2024-2025学年吉林省八校高二上学期10月期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省八校高二上学期10月期中考试数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线x2=120y的焦点坐标为( )
A. 0,−30B. 0,30C. −30,0D. 30,0
2.圆C1:x2+y−12=1与C2:x2+y2=4的位置关系为( )
A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切
3.若双曲线x29−y211=1的右支上一点P到右焦点的距离为9，则P到左焦点的距离为( )
A. 3B. 12C. 15D. 3或15
4.已知直线l1:x+2−ky+1=0与l2:2y+3=0垂直，则k=( )
A. 0B. 1C. 2D. 12
5.已知直线l与直线x−y+5=0平行，且与椭圆x2+y24=1的交点为Ax1,y1，Bx2,y2，则y1+y2=( )
A. −4x1+x2B. 4x1+x2C. −14x1+x2D. 14x1+x2
6.已知直线l1:y=kx+2k+4与l2关于原点对称，则l2恒过点( )
A. 2,−4B. −2,4C. −4,2D. 4,−2
7.设有一组圆Ck:(x−k)2+(y−k)2=k2k>0，若圆Ck上恰有两点到原点的距离为1，则k的取值范围是( )
A. 0,1B. 2−1, 2+1
C. 0, 2+1D. 2−1, 2+2
8.如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为 5且焦距为10cm的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为( )
A. 4cmB. 2 5cmC. 6cmD. 3 5cm
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆C:x29+y225=1，则( )
A. 椭圆C的长轴长为10B. 椭圆C的一个顶点为5,0
C. 椭圆C的焦距为8D. 椭圆C的离心率为45
10.已知直线l:x+y−m−2=0和曲线C:x2+y2−4x+3=0y≥0相交于A,B两点，下列结论正确的是( )
A. 曲线C的长度为2πB. m∈− 2, 2
C. AB∈0, 2D. 若D4,2，则DA=DB
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线l与圆M：x2+(y−4)2=1相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是( )
A. 点F的坐标为(1,0)
B. |PN|+|PQ|的最小值为 17
C. 存在两个P点，使得|PM|=|PQ|
D. 若△PQF为正三角形，则圆M与直线PQ相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆x2+y210=1的短轴长为 ，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ．
13.直线l:xsin2θ−y+2=0的倾斜角α的取值范围是 ．
14.若过圆C:x2+(y−2)2=r2r>0外一点P2,−2作圆C的两条切线，切点分别为A,B，且AB=8 55，则r= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点A−1,1,B0,−1,C3,0，且四边形ABCD是平行四边形．
(1)求点D的坐标；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
16.(本小题15分)
求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，实轴长为8，离心率为74；
(2)焦点在y轴上，焦距为2 10，渐近线方程为y=±2x．
17.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点到其焦点的距离的最大值为10，最小值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为(−3,2)，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
已知动点P在抛物线C:y2=2pxp>0上，Q−2,3，点P到C的准线的距离为d，且d+PQ的最小值为5．
(1)求C的方程；
(2)若过点1,0的直线l与C交于A,B两点，且直线QA的斜率与直线QB的斜率之积为−12，求l的斜率．
19.(本小题17分)
古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，N(1,0),M(4,0)，动点Q满足QMQN=2，设动点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)若直线x−y+1=0与曲线C交于A,B两点，求|AB|；
(3)若曲线C与x轴的交点为E,F，直线l:x=my−1与曲线C交于G,H两点，直线EG与直线FH交于点D，证明：点D在定直线上．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.A
6.A
7.B
8.B
9.ACD
10.CD
11.ACD
12.2；
2 10

13.[0,π4]
14.2或4
15.解：(1)
由题意得直线AB的斜率为kAB=1+1−1−0=−2，则其方程为y=−2x−1，
直线BC的斜率为kBC=−1−00−3=13，
因为直线CD与直线AB平行，且过点C3,0，所以直线CD的方程为y=−2x−3，
因为直线AD与直线BC平行，且过点A−1,1，所以直线AD的方程为y=13x+1+1.
联立y=−2x−3y=13x+1+1，解得x=2y=2，即点D的坐标为2,2．
(2)
因为AB= −1−02+1+12= 5，
又点C3,0到直线AB的距离d=−2×3−1 22+12=7 55，
故平行四边形ABCD的面积S=AB⋅d=7．

