河北省保定市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据空间直角坐标系的性质，都可点关于平面的对称点是．
故选：A.
2. 直线：的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：.
3. 已知在空间直角坐标系中，点，，则点A到BC的中点D的距离为（ ）
A. B. C. 7D. 6
【答案】C
【解析】由，则BC的中点，
则．
故选：C.
4. 若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知：直线与直线垂直，
则，
直线与直线垂直，则，
即得.
故选：B.
5. 若直线与直线交点在第一象限，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得，
因为两直线的交点在第一象限，所以，
解得：.
故选：B.
6. 一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点，
因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为，
即.
故选：.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ）

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】在从左往右第一个图中，因为，所以，
因为侧棱垂直于底面，所以面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，

因为分别是所在棱的中点，所以
所以，，故，
即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，

此时，所以，，
故，所以，
在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，

此时，
故，，即，所以不垂直，
则3个直观图中满足的有个，故C正确.故选：C.
8. 已知过点的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A. 12B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，
直线的方程为，则，
所以
，
当且仅当，即时，取等号.
所以的最小值为.故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．
9. 已知四边形ABCD是平行四边形，，则（ ）
A. B.
C. D. 点B到直线AC的距离为
【答案】BCD
【解析】易得，A错误．
因为四边形是平行四边形，所以，
设，得，
所以，解得，则，B正确．
，C正确．
点到直线的距离为，D正确．
故选：BCD.
10. 已知，若直线与线段相交，则m的值可能为（ ）
A. B. 4C. 10D.
【答案】BC
【解析】由，得，
令得则直线过定点．
直线的斜率，
因为直线的斜率，直线的斜率，
所以或，解得或．
故选：BC.
11. 已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（ ）
A. 当P为底面的中心时，
B. 当时，长度的最小值为
C. 当时，长度的最大值为6
D. 当时，为定值
【答案】BCD
【解析】对于A，当为底面的中心时，由，
则 故，故A错误；
对于B，当时，
当且仅当，取最小值为，故B正确;
对于C，当时，，则点在及内部，
而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分，
当时，，当时，，可得最大值为，故C正确；
对于D，， ，
而，
所以
，则为定值，故D正确.
故答案选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线与直线平行，则______．
【答案】
【解析】由于两条直线的系数均不为零，即两条直线都有斜率，
则，则，直线，则，
由直线与直线平行，
所以，解得：，经检验两直线平行不重合.
13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
14. 在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为______．
【答案】
【解析】设，因为点在矩形内（含边界），
则，，
因为点到点，的“折线距离”相等，
所以，即，则，
当时，，
当时，，
设，，则点的轨迹为线段，
故点的轨迹长度为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线经过点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
解：（1）依题意设直线的方程为，则，解得，
故直线的方程为．
（2）当直线过原点时，设直线的方程为，则，解得，
此时直线的方程为．
当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，
此时直线的方程为，即．
故直线的方程为或．
16. 如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，.
（1）用，，表示向量，；
（2）若求的值．
解：（1），
；
（2）由题意易知，
则，
，
则
．
17. 如图，在几何体中，平面，，，，，分别为棱，的中点.
（1）证明：平面．
（2）证明：.
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：如图，连接.
在中，，分别为棱，的中点，所以,，
又平面，平面.
所以平面.
（2）证明：因平面，平面，所以，
又,平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，所以.
（3）解：因为，
所以直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，
设为.
不妨设，则.
设到平面的距离为.
则.
又.
在中，，，
所以,
，.
所以.
所以.
故直线与平面所成角的正弦为.
18. 如图，已知四点均在直径为的球B的球面上，，直线PO与平面AOC所成的角为，点D在线段PC上运动．
（1）证明：
（2）设平面BOC与平面KHD的夹角为，求的最大值．
（1）证明：由题意可知为球的直径，所以．
又因为，
所以，，
所以平面，平面，
所以，，
所以平面．
（2）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，
根据题意可得，
则，
所以，，
则，
设平面的法向量为，
则，取．
设，则．
设平面的法向量为，
则取，
．
令，
则，
当，即时，取得最大值，最大值为.
19. 过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线．
（1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由．
（2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标．
（3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围．
解：（1）存在点，使得，是定积直线，理由如下：
由题意可得，
由，解得，
故存在点，使得，是定积直线，且．
（2）设直线斜率为，则直线的斜率为，直线的斜率为．
依题意得，得，即或．
直线的方程为，因为点在直线上，所以．
因为点在第一象限，所以，解得或（舍去），，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由，得，即点的坐标为．
（3）设直线，直线，其中，
则
，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，故的取值范围为．