2024-2025学年河北省秦皇岛实验中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛实验中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算结果为纯虚数的是( )
A. i(1−i)B. i(1+i)2C. i3(1+i)D. (1+i)2
2.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是( )
A. 6B. 3 2C. 12D. 6 2
3.若i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
4.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①m⊂α，n⊂α，m//β，n//β⇒α//β ②n//m，n⊂α⇒m//α
③α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n ④m//α，n⊂α⇒m//n
其中正确命题的个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则A1C1与B1C所成角为( )
A. π6
B. π4
C. π3
D. π2
6.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为( )
A. 10B. 12C. 18D. 24
7.已知圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为( )
A. 6B. 3C. 12D. 3 3
8.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. 20+12 3B. 28 2C. 563D. 28 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，则( )
A. |z|= 5
B. z的实部是2
C. z的虚部是−i
D. 复数z的共轭复数z−在复平面内对应的点在第一象限
10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，G为线段BC上的动点(不含端点).则下列结论中正确的是( )
A. AC//平面EFG
B. G为BC中点时EF⊥FG
C. G为BC中点时异面直线AB与EG所成的角为60°
D. 棱锥G−EFD1的体积为定值
11.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理财，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用样本估计总体，以下四个选项正确的是( )
A. 30−41周岁参保人数最多
B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C. 丁险种最受参保人青睐
D. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z对应的点的坐标为(2,−1)，则z的虚部为______．
13.一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的第60百分位数是______．
14.在正三棱锥P−ABC中，AB=2 3，正三棱锥P−ABC的体积是4 3，则正三棱锥P−ABC外接球的表面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a−1+ai(a∈R)．
(1)若z是纯虚数，求a；
(2)若|z|= 5，求z．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．
(1)求证：AC1//平面BDE；
(2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面AC1F//平面BDE．
17.(本小题15分)
如图，已知点P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)PC⊥EF．
18.(本小题17分)
某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在[80,100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人．
19.(本小题17分)
已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形．
(1)求证：AC⊥PD；
(2)求点D到平面PBC的距离；
(3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为θ，求sinθ的取值范围．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：∵i(1−i)=1+i；
i(1+i)2=i⋅2i=−2；
i3(1+i)=−i(1+i)=1−i；
(1+i)2=−2i．
∴运算结果为纯虚数的是D．
故选：D．
分别利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，
所以：S△OAB=12×4×6=12
故选：C．
画出△OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积．
本题考查斜二测法画直观图，求面积，考查计算能力，作图能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
所以i2+pi+q=0，化简得q−1+pi=0，可得q−1=0且p=0，解得q=1．
故选：A．
根据题意，利用复数相等的概念进行解答，即可得到本题的答案．
本题主要考查复数的基本概念与运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：①由m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则平面α与β可能相交，故①不正确；
②n/​/m，n⊂α，可能有m⊂α，则m/​/α不成立，可得②不正确；
③α/​/β，m⊂α，n⊂β⇒m/​/n或m，n异面，则③不正确；
④m/​/α，n⊂α⇒m/​/n或m，n异面，则④不正确．
综上可得，没有正确的命题．
故选：A．
由面面平行的判定定理，即可判断①的正误；运用线面平行的性质定理，即可判断②的正误；
由面面平行的判定定理和性质，即可判断③的正误；由线面的位置关系，及线面平行的性质即可判断④的正误．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用判定定理和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：连接DA1，DC1，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
A1B1/​/CD且A1B1=CD，
即四边形A1B1CD是平行四边形，
所以DA1//B1C，
