湖南省涟源市部分高中2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 ，则下列表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知扇形弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形 面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 角度有正角和负角之分，所以角度是向量
B. 若 ，则线段 与线段 在同一直线上
C. 若 ，则
D. 若 ，则 不一定平行
4. 已知 ，则 等于（ ）
A. B. 4 C. D. 3
5. 已知四边形 满足条件 ，且 ，其形状是（ ）
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
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6. 函数 的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知向量 ，则 的最小值是（ ）
A 2 B. C. D.
8. 点 是 所在平面内一点， ，则 的最小
值为（ ）
A. 100 B. 120 C. 180 D. 240
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，且
，则下列说法正确的有（ ）
A. 是第四象限角 B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ，点 在直线 上，且
，则点 的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，已知正六边形 的边长为 2，点 为正六边形上的动点，下列说法错误的是（ ）
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A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为 12
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 已知 ，且 ，则 __________.
13. 已知 为等腰三角形，且 ，则 __________.
14. 定义 是 中 较小者.已知函数 ，若
，且方程 有 3 个不同的解，则实数 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的最小正周期是 .
（1）求函数 在 上的单调减区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
16. 已知向量 ，且 与 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）若 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）求 解析式；
（2）判断 的单调性（无需证明），并解关于 的不等式 .
18. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算
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两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC 中，D 为 BC 的
中点，则 ， ，两式相加得， .因为 D 为 BC
的中点，所以 ，于是 .请用“算两次”的方法解决下列问题：
（1）如图乙，在四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，证明： .
（2）如图丙，在四边形中，E，F 分别在边 AD，BC 上，且 ， ， ，
， 与 的夹角为 ，求向量 与向量 夹角的余弦值.
19. 我们知道，函数 的图象关于 轴成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数，我们可
以将其推广为：函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函
数.
（1）若函数 满足 为偶函数，求 的值.
（2）若函数 ，判断函数 的图象是否是轴对称图形？如果是，求出其对称轴；如果不
是，请说明理由.
（3）在（2）的条件下关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
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