第08讲 有理数的混合运算——【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）（原卷版）-A4

这是一份第08讲 有理数的混合运算——【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）（原卷版）-A4，共14页。试卷主要包含了加法运算律，乘法交换律等内容，欢迎下载使用。
第一步：主动学
析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习
讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法
练考点 强知识：两大核心考点五种常考题型精准练
第二步：用心记
串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系
第三步：限时测
过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点
知识点1：有理数的混合运算
有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则）
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
名师点拨：
（1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里．
（3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率．
知识点2：合理运用运算律简化运算
1.加法运算律：
加法交换律：
加法结合律：
2.乘法交换律：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：
3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。
题型1有理数的混合运算问题
1．计算：
(1)(2)
(3)(4)
2．计算：
(1)(2)
(3)(4)
3．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
4．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
5．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
题型2有理数混合运算的新定义问题
1．对于有理数，，定义运算：，如．
(1)计算的值；
(2)计算的值．
2．阅读理解，解答相关问题．
定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；；
(1)计算：①；②．
(2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
3．我们定义一种新运算：．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
4．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
5．若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)请你猜测这种新的运算“*”是否具有乘法交换律？并写出验证过程．
题型3与有理数混合运算有关的程序图问题
1．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程）
求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？
2．数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为．
(1)算式的结果为______，算式的结果为______；
(2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果；
(3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序．
3．如图，某数学活动小组编了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“·”表示一个有理数．若“·”表示2，输入的数为，求计算结果．
4．小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是...
(1)当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果；
(2)当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式．
5．如图，这是一个计算程序．
(1)若输入的值为1，求输出的值．
(2)若输入的值为，直接写出输出的值．
题型4有理数混合运算的实际应用
1．聪明的小明根据某市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图：
(1)根据该程序转换机计算下列各户月应缴纳水费（元）
(2)当时，月应缴纳水费 元.（用含x的代数式表示）；
(3)小丽家某月缴纳水费120元，则小丽家该月用水多少？
2．为积极响应政府提出的“绿色发展．低碳出行”号召，某自行车厂决定生产一批共享单车投入市场．该厂原计划一周生产1400辆共享单车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（超产为正、减产为负）
(1)根据记录可知星期一生产___________辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产___________辆；
(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
3．一名交警骑交警铁骑从岗亭出发，在东西走向的公路上执勤，如果规定向东为正，向西为负，这天早上的行驶里程（单位：千米）如下：，，，，，，
(1)请问现在这名交警离岗亭多远，在岗亭东面还是西面？
(2)若交警铁骑每100千米耗油3升，这名交警现在接到指令，立刻返回岗亭，这天早上交警铁骑一共耗油多少升？
4．外卖送餐为日常生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖员一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分，记为“”，低于50单的部分，记为“”，下表是该外卖员一周的送餐量．
(1)该外卖员这一周送餐量最多的一天比最少的一天多______单．
(2)外卖员每单的底薪为4元．若当天送餐量超过50单，超过的每一单，奖励2元；当天送餐量不足50单，不足的每一单，扣款1元．求该外卖员这一周的收入．
5．水果店有20箱樱桃，以每箱5千克为标准，超过5千克的数记为正数，不足5千克的数记为负数，称重记录如下：
(1)求m的值和这20箱樱桃的总质量；
(2)若这批樱桃的批发价是200元/箱，售价是55元/千克，该水果店第一天销售了这批樱桃的，第二天打八折把剩余的樱桃全部售出． 水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？
题型5有理数混合运算与24点游戏
1．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13．
（1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______；
（2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______．
2．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：
(1)从中选择两张卡片
①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____；
②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____；
③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____；
④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____；
(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可）
3．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______．
(3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）．
4．如图，5张卡片上面分别标注了一个数，请你从中选取4张卡片，仅使用“+，－，×，÷”四种运算符号（可用括号）将这些卡片上的数连起来，组合成一个式子，使其计算结果为24．请写出两个不同的式子．
方案一：我选的是________，列出的算式是________．
方案二：我选的是________，列出的算式是________．
5．数学活动课上，张老师拿来5张数字卡片（如图），让同学们按照要求抽出相应的卡片，并完成下列问题．
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小；
(2)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种即可）
知识导图记忆
知识目标复核
1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算.
2.在有理数的混合运算中，能合理地利用运算律简化运算.
一、选择题
1．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（ ）
甲： 乙：
丙： 丁：
A．甲B．乙C．丙D．丁
2．下列计算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列式子计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．计算，得（ ）
A．11B．13C．D．
5．如图，是一个数值转换机，若输入数为3，则输出数是（ ）
A．8B．9C．60D．64
6．我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（ ）．
A．5B．C．3D．4
7．规定一种新运算：，如，则（ ）
A．11B．13C．-3D．-5
8．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，高空某处温度为，则此处的高度是（ ）
A．4千米B．7千米C．8千米D．10千米
9．对有理数，，规定运算如下：，则的值为（ ）
A．B．C．D．24
10．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题
11．对于有理数，定义一种新运算，规定，则 ．
12．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为4时，则输出的结果 ．
13．科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1千米，气温下降6℃．已知甲地现在的地面气温为21℃，则甲地上空10千米处的气温为 ℃．
14．定义新运算：，例如：，则 ．
15．在数轴上，点、点表示的数分别是，16．点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴向左运动．当点到达点时，点表示的数是 ．
16．现定义一种新运算：，如，则 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；(2)．
18．计算：
(1)(2)
19．P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果．
(1)所给数字为“”时，
①按的顺序列式并计算；
②按的顺序列式并计算．
(2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数．
20．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
教材习题第62页习题第3（2）题
计算：
解题方法指导
本题很多同学易错用分配率；
正确做法应按照混合运算的顺序计算
【分析】
错误解法提醒：错用分配率计算；
…………………………此处错误使用了分配率
点拨：
此处错误使用了分配率，牢记：没有的规律不能自己随便乱造。
正确解法：
教材习题62页习题第3（3）题
计算：
解题方法指导
1.注意对比上一题；
2.此题可以使用乘法分配率计算；
3.如果自己通分学得比较好的同学建议使用通分做，好处是写的少。
【分析】
解法一：使用乘法分配律计算 解法二：直接通分，按顺序计算

用户
张大爷
刘奶奶
王阿姨
小明家
输入（m3）
7
15
18
25
输出（元）
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量／单
与标准重量的差值（单位：千克）
0
0.1
0.3
0.6
箱数（箱）
2
1
2
5
4
m
4
P
Q
K
例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式：
．
计算：
原式＝
．