河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.
1. 已知，且，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】由可得，解得.
故选：A.
2. 过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】不妨设点为直线上异于点的任意一点，
则由直线的斜率和方向向量之间的关系可知，
整理得，因此满足题意的直线方程为.故选：A.
3. 平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如下图所示：
易知.
故选：D.
4. 已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ）
A. 21B. 19C. 13D. 11
【答案】B
【解析】由题意，解得，
所以.
故选：B.
5. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，设，代入椭圆方程，
可得两式相减可，
变形可得，
又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为，
所以，
代入上式可得，，又，
解得，所以椭圆的方程为.
故选：C.
6. 是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】 ， ，则，
故双曲线的两个焦点为,，
,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,
，，
则的最大值为
，
故选：D.
7. 直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将表达式整理可得，
即可得曲线表示的是以圆心为，半径为1的右半圆，如下图所示：

易知当直线夹在直线之间时符合题意；
当在位置时，此时，
当在位置时，此时，此时直线于曲线有两个交点，
因此可得时，符合题意；
当在位置时，此时直线与半圆相切且，
即，解得，
综上可得实数的取值范围为.
故选：C.
8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
①的外接球表面积为；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③直线平面；
④三棱锥的体积随着点的运动而变化.
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
【答案】C
【解析】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为,
则满足，可得，
此时外接球的表面积为，可知①错误；
对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以，
设，其中；
可得，
异面直线与所成角的余弦值为，
易知时，，
可得，
所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确；
对于③，由②可知，，则；
设平面的法向量为，又，
则，取，则；
所以平面的法向量为，
此时，可得，又平面，
所以直线平面，即③正确；
对于④，根据正方体性质平面，所以，
易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误；
综上所述，正确的结论为②③.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为
C. 直线：恒过点
D. 已知直线：，：，则“”的充要条件是“或”
【答案】AC
【解析】对于A，易知直线的斜率为，所以倾斜角为，即A正确；
对于B，当在轴，轴上截距互为相反数且都为0时，此时直线方程为，可得B错误；
对于C，直线可化为，由点斜式方程可知其恒过点，即C正确；
对于D，当时，直线的方程不存在，当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直；
当且时，若可得，解得；
当时，经检验可得此时，
因此“”的充要条件是“”，可得D错误.
故选：AC.
10. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ）

A.
B. 点E到直线的距离为
C. 直线与平面所成的角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
【答案】AC
【解析】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
，
则，所以，故A正确；
，则，
所以，
所以点E到直线的距离为，故B错误；
因为平面，所以即为平面的一条法向量，
则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；
，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则点到平面的距离为，故D错误.
故选：AC.

11. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆或的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的蒙日圆方程为
B. 矩形的四边均与椭圆相切，若为正方形，则的边长为
C. 若是椭圆的蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为
D. 若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由椭圆的方程知，，
故蒙日圆半径为，则蒙日圆方程为，A正确；
对于B选项，设椭圆的蒙日圆为圆，
由题意知，矩形为圆的内接矩形，
当为正方形时，由圆的半径为得的边长为，B正确；
对于C选项，椭圆的蒙日圆的半径为，
因为，即为蒙日圆的直径，所以，
所以，
又因为，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，C错误；
对于D选项，设直线与椭圆的蒙日圆交于，两点，
联立解得或，
不妨令，，
所以当点与点或重合时，为直角，
且，，
所以直线的斜率为或，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，若，则的值为______.
【答案】5
【解析】由可知，因此，
即可得，所以.
13. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________.
【答案】
【解析】设关于直线的对称点，如下图所示：
则，解得，即
此时即为最短路程，易知.
所以最短总路程为.
14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得，
又，，设的中点为，
在中，，，，
则AF1=a，，根据，
可知，.
四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知关于的方程：．
（1）当为何值时，方程表示圆；
（2）若圆C与直线相交于两点，且，求的值．
解：（1）由圆的一般方程性质可知：
解得，
所以当时，方程表示圆.
（2）由，
得，
所以该圆圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
根据弦长公式可知：，
解得.
16. 如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：取上的点，使，
则，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）解：取中点，连，
因为，所以，
因为为正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，，
以为坐标原点，分别为轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设为平面的法向量，
则，可取，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点，
（1）求双曲线C的标准方程
（2）已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
解：（1）设双曲线的方程为，
代入，，得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由，得，
设，，，，
则中点坐标为，，
由韦达定理可得，所以，
所以中点坐标为，
因为点在圆上，所以，解得．

18. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将△ABD沿BD折起，使得平面平面，如图2．
（1）证明：平面BCD；
（2）在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（1）证明：在中，因为，，，
由余弦定理得，
所以，所以，所以
如图所示：
作于点，
因平面平面，平面平面，
所以平面，
所以，
又因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
又由，
所以平面.
（2）解：如图所示：
存在点M，当M是的中点，二面角的大小为45°.
证明如下：由（1）知平面，
且，
，又因为是的中点，，
同理可得：BM=，
取BD的中点为O，DC的中点为E，连接MO，EM，OE，
因为，
所以是二面角 平面角，
又因为，
.此时.
19. 已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值．
解：（1）因为，所以，
又且以为圆心的圆与直线相切，所以，
又圆过点，所以，解得，
所以，
故椭圆方程为；
（2）如图所示，

不妨令直线，，
联立，得，
所以，解得，
又，且点到直线的距离为，
，
所以，
当且仅当时取到最大值，此时满足，
所以.