函数，
由函数为奇函数，可知 在 上单调递减；
是奇函数，
，
即 .
的定义域是 是减函数，
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,
即 ，解得：
即不等式 的解集是 .
18. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算
两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC 中，D 为 BC 的
中点，则 ， ，两式相加得， .因为 D 为 BC
的中点，所以 ，于是 .请用“算两次”的方法解决下列问题：
（1）如图乙，在四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，证明： .
（2）如图丙，在四边形中，E，F 分别在边 AD，BC 上，且 ， ， ，
， 与 的夹角为 ，求向量 与向量 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用图形关系的向量运算法则结合已知求解即可；
（2）由图形关系的向量运算得到 ，求出其模长；再利用定义式求解 ，最后再
利用向量夹角的余弦公式求解即可.
小问 1 详解】
证明：在四边形 ABFE 中， ，①
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在四边形 CDEF 中， ，②
由① ②，得 ，
因为 E，F 分别为 AD，BC 的中点，
所以 ， ，
于是 .
【小问 2 详解】
在四边形 ABFE 中， ①，
在四边形 CDEF 中， ②，
由 ， ，
得 ， .
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 .
19. 我们知道，函数 的图象关于 轴成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数，我们可
以将其推广为：函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函
数.
（1）若函数 满足 为偶函数，求 的值.
（2）若函数 ，判断函数 的图象是否是轴对称图形？如果是，求出其对称轴；如果不
是，请说明理由.
（3）在（2）的条件下关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
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【答案】（1）
（2）是， .
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义求解；
（2）假设函数 的图象是轴对称图形，根据定义可得 ，运算得解；
（3）分离可得 恒成立，结合对称性求得函数 的最小值是 4，即
，运算得解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 图象的对称轴为直线 ，
所以 为偶函数，所以 .
【小问 2 详解】
函数 的图象是轴对称图形.
理由如下：若函数 的图象是轴对称图形，则满足 为偶函数，即 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 的图象是轴对称图形，且对称轴为直线 .
【小问 3 详解】
若 恒成立，则 恒成立.
由（2）可知 的图象关于直线 对称，
因为当 时， ，
当且仅当 时取等号，所以函数 的最小值是 4.
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所以 ，即 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .
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