吉林省八校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份吉林省八校2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了 抛物线的焦点坐标为， 圆与的位置关系为， 已知直线与垂直，则， 已知椭圆，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，且抛物线的开口向上，焦点在轴上，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：B.
2. 圆与的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径．两圆圆心距为，所以圆与圆内切．
故选：D.
3. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ）
A. 3B. 12C. 15D. 3或15
【答案】C
【解析】因为双曲线方程为，所以，则，
设双曲线的左､右焦点分别为，
又点在双曲线的右支上，且，
所以，则.
故选：C.
4. 已知直线与垂直，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】因为直线与垂直，
所以，解得.
故选：C.
5. 已知直线与直线平行，且与椭圆交点为，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为直线与直线平行，
所以直线的斜率为，即，
因为，都在椭圆上，所以，，
则，
即，
所以，
所以，
故选：A.
6. 已知直线与关于原点对称，则恒过点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为直线恒过点，点关于原点对称的点的坐标为，所以直线恒过点.
故选：A.
7. 设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆，其圆心为，半径为．
因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点．
因为圆心距为，所以，解得．
故选：B.
8. 如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意可得，所以，
所以该笔筒中间最窄处的直径为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆，则（ ）
A. 椭圆的长轴长为10B. 椭圆的一个顶点为
C. 椭圆的焦距为8D. 椭圆的离心率为
【答案】ACD
【解析】因为，且椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的长轴长为10，顶点为，焦距为8，离心率.
故选：ACD.
10. 已知直线和曲线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A. 曲线的长度为B.
C. D. 若，则
【答案】CD
【解析】由，得，
因为，所以曲线表示以为圆心，半径的半圆，
则其周长为，A错误；
如图：当直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，
解得舍去）．
当直线过点时，直线和曲线有2个交点，此时，解得．
当直线和曲线有两个交点时，，B错误；
，因为，所以，C正确；
线段的中垂线过圆心2,0，斜率为1，所以方程为，
点在直线上，D正确。.
故选：CD.
11. 已知抛物线准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ）
A. 点F坐标为
B. 的最小值为
C. 存在两个P点，使得
D. 若为正三角形，则圆M与直线PQ相交
【答案】ACD
【解析】对A，准线与圆相切，
可知，可得，所以F1,0，故A正确；
对B，根据可得，
可确定最小值为，故B错误；

对C，若，则PM=PF，做中垂线，
根据题意知，设为中点，则可得，
直线斜率为，根据点斜式可确定为，
与抛物线联立得，，
所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确；
对D，根据为正三角形，所以，
则，
且，所以可得，和圆与轴交点为0,3，
，
所以可知圆M与直线PQ相交，故D正确.

故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 椭圆的短轴长为__________，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为__________.
【答案】
【解析】由椭圆，则，即，
所以短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.
13. 直线的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【解析】依题意，直线的斜率，则，所以.
14. 若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则__________．
【答案】2或4
【解析】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r，
由题意可得，
，所以，
即，解得或16，即或4，
经检验，都满足题意．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知点，且四边形是平行四边形．
（1）求点的坐标；
（2）求平行四边形的面积．
解：（1）由题意得直线的斜率为，则其方程为，
直线的斜率为，
因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为，
因为直线与直线平行，且过点，
所以直线的方程为1．
联立，解得，即点的坐标为．
（2）因为，
又点到直线的距离，
故平行四边形的面积.
16. 求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，实轴长为8，离心率为；
（2）焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为.
解：（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以，
解得，所以，
所以所求双曲线的标准方程为.
（2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为.
因为焦距为，所以，
所以.
又渐近线方程为，所以，
则，所以所求双曲线的标准方程为.
17. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的点到其焦点的距离的最大值为10，最小值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为-3,2，求直线的方程.
解：（1）由题意可知，则.
因为，所以椭圆方程为.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
两式相减得，
整理可得.
因为线段的中点坐标为-3,2，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
直线和轴的交点为，
该点在椭圆内，故直线和椭圆相交，满足条件.
18. 已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率.
解：（1）设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，
则，
当三点共线且点在线段上时，取得最小值，
则，整理得，解得或，
因为，所以，故的方程为.
（2）设过点1,0的直线.
联立，消元得，显然，所以，
由，
得
代入韦达定理得：
化简得，得或.
故的斜率为4或.
19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求；
（3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上．
（1）解：设，因为，所以，
即，整理得，
所以曲线的轨迹方程为．
（2）解：曲线的圆心到直线的距离，
所以．
（3）证明：设．
联立得，
．
设，
所以直线的方程为，
直线的方程为．
因为直线与直线交于点，所以
则
，
即，解得，
所以点在直线上．