2022-2023学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高一（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.  复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为(    )

A.  B. 或 C.  D.

3.  已知数据，，，的均值为，方差为，那么数据，，，的均值和方差分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  在中，角，，的对边分别为，，，，，，设边上的高为，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列条件中可以证明、、三点共线的是(    )

A.  B.
C. ，， D.

6.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点的三等分点，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是(    )

A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B. 甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的方差大于乙组数据的方差 D. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数

10.  下列函数中，最小正周期是，且在区间上单调递增的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若：：：：，则是钝角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则

12.  已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 的图象关于点中心对称
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为
二、非选择题（共90分）

13.  已知为虚数单位，复数，则______．

14.  已知向量，，，若与平行，则 ______ ．

15.  小张、小李参加满分为分只取整数的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为，，，，，；李的六次成绩从小到大分别为，，，，，只知小张的六次成绩的第百分位数等于小李的六次成绩的第百分位数，则 ______ ．

16.  如图，在边长为的正方形中，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，当点在劣弧上运动时，的最小值为______ ．

17.  已知平面向量，，，，且与的夹角为．
求及；
若与垂直，求的值．

18.  在中，角，，对应的边分别是，，，且．
求角的大小；
若，的面积，求的周长．

19.  为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中．
求、的值；
求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；
若按照分层抽样从，中随机抽取人，应如何抽取？

20.  小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，请你帮助小明估算索菲亚教堂的高度．

 

21.  已知向量，函数．
求函数的最大值及相应自变量的取值；
在中，角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．

22.  在中，三边，，所对的角分别为，，，已知，．
若，求；
若边上的中线长为，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数．
．
故选：．
利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．
本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
由正弦定理得得，
得，则或．
故选：．
根据正弦定理进行求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理建立方程是解决本题的关键，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为数据，，，的均值为，
所以，
所以新数据的平均数为：，
则原数据的方差为：，
则新数据的方差为：．
故选：．
利用平均数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差．
本题考查均值和方差的意义，掌握平均数和方差的计算方法是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形高的计算，根据余弦定理求出是解决本题的关键．
根据余弦定理先求出，然后求出，结合三角函数的定义进行求解即可．
【解答】
解：，，，

，
则，
则，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：对于，，
因为，所以，所以，
又因为公共端点，所以、、三点共线；
对于，当时，，此时的方向无法确定，
所以此时不能证明、、三点共线；
对于，由，，，得，
所以，
又因为公共端点，所以、、三点共线；
对于，由，得，
所以，且为相反向量，
但不能证明、、三点共线，如图所示．

故选：．
根据向量的加法运算法则结合平面向量共线定理即可判断；举出反例即可判断；根据向量的坐标表示判断是否共线即可判断．
本题考查了三点共线问题，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据，利用诱导公式，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，，
则．
故选：．
由已知结合和差角公式及二倍角公式即可求解．
本题主要考查了和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由折线图得：
对于，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；
对于，甲组数据除第二天数据低于乙组数据，
其它天数数据都高于乙组数据，可知甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数，故B正确；
对于，甲组数据比乙组数据稳定，甲组数据的方差小于乙组数据的方差，故C错误；
对于，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．
故选：．
根据折线图中的数据，结合极差的概念、平均数的求法、方差的求法及意义、中位数的概念，即可判断各项的正误．
本题考查命题真假的判断，考查极差、平均数、方差、中位数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，最小正周期为，在区间上单调递增，即A正确；
，，最小正周期为，且在上单调递增，即B正确；
，，最小正周期为，且在上不具有单调性，即C错误；
，，最小正周期为，且在上单调递减，即D错误．

故选：．
根据三角函数的周期性与单调性，逐一分析选项，即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握三角函数的周期性与单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对选项，，
根据正弦定理可得，
，
，又，
，选项正确；
对选项，：：：：，
易得，又，
为钝角，是钝角三角形，选项正确；
对选项，，，
，又，为锐角，
但与不明确，不一定是锐角三角形，选项错误；
对选项，，且，，
又在上单调递减，
，选项错误．
故选：．
根据正弦定理，余弦定理，向量数量积的概念，余弦函数的单调性，即可分别求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，向量数量积的概念，三角函数的单调性，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图知，，
，即，解得，
则，
又，则，，
，而，的图象不关于点中心对称，A错误；
时，，而正弦函数在上单调递增，则在区间上单调递增，B正确；
，而，则的图象关于直线轴对称，C正确；
当时，，
若，则，所有交点的横坐标之和为；
若，则，所有交点的横坐标之和为；
若，则，所有交点的横坐标之和为；
若，则，所有交点的横坐标之和为；
若，则，所有交点的横坐标之和为；D错误．
故选：．
由图象求出函数解析式，利用正弦函数的对称性判断选项AC；利用正弦函数的单调性判断选项B；利用正弦函数的图象和函数与方程思想判断选项D．
本题考查三角函数的图象和性质，考查正弦函数的单调性和对称性，考查函数与方程思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，向量，，，
则，
若与平行，则有，解可得．
故答案为：．
根据题意，先求出的坐标，再由向量平行的坐标表示方法，分析可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
则小张的六次成绩的第百分位数为，
，
则小李的六次成绩的第百分位数为，
故，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得，，
又点在劣弧上运动，
则，，
则，
又，
则，
显然当，
即时，取最小值，
则的最小值为，
故答案为：．
由平面向量数量积的运算，结合三角函数最值的求法求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数最值的求法，属基础题．
 

17.【答案】解：由，得，
；

；
与垂直，
，即，
，即，． 

【解析】求出，根据数量积的定义及向量模的计算即可得答案；
根据向量垂直，则数量积为，列式计算，结合数量积的运算律，即得答案．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：在中，由正弦定理得：
，代入式子，
化简得，，
，
，即，
，．
，
，
由余弦定理得，

，
的周长为． 

【解析】利用正弦定理化边为角即可求解；
根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意得，所以，
又，所以，．
平均数为，
众数为，
中位数为．
根据频率分布直方图可知的频数有，的频数有，
所以按照分层抽样从应抽取人，
从应抽取人． 

【解析】根据频率分布直方图的长方形的总面积为，再结合即可求解；
根据平均数、众数、中位数的定义即可求解；
按照分层抽样的定义抽取即可．
本题考查频率分布直方图、平均数、众数、中位数、分层抽样等统计知识的定义，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
由题意知：，，
所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，．
即索菲亚教堂的高度． 

【解析】根据题意结合正弦定理即可运算求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 

21.【答案】解：由题知，，
所以当，
即时，最大，且最大值为；
由知，，
则，
解得，或，
所以中，，又，
则，
整理得，
则，
当且仅当时，等号成立，
整理可得，
又在中，所以，
即的取值范围为． 

【解析】利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出，即可求出其最大值以及相应自变量的取值；
结合中的，求出，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：，，
由正弦定理得，
整理得，
，
，
又，则，
，，
由正弦定理得，即，解得；
设边上的中线为，则，
，即，
整理得，解得或不合题意，舍去，
． 

【解析】由正弦定理，两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合，可得，利用正弦定理，即可得出答案；
设边上的中线为，则，两边平方，利用余弦定理可得，解得的值，根据余弦定理，即可得出答案．
本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力、推理论证能力、转化与化归思想，属于中档题．