河北省保定市八校联考2025-2026学年高二上学期10月考试 数学试卷

这是一份河北省保定市八校联考2025-2026学年高二上学期10月考试 数学试卷，共8页。

考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．作．答．无．效．。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.?? + ??−?? =
?.???.???.???.??
已知点 A(-4,7),B(3,21),则直线 AB 的斜率为
11
A.-2?.−2C. 2D.2
已知直线 l₁: ax+y+3=0,l₂:x+ ay+3=0,若 l₁∥l₂,则 a=
A.-1B.1C.0D.-1 或 1
若平面 α,β 的法向量分别为 a=(-1,2,7),b=(2,3,-4),则平面 α 与 β 的位置关系是
A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定
如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,A₁C₁与 B₁D₁ 相交于点 O,记 ?? = ?,?? = ?,??1 = ?,则 ?? =
11
?.2? + 2? + ?
11
?.−2? + 2? + ?
11
?.2?−2? + ?
11
?2?−2?−?
一条光线从点 A(-4，6)射出，与 x 轴交于点 B(-1，0)，经 x 轴反射，则反射光线所在直线的方程为
A. y=-x-1B. y=2x+2C. y=-3x-3D. y=4x+4
已知空间向量 a =(-2,-1,2),b =(1,1,2),c =(x,-x,10)共面,则 x=
A.-1B.1C.2D.3
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=CD=1,AB=2,AB∥CD,AB⊥AD,点 E 是四边形 ABCD 内
?
部的一点，且平面 ABP 与平面 PBE 的夹角为
4
，则点 E 的轨迹的长度为
4 5
?. 5
?.
4 10
5
8 2
?. 5
?.
2 30
5
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已知向量 a=(1,-1,0),b=(0,1,-1),则下列说法正确的是
A.向量 a,b 的夹角为²π₃
5
3
?.∣2? + ?∣ =
C.若 O 是坐标原点，且 ?? = ?,?? = ?,则以 OA，OB 为邻边的平行四边形的面积为
1
D.向量 a 在向量 b 上的投影向量为 −3?
向量 m =(3,2)是直线 2x+3y+1=0|的一个方向向量
3 5
直线 2x-y+1=0 与直线 4x-2y-1=0 之间的距离为
10
若直线 ax-(a+1)y-1=0 与直线 x-ay+2=0 相互垂直,则实数 a 的值为-2 或 0
直线 ? = 3?sin?−1(? ∈ ?)的倾斜角的取值范围是 ?, ? ∪ ?, 2π
3 22 3
3
如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 A1B₁,BB1 的中点,点 P 是正方形 CDD1C₁ 内部任意一点(包括边界)，则
AP 的长度的最大值为2
若 AP⊥平面 DEF,则点 P 为 C1D 的一个三等分点
平面 DEF 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 所得截面的周长为
8 13
2
+ 3
直线 DP 与平面 DEF 所成角的正弦值最大为
2 34
17
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
点 P(5,-4,1)关于 y 轴对称的点的坐标为.
已知 A(-2,5),B(4,1)两点到直线 x-my+2=0 的距离相等,则 ? = .
→→ →→ →→
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,A ??‖??,?? = 2??,?? = ??,?? = 2??,?? = 2??,H
在棱 PD 上,若 E,F,G,H 四点共面,则
??
??
= .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知直线 l 经过点 A(2，-1)，求满足下列条件的直线 l 的方程.
与直线 x-2y+4=0 垂直;
(2)在 y 轴上的截距为 3； (3)在坐标轴上的截距相等.
16.(本小题满分 15 分)
已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量 p= 2a-b+3c. (1)证明:{a+b,b,c}是空间的另一个基底;
用基底{a+b,b,c}表示向量 p.
17.(本小题满分 15 分)
已知直线l的方程为(m+1)x+(1-m)y+m+3=0.
求直线 l 所过定点 M 的坐标；
当 m 为何值时，点 P(6，3)到直线 l 的距离最大?最大距离是多少?
18.(本小题满分 17 分)
如图，在四棱柱. ????−?1?1?1?1中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,D1C⊥底面 ABCD,D1C=2,O 为 BD
的中点, ?? = ???1(0 < ? < 1).
证明:OD₁∥平面 A₁BC₁;
1
当 ? = 2时，求 DP 的中点到平面 A₁BC₁的距离；
?
当直线 DP 与平面 A₁BC₁ 所成的角为- 3时，求 λ 的值.
19.(本小题满分 17 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为长方形,AD=2AB=2,O 为 AD 的中点,OP⊥AD, ?? = 1,?? = 3.
证明:OC⊥平面 OBP;
点 E 为底面 ABCD 所在平面内的任意一点(E 在长方形 ABCD 外,∠EAD 和 ∠???均为锐角)，且 ?? +
?? = 2 2.
若平面 APE 和平面 DPE 的夹角为 θ,求 csθ的最大值;
请判断是否存在点 E，使得五棱锥 P-ABCDE 存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由.