专题08 有理数的混合运算（1知识点+6大题型）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 有理数的混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
【题型1 有理数四则混合运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算：
(1)
(2)
2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算：
(1)
(2)
3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算：
(1)．
(2)．
【题型2 含乘方的有理数混合运算】
例题：（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（24-25七年级上·山东德州·期中）计算．
(1)；
(2)．
2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算：
(1)
(2)
3．（24-25七年级上·北京·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【题型3 有理数混合运算错题复原问题】
例题：（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉与琪琪两位同学分别对和进行了计算，过程如下：
(1)嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是________；琪琪的运算有错误，请指出她开始出错的是第________步（填序号）．
(2)请你计算：．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·假期作业）小明与小红两位同学计算的过程如下：
(1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤；
(2)写出正确的解答过程．
2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误．
(1)小明在第______步开始出现错误；
(2)请给出该题的正确解答．
3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读下列计算过程，并回答问题：
解：原式①
②
，③
．
(1)上述解答过程中，有错误的步骤是______；（填写序号）
(2)写出正确的计算过程．
【题型4 程序流程图与有理数计算】
例题：（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ．
2．（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）按如图所示的运筫程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是 ．
3．（24-25六年级上·山东泰安·期末）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是 ．
【题型5 算“24”点】
例题：（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·重庆·期末）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ．
2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）．
3．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ．

【题型6 新定义型有理数混合运算】
例题：（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）新定义运算：．例．
求
(1)的值为；
(2)的值为．
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）定义新运算：，，a，b是实数，如：，．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义一种新的运算：，例如，请用上述规定计算下面各式：
(1)；
(2)．
3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）若定义一种新的运算“※”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)求的值．
一、单选题
1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在，，，中，最大的数和最小的数的和等于（ ）
A．B．5C．6D．8
3．（24-25七年级上·云南保山·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（ ）
甲： 乙：
丙： 丁：
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则…
的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25七年级上·河北保定·期末）数学活动课上，嘉嘉同学设计了一个运算程序，当输入任意有理数对时，会得到一个新的有理数．例如：输入数对时，就会得到．现输入有理数对，则得到的有理数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2025·安徽蚌埠·三模）计算：
7．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ．
8．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ．
9．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）在二进制数中，“1101”转化成十进制数为；“11000”转化成十进制数为，则二进制数“111011”转化成十进制数为 ．
10．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）定义一种运算符号“※”： ．例如：，根据定义的运算法则，解决下列问题：
（1） ；
（2） ．
三、解答题
11．（24-25七年级上·河北唐山·期末）在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题：
(1)小明第一步板演中共出现______次错误；
(2)请完整的写出此题正确的运算过程．
12．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算
(1)
(2)
13．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
14．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）对于有理数a，b，我们规定运算符号“☆”：，如：．
(1)计算的值；
(2)计算的值．
16．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：
(1)从中选择两张卡片
①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____；
②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____；
③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____；
④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____；
(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可）
17．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式．
(1)直接写出算式的结果；
(2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果．
18．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”
【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，_____；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算．
【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式
_____；_____，_____
（3）请利用（2）中结论计算：
嘉嘉：
……步骤一
……步骤二
……步骤三
……步骤四
琪琪：
……①
……②
……③
……④
小明：
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
小红：
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
=16（第四步）
解：原式 ……第一步
……第二步
……第三步