人教版新课标B必修5简单的线性规划教案

这是一份人教版新课标B必修5简单的线性规划教案，共5页。
（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；
（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．
（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；
（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．
（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．
教学重点、难点
二元线性规划问题的解法的掌握．
教学过程
一．问题情境
1．问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？
二．建构数学
首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示．
其次，将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．
平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示．
因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元．
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．
三．数学运用
例1．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．
解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，
作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点
满足，即，
而且，直线往右平移时，随之增大．
由图象可知，
当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
例2．设，式中满足条件，求的最大值和最小值．
解：由引例可知：直线与所在直线平行，
则由引例的解题过程知，
当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，
当经过点时，对应最小，
∴，．
例3．已知满足不等式组，求使取最大值的整数．
解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，
作一组平行线：平行于：，
当往右上方移动时，随之增大，
∴当过点时最大为，但不是整数解，
又由知可取，
当时，代入原不等式组得， ∴；
当时，得或， ∴或；
当时，， ∴，
故的最大整数解为或．
例4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：
然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解
解：设生产A产品百吨，生产B产品米，利润为百万元，
则约束条件为，目标函数为．
作出可行域（如图），
将目标函数变形为，它表示斜率为，在轴上截距为的直线，平移直线，当它经过直线与和的交点时，最大，也即最大．此时，．
因此，生产A产品百吨，生产B产品米，利润最大为1475万元．
说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．
（2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
四．回顾小结：
1．简单的二元线性规划问题的解法．
2．巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；
3．用画网格的方法求解整数线性规划问题。
4．解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解。
五．课外作业：
课本第94页 练习A第1，2题；
第96页 习题3-5 第A/B．资 金
（百万元）
场 地
（平方米）
利 润
（百万元）
A产品
2
2
3
B产品
3
1
2
限 制
14
9