高中人教版新课标B简单的线性规划教案设计

这是一份高中人教版新课标B简单的线性规划教案设计，共9页。教案主要包含了教材分析，学生情况分析，设计思想，说教法和学法，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
普通高中课程标准实验教科书（人教B版）必修5第三章3.5.2简单的线性规划问题（第一课时），这是一堂关于简单线性规划的“问题教学”。线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用叫广泛的一个分支。它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。
简单的线性规划关心的两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最好的任务；二是给定一项任务应如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成，突出体现了优化的思想。
教科书利用生产安排的具体实例，介绍而来线性规划问题的图解法，引用线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用。
二、学生情况分析。
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
三、设计思想。
本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象过程。应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
结合本单元教学要求和本课特点，依据新课标中“知、过、情”三个维度，我讲本节课的教学目标确定为：
（一）知识与技能
了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
（二）过程与方法
本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力，真正体现数学的工具性。
（三）情感、态度与价值观
渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。
本节课教学重点：线性规划的图解法
本节课教学难点：寻求线性规划问题的最优解6本节课的教学难点同时也是本节课的教学关键。
下面为了讲清重点、难点，使学生达到本节设定的教学目标，我再从教学和学法上谈谈：
四、说教法和学法
通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题与几何问题间的密切联系。直角板、计算机辅助设备三教学过程：
五、教学过程
【一】引入
情景引入：
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨。如果在此基础上进行生产，设分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
（选自教材3.5.1例3）
请学生读题引导阅读理解后，列表建立数学关系式画平面区域，学生动手画，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种事物的两种表达形式数与形。
问题情景是学生感到数学是自然的，有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表―>建立数学关系式―>画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题的过程，教师则在数据的分析整理上加以指导。
【二】探究新课
例1 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg。现有A种原料200kg，B种原料800kg。如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产以产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？（选自教材3.5.2问题）
解:设计划生产甲种产品工时，生产乙种产品工时，利润总额为元。
目标状态：利润总额――>生产甲种产品创造的利润+生产乙种产品创造的利润，用符号表示为：① ――>这是关于变量的一次解析式，从函数观点看的变化引起的变化。
初始状态：
把上述材料符号化后有：②
此时，由于对初始状态的分析，使我们的目标明朗起来了，
在满足条件下，求的最大值。
到了这里学生会陷入僵局，还得需要我们对做进一步的思考
图形化：


此时目标的理解又一次的发生变化：在不等式组②表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子时，使该式取最大值。（下面的过程是老师介绍图解法）
从方程的角度来理解这个等式，它是关于的二元一次方程
对应的图像是一条直线，但是变化的。
令，则方程表示通过原点的一条直线，记为。易知，在区域OABC内有。考察这个区域内任意一点到的距离
（P点在的右上方所以）于是 。这就是说，点到的距离越大，式子
的值也越大。因此，问题就转化为：在不等式组②表示的平面区域内找与直线距离最大的点。
为了在区域OABC内精确地找到这一点，我们平移直线到位置，使通过OABC内的某点，且OABC内的其他各点都在的包含直线的同一侧，很容易证明该点到的距离最大。用此法，区域OABC内的点B为所求。
【比较】
以前教材的处理，随着的变化会得到一组互相平行的直线，在这一组平行线中有一条比较特殊的直线——过原点的那条直线即：，将这条直线往下移，则直线在轴上的截距是负值；往上移，则直线在轴上的截距是正值，根据这个知识点我们可以转化为直线的斜截式：
根据式子的特点可以知道直线在轴上的截距是，当直线在轴上的截距最大时，有最大值。
【这种处理方法，是不断地强调的几何意义，但结果是老师自以为讲得很清楚了，而学生的接受程度并不是想象的那么高。我的讲课是按照人教B版教材的方法实施的，结果是学生在这里没有太多的思维上的障碍】

解方程组 得点B的坐标(200,300),代入式子①，得
。
答：用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利润18000元，此时利润总额最大。
在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函数叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足的不等式组②成为约束条件。如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数。如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件，在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解。
【在黑板上将整个过程展示给学生，让学生有一个整体感、有一个初步的认识，并进一步让学生感受一下画移求答的过程，结合这道题介绍概念，避免的了数学概念的枯燥，使学生更容易理解。】

【三】练习
教材P94页练习1
解下列线性规划问题：
（1）求的最大值，式中的满足约束条件：

（2）求的最大值与最小值，式中的满足约束条件：

【及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习的目的：培养学生的触类旁通、迁移的思想，会用数形结合思想解决问题，在做题的过程中体会解决线性规划问题的四步。练习1一共两道题，找两位同学做，其他同学在下边自己做，大约要用5—6分钟，之后教师讲解，及时发现错误并指正，对的给予鼓励。】
【四】实例展示
例2下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素A、B的含量及单价：
营养师想购买这三种食物共10千克，使它们所含的维生素Ａ不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？选自教材3.5.2 例1，营养搭配问题）
【一是使学生认识到现实的中存在许多简单的二元线性规划问题，二是让学生经历完整的分析探究问题、制定解决问题的策略的过程，让学生全面参与课堂教学，完善知识结构体系。】
【五】课后延伸
在上述线性规划问题中线性约束条件及线性目标函数是确定的，求目标函数的最值即求最优解，这是问题的一方面，另一方面如要求结果为整数呢？最优解在哪儿？
若已知有唯一（或无数）最优解时，反过来确定线性约束条件后目标函数某些字母系数的取值（范围），又如何解决呢？（为下节课做好准备）
【六】课堂小结
求线性目标函数的最大（小）值的步骤（板书体现）
【七】课后作业
课本P96页第5题。
六、教学反思
本节课在学生对线性目标规划问题有一点了解的基础上讲解的，达到了预期教学目标：学生了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
课堂上要给学生思考的时间，教师引导，学生去思考、探索得出结论。在教学的过程中讲练结合，同时学生观看老师的板演也加深了对知识的理解。特别是在过原点直线进行平移到区域的边界点的这一过程，所体现的数学思想及形象又直观地在学生面前展现出来，在练习的过程中体会到成功的快乐。在教学过程中渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，在练习上，学生自己也体会到数形结合思想的重要性。
本节课学生“眼睛在看，手在动，脑子在想，嘴巴在说”，基本上达到教学目标，通过学生的课堂练习90%的学生是掌握了这节课的知识，80%的学生掌握的很好。只有个别的学生是因为直线的知识还没有掌握好而导致不能完整的做出来。课后与学生的交谈的过程中，学生表示这节课还是很好掌握，他们总结到，要想把线性规划问题做正确，图形必须画对，很欣赏他们能发现这个点。从课后作业上也可以看出，学生对这一节的知识点的掌握基本过关。产品
原料A数量（kg）
原料B数量（kg）
生产甲种产品1工时
3
1
生产乙种产品1工时
2
2
限额数量
1200
800

甲
乙
丙
维生素A（单位/千克）
400
600
400
维生素B（单位/千克）
800
200
400
单价（元/千克）
7
6
5