吉林省长春市第八中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷（含解析）

这是一份吉林省长春市第八中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．圆：与圆：的公切线有且仅有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A．3B．C．D．
7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ）
A．9B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．是直线的一个方向向量
B．直线在y轴上的截距为1
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．过点且垂直于直线的直线方程为
10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与圆相交
B．若直线与圆相切，则
C．圆上一点到直线的最大距离为
D．若圆上恰好有三个点到直线的距离为2，则
11．椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆离心率为 B．面积的最大值为
C．的取值范围为 D．若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 ．
13．直线与椭圆有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
14．已知为圆上一动点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知直线.
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
16．（15分）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程
(2)求过点的切线方程；
17．（15分）已知圆，圆．
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)设时，圆与圆相交于、两点，求．
18．（17分）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点．
(1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
19．（17分）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，.
(1)若直线过点，求直线的方程；
(2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程；
②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值.参考答案
1．C
【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角.
【详解】直线的斜率是，
设倾斜角为，则，
∴.
故选：C.
2．C
【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型.
【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或．
将代入直线，的方程，得，，易知；
将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去．
综上所述，“”是“”的充要条件．
故选：．
3．B
【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解．
【详解】解：圆，则圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
得两圆的圆心距为：，
则，
得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条．
故选：B
4．A
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，
设，，则，，
，，
中，，
整理得到，即，故.
故选：A
5．D
【分析】由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断.
【详解】由圆的方程可化为， ，又点在圆外，则，，综上.
故选：D.
6．B
【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程．
【详解】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
，光线所经过的路程即的周长，
而的周长为，
所以光线所经过的路程是．
故选：B
7．A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
8．C
【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可.
【详解】由以及得，，
因，则两条直线垂直，
则，
则
，
等号成立时，
故的最小值是.
故选：C
9．AD
【分析】根据方向向量的定义，可判断A的正误；根据直线截距的定义，可判断B的正误；根据倾斜角与斜率的关系，可判断C的正误；根据两直线垂直，斜率的关系，结合点斜式方程，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】选项A：对于直线，，所以方向向量为，故A正确；
选项B：直线，变形可得，在y轴上的截距为-1，故B错误；
选项C：当倾斜角，斜率不存在，故C错误；
选项D：直线变形为，
所以与其垂直直线斜率，
又过点，
所以直线方程为，即，故D正确；
故选：AD
10．AC
【分析】易知圆心，半径，由选项，结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和两点之间的距离公式依次计算即可求解.
【详解】A：当时，直线，圆的方程可化为，
所以圆心，半径，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，故A正确；
B：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，故B错误；
C：因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离，
则圆上一点到直线的最大距离为，故C正确；
D：因为圆上恰好有三个点到直线的距离为2，
所以圆心到直线的距离，解得或，故D错误.
故选：AC.
11．BC
【分析】根据椭圆方程可得离心率，知A错误；当为椭圆短轴端点，面积最大，知B正确；结合椭圆定义可将化为关于的二次函数，根据的范围可求得C正确；利用椭圆定义可知，由此可求得D错误.
【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距，
椭圆离心率，A错误；
对于B，设，则，
当为椭圆短轴端点时，面积取得最大值，B正确；
对于C，由椭圆定义知：，
；
，，
当时，；当或时，；
的取值范围为，C正确；
对于D，由椭圆定义知：，
（当且仅当三点共线时取等号，即位于图中处时取等号），

又，，即的最大值为，D错误.
故选：BC.
12．
【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长.
【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，
所以，所以长轴长为．
故答案为：．
13．．
【分析】联立直线与椭圆方程，根据其有两个不同交点，令判别式大于，即可求解.
【详解】由题意，
∵此方程有两个不相等实根，∴，
∴．
故答案为：.
14．8
【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解.
【详解】设，则在直线上，
又因为在圆上，
所以直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，解得.
所以的最大值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解；
（2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解.
【详解】（1）由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或.
16．(1)(2)或；
【详解】（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为，
（2）当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值；
（2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长.
【详解】（1）因圆，得圆心，半径.
又圆，得圆心，半径.
所以圆心距，，
因圆与圆外切，所以，得，解得或.
故实数的值为或.
（2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交.
将两圆方程相减得直线AB的方程为.
所以圆心到直线AB的距离，且半径，
由圆的弦长公式得.
故.
18．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程．
（2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解.
【详解】（1）因为，，故，
所以，故，
又圆的标准方程为，从而，所以．
由题设得，，，
设点，则有，化简可得，
又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为.
（2）由（1）知，点的轨迹方程为，
由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在，
设弦的两端点分别为，
则①，②，
由①②，可得，
依题意，，代入上式，，
故有，
故以为中点的弦所在的直线方程为，即.
19．(1)或
(2)①；②证明见详解
【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；
（2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，即直线，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线，即，
则，解得，
所以直线；
综上所述：直线的方程为或.
（2）①若线段AB的中点为，可得，即，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以点的轨迹方程；
②由（1）可知：直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，点、，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，
则
.
所有为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
A
D
B
A
C
AD
AC
题号
11









答案
BC