2024-2025学年河北省秦皇岛三中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛三中高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=−1+ii的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.在一次数学测试中，有8位同学的分数分别是：115，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是( )
A. 130B. 132C. 134D. 136
3.已知圆锥的母线长为2，高为 3，则圆锥的全面积为( )
A. 5πB. 4πC. 3πD. 2π
4.如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，下列运算正确的是( )
A. AB+BD=DA
B. BA+BC=BD
C. AB−AD=BD
D. BD−BA=DA
5.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=45°，a=3，c= 2，则b=( )
A. 2B. 5C. 17D. 21
6.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为( )
A. 25B. 35C. 625D. 1925
7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥β，则α//βB. 若m//α，n//α，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若α⊥β，m⊥β，则m//α
8.某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[50,100]内，按分数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图(不完整)，根据图中数据，下列结论错误的是( )
A. 成绩在[80,90)上的人数最多
B. 成绩不低于70分的学生所占比例为70%
C. 50名学生成绩的平均分小于中位数
D. 50名学生成绩的极差为50
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=(1−i)(6+i)，则( )
A. z−=7+5iB. |z−2|=5 2
C. z+7为纯虚数D. z在复平面内对应的点位于第四象限
10.新高一学生会对物理、历史2门课程进行选科，每位同学从中选择1门课程学习.现对该校2000名学生的选科情况进行了统计，如图①，并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取5%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②．
则下列说法正确的是( )
A. 满意率调查中抽取的样本容量为2000
B. 该校学生中对物理课程满意的人数约为720
C. 若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32，则a=80
D. 抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数
11.如图，三棱台ABC−A′B′C′的侧棱长均相等，△ABC和△A′B′C′都是等边三角形，A′B′=2，AB=4，AA′= 2，则( )
A. 直线AA′与直线CC′所成的角为π3
B. 直线AB与直线A′C′所成的角为π3
C. 三棱台ABC−A′B′C′的体积为2 2
D. 三棱台ABC−A′B′C′的体积为7 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量AB=(2,2)，AC=(−1,k−3)，若A，B，C三点共线，则k= ______．
13.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为34，45，则目标至少被击中1次的概率为______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，a+c=6，b=2 3，则△ABC的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题：
(1)[79.5,89.5]这一组的频率和频数分别为多少？
(2)估计该次环保知识竞赛的及格率(60分以上为及格)；
(3)估计这组数据的80百分位数．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,4)，b=(2,3)．
(Ⅰ)求a+2b的坐标；
(Ⅱ)求|a|；
(Ⅲ)若c=λa−b，且b⊥c，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．
(1)求A，C两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC(已知声音的传播速度为340米∕秒)
18.(本小题17分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1的中点．
(1)证明：BD1//平面PAC；
(2)求异面直线BD1与AP所成角的大小；
(3)求直线BD1与平面BCC1B1所成角的正切值．
19.(本小题17分)
DeepSeek是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间(单位：小时)，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在[2,2.5)内的用户称为“青铜用户”，使用时间在[2.5,3)内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.B
6.A
7.A
8.D
9.ABD
10.BC
11.BD
12.2
13.1920
14.2 3
15.(1)根据题目容易知，79.5−89.5这一组数据的频率为0.025×(89.5−79.5)=0.25，
79.5−89.5这一组数据的频数为60×0.25=15；
(2)及格率为1−0.01×10−0.015×10=75%；
(3)因为数据落在[39.5,79.5)的频率为0.7，
数据落在[79.5,89.5)的频率为0.25．
设这组数据的80百分位数为x，
所以x∈[79.5,89.5)，
所以x−79.589.5−x=，故x=83.5，
即这组数据的80百分位数为83.5．
16.(Ⅰ)向量a=(1,4)，b=(2,3)．
则a+2b=(1,4)+2×(2,3)=(5,10)；
(Ⅱ)a=(1,4)，则|a|= 12+42= 1+16= 17；
(Ⅲ)c=λa−b=λ(1,4)−(2,3)=(λ−2，4λ−3)，
因为b⊥c，
所以b⋅c=2(λ−2)+3(4λ−3)=0，解得λ=1314．
17.解：(1)由题意，设AC=x，则
∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒
∴BC=x−217×340=x−40，
在△ABC内，由余弦定理：BC2=BA2+CA2−2BA⋅CA⋅cs∠BAC，
即(x−40)2=x2+10000−100x，解得x=420．
(2)在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，
∴CH=AC⋅tan∠CAH=140 3米．
答：该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米．
18.(1)证明：设AC∩BD=O，连接PO，
在△BDD1中，点P为棱DD1的中点，O为BD的中点，所以PO//BD1，
因为BD1⊄平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD1//平面PAC；
(2)解：由PO//BD1，可知∠APO(或补角)为异面直线BD1与AP所成的角，
由题意得AD=DP=DC=1，PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，
所以AP=PC=AC= 2，
因为OA=OC，PO为等边三角形△APC的中线，
所以∠APO=π6，可得异面直线BD1与AP所成的角为π6；
(3)解：连接BC1，
根据D1C1⊥平面BCC1B1，可得∠D1BC1为直线BD1与平面BCC1B1所成的角，
在Rt△BD1C1中，D1C1⊥BC1，D1C1=1,BC1= 12+22= 5，
所以tan∠D1BC1= 55，可得直线BD1与平面BCC1B1所成的角的正切值为 55．
19.(1)根据题意可知，0.5×0.2+0.5×0.48+0.5a+0.5×0.4+0.5×0.2=1，∴a=0.72，
平均值为，0.75×0.1+1.25×0.24+1.75×0.36+2.25×0.2+2.75×0.1=1.73，
(2)根据题意可知，抽取的6名学生中，青铜用户选4名，记为a，b，c，d，铂金用户选2名，记为A，B，
样本空间Ω={ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB}，
设事件A=“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则A={aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB}，
∵抽中样本空间Ω中每一个样本点的可能性都相等，∴这是一个古典概型，
∴P(A)=815．