所以∠DA1C1即为A1C1与B1C所成角．
又△DA1C1是等边三角形，
即∠DA1C1=60°，
所以A1C1与B1C所成的角为π3．
故选：C．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1/​/CD且A1B1=CD，即四边形A1B1CD是平行四边形，所以DA1//B1C，即∠DA1C1即为所求的角，再求解即可．
本题考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，
A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，
从C学校中应抽取的人数为：60×90180+270+90=10．
故选：A．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查样本中单元数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆锥的表面积公式以及应用，利用条件建立母线和半径之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．
根据圆锥的侧面展开图是一个半圆，即2πr=πl，解得l=2r，再根据圆锥的表面积可解得r=3，可得结果．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴2πr=πl，
∴l=2r，
∵圆锥的表面积为πr2+πrl=πr2+2πr2=27π，
∴r2=9，
即r=3，所以底面直径为6．
故选A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题．
过A作AE⊥A1B1，得A1E=4−22=1，AE= AA12−A1E2= 3.连接AC，A1C1，过A作AG⊥A1C1，求出A1G= 2，从而AG= AA12−A1G2= 2，由此能求出正四棱台的体积．
【解答】
解：如图，
ABCD−A1B1C1D1为正四棱台，AB=2，A1B1=4，AA1=2．
在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A1E=4−22=1，
AE= AA12−A1E2= 4−1= 3．
连接AC，A1C1，
AC= 4+4=2 2，A1C1= 16+16=4 2，
过A作AG⊥A1C1，A1G=4 2−2 22= 2，
AG= AA12−A1G2= 4−2= 2，
∴正四棱台的体积为：
V=S上+S下+ S上⋅S下3×ℎ
=22+42+ 22×423× 2
=28 23．
故选D．
9.【答案】ABD
【解析】解：由(1+i)z=3+i，得z=3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，
所以|z|= 22+(−1)2= 5，故A正确；
z的实部是2，故B正确；
z的虚部是−1，故C错误；
z−=2+i，在复平面内对应点的坐标为(2,1)，在第一象限，故D正确．
故选：ABD．
根据复数的乘除求出z，然后由模的计算公式及复数的有关概念，复数的几何意义，逐一分析求解即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：如图，连接AC，A1C1，
∵E，F分别是A1D1，C1D1的中点，∴EF/​/A1C1，
又AC/​/A1C1，则EF/​/AC，又AC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，
∴AC//平面EFG，故A正确；
设CD中点为M，连接FM，若G为BC中点，连接MG，
则有AC⊥MG，又AC⊥MF，MG∩MF=M，MG，MF⊂平面MFG，
则AC⊥平面MFG，又FG⊂平面MFG，
则AC⊥FG，∵EF/​/AC，∴EF⊥FG，故B正确；
设正方体棱长为2，取B1C1中点为N，连接EN，NG，∵EN//AB，
∴异面直线AB与EG所成的角即为∠NEG，
∵G为BC中点，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易得EN=NG，EN⊥NG，
∴角∠NEG=45°，故C错误；
易知BC/​/平面EFD1，则点G到平面EFD1的距离为定值，
∴三棱锥G−EFD1的体积为定值，故D正确．
故选：ABD．
作出图形，由线面平行的判定定理判断A，线面垂直的判定定理及性质判断B，由异面直线所成角的解法判断C，由点G到平面EFD1的距离为定值，由三棱锥体积公式判断D．
本题主要考查线面平行的判定，异面直线所成角的求法，棱锥体积的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故A正确；
对于B，由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B错误；
对于C，由柱状图知丁险种参保比例最高，故C正确．
对于D，曲扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故D错误；
故选：AC．
根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可．
本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图、折线统计图、条形图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】−1
【解析】解：由题意，复数z=2−i，则其虚部为−1．
故答案为：−1．
根据复数几何意义得z=2−i，再利用复数的虚部概念即可得到答案．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】6
【解析】解：一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，
又中位数为4+x2，众数为4，
所以4+x2=4×54，得x=6，
因为6×60%=3.6，
所以这组数据的第60百分位数是6．
故答案为：6．
先根据中位数是众数的54倍，求出x，然后根据百分位数的定义可求得结果．
本题考查百分位数相关知识，属于中档题．
14.【答案】25π
【解析】解：如图所示，设点G为△ABC的外心，则PG⊥平面ABC，
由VP−ABC=13S△ABC⋅PG=13×12×2 3×2 3× 32⋅PG=4 3，
∴PG=4，则三棱锥P−ABC的外接球的球心O在直线PG上，
设其外接球的半径为R，由正弦定理得AG=AB2sinπ3=2，
在Rt△OAG中，OG=|PG−R|=|4−R|，由勾股定理得OA2=OG2+AG2，即R2=22+|4−R|2，解得R=52，
∴正三棱锥P−ABC外接球的表面积是S=4πR2=4π×(52)2=25π，
故答案为：25π．
根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接球的半径，即可求出其表面积．
本题主要考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．
15.【答案】解：(1)若z是纯虚数，
则a−1=0a≠0，
所以a=1．
(2)因为|z|= (a−1)2+a2= 5，
所以a2−a−2=0，
