初中人教版（2024）15.3.2 等边三角形教案配套课件ppt

这是一份初中人教版（2024）15.3.2 等边三角形教案配套课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了三角形，三边都不相等的三角形，等腰三角形，等边三角形，两腰相等，等边对等角，三线合一，是轴对称图形，有两边相等，等角对等边等内容，欢迎下载使用。
1.类比等腰三角形的研究经验，探索等边三角形的性质和判定.2.能够利用等边三角形的性质和判定进行计算和证明，提升推理能力.
1．三角形按边的相等关系分类
底边和腰不相等的等腰三角形.
　　等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．
　2．等腰三角形的性质和判定
对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定.
探究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
知识点1 等边三角形的性质
问题1 已知AB=AC=BC，你可以得到什么结论呢？
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等边对等角)同理，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.
由等腰三角形的性质，可以得到： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
符号语言：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.
问题2 等边三角形也有“三线合一”的性质吗? 等边三角形有几条对称轴？
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”)
由等腰三角形的性质，可以得到： 等边三角形每条边上的中线、高及所对角的平分线重合，即“三线合一”.
符号语言：如图，在△ABC中，①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC且BD=CD.②∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC且BD=CD.③∵△ABC为等边三角形，BD=CD，∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.
每条边上的中线、高及这条边所对角的平分线重合
三个角都相等，且都是60º
底边上的中线、高和顶角的平分线重合
等腰三角形和等边三角形的性质归纳总结
跟踪训练 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( ) A.105° B.100° C.95° D.85°
探究 反过来，三个角都相等的三角形是等边三角形吗？
已知：∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形.∵∠A=∠B，∴AC=BC.又∠B=∠C，∴AB=AC.∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形.
知识点2 等边三角形的判定
由等腰三角形的判定，可以得到： 三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言：如图，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形.
探究 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
顶角60°；底角60°.
已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形.
已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=60°，求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠B=60°，∴∠B=∠C=60°.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°-60°-60°=60°.∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形.
可以得到： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：如图，∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°)，∴△ABC为等边三角形.
例2 如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.
跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形.
证明：方法二 ∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ABD=∠ADB.∴AB=AD.又∠A=60°.∴△ABD 是等边三角形
有两边相等的三角形是等腰三角形.
有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）.
三边都相等的三角形是等边三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE＝60°- 40°=20°.∵BE=DE，∴∠D=∠EBD=20°，∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.
2.△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，求∠BQM的度数.
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC.又∵BM=CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM =∠CBN，∴∠BQM =∠ABQ+∠BAM =∠ABQ+∠CBN =∠ABC=60°.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB交BC于点 D，AE⊥AC交BC于点E.求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAD=∠CAE=90°，∴∠ADB=∠AEC=60°，∴∠EAD=180°-∠ADB-∠AEC=60°，∴△ADE是等边三角形.
4.如图，等边△ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．
5.如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点共线，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，求证△APQ是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．