吉林省联盟校考试2025-2026学年高二上学期10月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省联盟校考试2025-2026学年高二上学期10月期中考试数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．在空间四边形PABC中，（ ）
A．B．C．D．
3．点与椭圆的位置关系为（ ）
A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定
4．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．两平行直线之间的距离为（ ）
A．B．3C．D．
6．已知，，，与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．是平面的一个法向量B．是平面的一个法向量
C．D．
11．在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（ ）
A．当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为
B．的取值范围为
C．不可能为钝角
D．当为等边三角形时，点P的坐标为
三、填空题
12．过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程为 ．
13．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为 .
14．已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 ．
四、解答题
15．已知直线的斜率为，且在轴上的截距为．
(1)求直线与轴交点的坐标；
(2)求直线与两坐标轴围成的三角形的周长．
16．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
17．已知圆：，圆：.
(1)证明：圆与圆相交；
(2)若圆与圆相交于A，B两点，求.
18．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.
(1)证明: 平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点.
1．C
由两点横坐标得直线与轴垂直，从而易得倾斜角．
【详解】由已知两点横坐标知直线的斜率不存在，即轴，所以倾斜角为，
故选：C．
2．A
根据空间向量的加法、减法法则即可得到答案.
【详解】．
故选：A.
3．B
【解析】将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系.
【详解】，可知点在椭圆内．
故选：B.
4．D
根据，解不等式即可求解.
【详解】由方程表示圆，
则，
解得.
所以实数m的取值范围为.
故选：D
5．C
把化成，然后利用两平行线距离公式求解即可.
【详解】由题意即为直线，
所以两平行直线之间的距离为．
故选：C
6．B
首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可．
【详解】因为，，，
所以，，
故，
所以，，
，
所以，
因为与的夹角为，
所以，
解得，
经检验，不合题意，舍去，所以．
故选：B．
7．A
利用空间向量基本定理求解.
【详解】
如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点,
所以，
又点M是线段上的一点，且，
所以，
，
故选：A.
8．D
【解析】根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程
【详解】设，有，
由可知，
又由椭圆的定义有，
可得，解得，
可得，
，，
故选：D.
9．AC
【详解】设所求直线的方程为，即，
因为点，到直线的距离相等，
所以，
解得或，
即所求直线方程为或，
故选：AC．
10．ABD
根据正方体的结构特征及线面位置关系求解即可.
【详解】如图，
由正方体中的线面位置关系，可知平面，平面，
平面，所以ABD正确，
因为与所成的角为60°，所以C不正确，
故选：ABD
11．ABC
首先结合点到直线的距离公式分析出的取值范围，进而数形结合分析可得和的范围，从而可判断ABC的正误，然后设出点P的坐标，结合等边三角形的性质以及两点间的距离公式求出点P的坐标，即可判断D的正误.
【详解】
到直线的距离为，当垂直于直线时，可求得点，此时，所以当点自由移动时，的最小值为，当且仅当垂直于直线时，取得最小值，所以对于任意的点，有，因为，所以，所以，同理，所以，，故，而，趋于0时，趋于，故的取值范围为，当四边形为正方形时，，可求得，点的坐标有唯一解，故A、B、C正确；当为等边三角形时，，所以，设，因为点在直线上，则，解得或，即或，故D错误.
故选：ABC.
12．或
【详解】直线在坐标轴上的截距相等有两种情况：
①横、纵截距存在且都为0，即直线过原点，设直线方程为，
因为直线过点，即，解得，
所以直线方程为，即；
②横、纵截距存在且都不为0，设直线在坐标轴上的截距均为，
则直线方程可设为，即.
因为直线过点，所以，解得，
所以直线方程为．
综上，过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程为或．
故答案为：或
13．
【详解】解：方程表示椭圆，即方程表示椭圆，则，解得且，即．
故答案为：．
14．
借助空间向量中点到直线的距离公式计算即可得.
【详解】，则有，
即点到直线的距离为
故答案为：.
15．(1)
(2)24
（1）由斜率和纵截距写出直线方程，然后求出横截距；
（2）写出直线与坐标轴交点坐标，然后得到线段长，然后求得三角形周长.
【详解】（1）由已知可得直线的方程为，
令，可得，
所以直线与轴交点的坐标为；
（2）设坐标原点为，，，
由题意及（1）知直线与两坐标轴围成的三角形为，
，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为24.
16．(1)作图见解析，
(2)证明见解析
（1）由条件建系，求出相关点的坐标，利用进行向量的坐标运算，即可求得点的坐标；
（2）求出的坐标，利用向量垂直的坐标公式证明即可.
【详解】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直，
故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图，易得，，，.
设，则，
由代入坐标，可得，
解得，故点的坐标为.
（2）由（1）易得，
因，故.
17．(1)证明见解析；
(2).
（1）写出两圆的标准方程，进而确定圆心坐标、半径，判断圆心距离与两圆半径之间的关系即可证结论.
（2）根据（1）的结论，将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系求即可.
【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为2，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
∴圆和圆的圆心之间的距离为，
由，可知：圆和圆相交，得证.
（2）由（1）结论，将圆与圆作差，得：直线AB的方程为，
圆的圆心到直线AB的距离为，
∴.
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，，则，
在中，因为，则，
因为，，所以，，
所以，则，
又，、平面，所以平面
（2）解：因为，为的中点，则，又平面，
以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
所以，，，，
，，，
，
设平面法向量为，则，令，即，
设平面法向量为，则令，即，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
所以．
19．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，．
将代入，整理得，
解得或，则，
可得．
将代入可得，解得或，
则，所以．
直线的斜率为，
因此直线方程为，
化简得，于是直线经过定点．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
D
C
B
A
D
AC
ABD
题号
11









答案
ABC