人教课B标版高中数学必修5 2-2-1-等差数列 课件

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2.2.1等 差 数 列请看下面一些数列:鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22，22.5，23，23.5，24，24.5，……某月星期日的日期为 2，9，16，23，30；一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度为： 89，83，77，71，65，59，53，47(cm)特征：从第2项起，每一项与前一项的差都等于一个常数.等差数列的定义 如果一个数列{an}，从第2项起每一项与前一项的差都等于一个常数，那么这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。例1．已知数列{an}的通项公式为an=3n－5，这个数列是等差数列吗？解：因为当n≥2时， an－an－1=3n－5－[3(n－1)－5]=3， 所以数列{an}是等差数列，且公差为3. 说明：判断一个数列是否等差数列，应严格按照等差数列的定义来进行。如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 求它的通项公式an∴a 2＝a1＋da 3＝a2＋d＝a1＋2d a 4＝a3＋d＝a1＋3da 5＝a4＋d＝a1＋4d ……由此得: an＝a1＋(n－1)d （ n∈N+)解：由等差数列得定义得： a n＋1＝an＋d例2．已知等差数列10，7，4，……； （1）试求此数列的第10项； （2）－40是不是这个数列的项？－56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？解：（1）设此数列为{an}， 由a1=10，a2=7，得d=7－10=－3， 得到这个数列的通项公式为 an=10－3(n－1)，即an=－3n+13， 当n=10时，a10=－17.（2）如果－40是这个数列的项， 则方程－40=－3n+13应有正整数解，所以－40不是这个数列的项；如果－56是这个数列的项，则方程－56=－3n+13有正整数解，解这个方程得n=23，所以－56是这个数列的第23项；等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项。 在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。在等差数列{an}中， an＝a1＋(n－1)d=nd+(a1－d)可以看出，当公差d=0时，该数列是常数列.即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0.当公差d≠0时，an是关于n的一次函数形式. 设数列{an}的通项公式是an=an+b，(a，b是常数) 因为an－an－1=(an+b) －[a(n－1)+b]=a.(n≥2)所以{an}是等差数列，其中a是公差.结论： 如果{an}是等差数列，则an=an+b，(a，b是常数)； 反之，若{an}的通项公式是an=an+b，(a，b是常数)，则数列{an}是等差数列， 由于等差数列的通项公式可以表示为an=an+b， 因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一条直线上。 当a≠0时，各点均在一次函数y=ax+b的图象上； 当a=0时，各点均在函数y=b的图象上。例3．已知等差数列的公差为d，第m项为am，试求其第n项an.解：由等差数列的通项公式可知 an=a1+(n－1)d，am=a1+(m－1)d， 两式相减得， an=am+(n－m)d.例4.（1）在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q， 求证：am＋an＝ap＋aq. （2）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，求a2＋a8. 解：（2）∵ a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5， ∴ 5a5=450， a5=90, ∴ a2+a8= 2×90=180.例5．梯子共有5级，从上往下数第1级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列{an}，求第2，3，4级的宽度。解法1：由题意，a1=35，a5=43，由等差数列通项公式，因此得a2=37，a3=39，a4=41. 得公差解法2：此数列共5项，a3是a1与a5的等差中项， 因此 又因为a2是a1与a3的等差中项，a4是a3与a5的等差中项，所以 答：梯子的第2，3，4级的宽度分别是37cm，39cm，41cm.例6．已知等差数列{an}的首项a1=17，公差d=－0.6，此等差数列从第几项开始出现负数？ 解：由题意，{an}的通项公式是 an=17－0.6(n－1)， 令17－0.6(n－1)