16.解：(1)
因为双曲线焦点在x轴上，实轴长为8，离心率为74，所以2a=8ca=74,
解得a=4c=7，所以b2=c2−a2=33，
所以所求双曲线的标准方程为x216−y233=1．
(2)
依题意，可设所求双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1a>0,b>0．
因为焦距为2 10，所以c= 10，
所以c2=a2+b2=10．
又渐近线方程为y=±2x，所以ab=2，
则a2=8,b2=2，所以所求双曲线的标准方程为y28−x22=1．

17.解：(1)
由题意可知a+c=10a−c=2，则a=6c=4．
因为b2=a2−c2=20，
所以椭圆C的方程为x236+y220=1．
(2)
设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1236+y1220=1,x2236+y2220=1,
两式相减得x12−x2236+y12−y2220=0，
整理可得y1−y2x1−x2=−59×x1+x2y1+y2．
因为线段AB的中点坐标为(−3,2)，所以x1+x2=−6,y1+y2=4，
所以直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=−59×x1+x2y1+y2=−59×−64=56，
故直线l的方程为y−2=56x+3，即5x−6y+27=0．
直线5x−6y+27=0和x轴的交点为−275,0，
该点在椭圆C内，故直线5x−6y+27=0和椭圆相交，满足条件．

18.解：(1)
设抛物线C的焦点为Fp2,0，由抛物线的定义可得PF=d，
则d+PQ=PF+PQ≥FQ，
当Q,P,F三点共线且点P在线段QF上时，PF+PQ取得最小值5，
则FQ= p2+22+32=5，整理得p2+22=16，解得p=4或p=−12，
因为p>0，所以p=4，故C的方程为y2=8x．
(2)
设过点1,0的直线l:x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2．
联立y2=8xx=my+1，消元得y2−8my−8=0，则y1+y2=8my1y2=−8,
由kQA⋅kQB=y1−3x1+2⋅y2−3x2+2=y1−3y2−3my1+3my2+3=−12，
得m2+2y1y2+3m−6y1+y2+27=−8m2+2+8m3m−6+27=0,
代入韦达定理得：m2+2−8+3m−68m+27=−8m2+2+8m3m−6+27=0,
化简得16m2−48m+11=0⇒4m−14m−11=0，
得m=14或114．
故l的斜率为4或411．

19.解：(1)
设Qx,y，因为QMQN=2，所以|QM|2=4|QN|2，
即(x−4)2+y2=4(x−1)2+y2，整理得x2+y2=4，
所以曲线C的轨迹方程为x2+y2=4．
(2)
曲线C的圆心到直线x−y+1=0的距离d=1 12+(−1)2= 22，
所以AB=2 r2−d2=2 4−12= 14．
(3)
证明：设Gx1,y1,Hx2,y2,Dx0,y0．
联立x=my−1,x2+y2=4,得m2+1y2−2my−3=0，
Δ=4m2+12m2+1>0,y1+y2=2mm2+1,y1y2=−3m2+1．
设E−2,0,F2,0，所以直线EG的方程为y=y1x1+2x+2，直线FH的方程为y=y2x2−2x−2．
因为直线EG与直线FH交于点D，所以y0=y1x1+2x0+2,y0=y2x2−2x0−2,
则x0+2x0−2=y2x2−2⋅x1+2y1=y2my1+1my2−3y1=my1y2+y1+y2−y1my1y2−3y1
=−3mm2+1+2mm2+1−y1−3mm2+1−3y1=−mm2+1−y1−3mm2+1−3y1=13，即x0+2x0−2=13，解得x0=−4，
所以点D在直线x=−4上．