所以a=2或a=−1．
当a=2时，z=1+2i，z=1−2i，
当a=−1时，z=−2−i，z=−2+i．
【解析】(1)若z是纯虚数，可得a−1=0a≠0，解出即可得出．
(2)由|z|= (a−1)2+a2= 5，解出即可得出．
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式及其共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.【答案】证明见解析；
证明见解析．
【解析】证明：(1)连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，
∵O、E为别为AC、CC1的中点，
∴OE/​/AC1，
又AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴AC1/​/平面BDE．
(2)∵点F为棱DD1中点，E为CC1的中点．
∴DF//C1E且DF=12DD1=12CC1=C1E，
∴四边形DFC1E为平行四边形，
∴FC1//DE，
又FC1⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，
∴FC1/​/平面BDE，
又AC1/​/平面BDE，且FC1∩AC1=C1，FC1，AC1⊂平面AC1F，
∴平面AC1F/​/平面BDE．
(1)连接AC交BD于O，由三角形中位线性质得OE/​/AC1，利用线面垂直的判定定理证明即可；
(2)先证四边形DFC1E为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理证明即可．
本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，是中档题．
17.【答案】证明见解析．
证明见解析．
【解析】证明：(1)点P为△ABC所在平面外一点，
PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，
∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB；
(2)由(1)得BC⊥平面PAB，
∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，
∴AE⊥平面PBC，
∵PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC，
∵AF⊥PC，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面AEF，
∴PC⊥平面AEF，
∵EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF．
(1)由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，结合BC⊥AB利用线面垂直的判定定理可证得结论；
(2)由(1)可得BC⊥AE，结合AE⊥PB可证得AE⊥平面PBC，则AE⊥PC，再结合AF⊥PC可证得PC⊥平面AEF，进而可证得PC⊥EF．
本题考查线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】补全后的频率分布表见解答； 补全后的频率分布直方图见解答； 504人．
【解析】(1)由已知样本容量为50，故第二组的频数为0.16×50=8，
第三组的频率为1050=0.20，
第四组的频数为：50−(4+8+10+16)=12，频率为1250=0.24，
故频率分布表为：
(2)因为[90,100]这一组的高为0.2410=0.024，
所以补全的频率分布直方图如下所示：
(3)样本中成绩在[80,100]的频率为0.32+0.24=0.56，
所以估计该校获得环保纪念勋章的学生有900×0.56=504人．
(1)根据频率分布直方图与频率分布表的性质，即可求解；
(2)根据频率分布表补全频数分布直方图；
(3)根据频率分布直方图的性质，即可求解．
本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．
19.【答案】证明见解析；
2 155；
105≤sinθ≤45．
【解析】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，
所以PO⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，
因为PO∩BD=O，PO，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，
因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD；
(2)由题意可得△ABD、△BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形，
所以PO=AO=CO= 3，S△BDC=12×2× 3= 3，
所以PC= PO2+CO2= 6，
因为BP=BD=BC=2，
所以S△PBC=12× 6× 22−( 62)2= 152，
设点D到平面PBC的距离为ℎ，
由VD−PBC=VP−BDC，得13S△PBC⋅ℎ=13S△BDC⋅OP，
即 152ℎ= 3× 3，解得ℎ=2 155，
故点D到平面PBC的距离为2 155；
(3)设直线PE与平面PBC所成的角为θ，
因为AD//BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
所以AD/​/平面PBC，
所以E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离ℎ．
如图，
过E作垂线EF⊥平面PBC交于点F，则θ=∠EPF，
此时sinθ=EFPE=2 155PE，
由(2)知PA=PC= 6，PD=AD=2，
所以S△PAD=12× 6× 22−( 62)2= 152，
则△PAD的边AD上的高为 152，
所以 152≤PE≤ 6，
又sinθ=2 155PE，
所以 105≤sinθ≤45．
(1)由题可得PO⊥平面ABCD，故PO⊥AC，根据菱形的性质可得BD⊥AC，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；
(2)根据题干数据结合VD−PBC=VP−BDC即可求解；
(3)由线面平行的判定定理可得AD/​/平面PBC，可得E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离ℎ，过E作垂线EF⊥平面PBC交于点F，可得θ=∠EPF，由sinθ=EFPE=2 155PE，可得结论．
本题主要考查线面垂直的判定、点到平面的距离、直线与平面所成角，属于中档题．分组
频数
频率
[50,60)
4
0.08
[60,70)
0.16
[70,80)
10
[80,90)
16
0.32
[90,100]
合计
50
分组
频数
频率
[50,60)
4
0.08
[60.70)
8
0.16
[70,80)
10
0.20
[80.90)
16
0.32
[90,100]
12
0.24
合计
50
1