江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 直线的倾斜角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，斜率为1，倾斜角为.
故选：B.
2. 在等比数列中，若，，则（ ）
A. B. C. 16D. 32
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
，.
故选：D.
3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】化简可得圆的标准方程为：，
所以，即，
又因为在圆外，故，
解得，综上可得，
故选：A.
4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由方程可知：的斜率为，
由题意可知：，所以，所以，
因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：，
即.
故选：C.
5. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由圆的方程，可得圆心坐标为，
将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上，
又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1，
所以过点的切线方程为，即.
故选：D.
6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的圆心为，
为过点的弦，当弦被点平分，
由垂径定理得⊥，
其中，故，
所以直线方程为，即.
故选：B.
7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（ ）
A. 1010B. 2024C. 1012D. 2020
【答案】C
【解析】根据可得，
所以；
由等比数列性质可得，
因此可得.
故选：C.
8. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上，
只需圆关于轴的对称圆与圆有交点即可.
圆和圆的圆心分别为，半径分别为和2，
所以圆心距为，
因为两圆有交点，
所以有，
即：，
又因为，所以.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，点，点，则下列正确的有（ ）
A. B. 直线的倾斜角为
C. D. 点到直线的距离为
【答案】BCD
【解析】由题意得，
，故A错误；
因为，所以直线AB的倾斜角为，故B正确；
因为，，所以，故C正确；
直线AC的方程为：，即，
所以B点到直线AC的距离为：，故D正确；
故选：BCD.
10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A. 的直线方程为
B. 公共弦的长为
C. 圆与圆的公切线段长为1
D. 线段的中垂线方程为
【答案】AC
【解析】由，得，则，半径，
由，得，
则，半径，
对于A，公共弦所在的直线方程为，
即，所以A正确，
对于B，到直线的距离，
所以公共弦的长为，所以B错误，
对于C，因为，，，
所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，
对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，
所以直线为，即，所以D错误，
故选：AC.
11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（ ）
A.
B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和为
D. 若数列的前项和为，则
【答案】ACD
【解析】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，即，则，故A正确；
对B，，故数列的前项和为，故B错误；
对C，，则前项和为
，故C正确；
对D，，
则，
又易得随的增大而增大，故，即，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是数列前项和，且，则的通项公式为___________.
【答案】
【解析】由题意时，，
又也满足上式，
所以．
13. 函数的最大值为______________.
【答案】
【解析】，
∴fx表示为点与点的距离减去点与点的距离，
所以，
又，当共线，且P在B的外侧时取等号，所以的最大值为.
14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.
【答案】或
【解析】联立可解得，即；
设圆心，圆的半径为，
可得，解得或，
当时，可得，，
可得，
因此四边形的面积为；
当时，可得，，
可得；
所以四边形的面积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，，
所以；
因为，所以．
（2）结合（1）可得：
．
16. 已知圆，点.
（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度；
（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度；
（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值.
解：（1）圆心，半径为，即，
又，
故；
（2），故直线，
记圆心到直线的距离为，
，故；
（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，故．
17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.
（1）过点且与直线平行；
（2）过点且到原点的距离等于2；
（3）直线关于直线对称的直线.
解：（1）联立方程，解得，．
设与直线平行的直线为，
由题意得：，，
故满足要求的直线方程为：．
（2）①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；
②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，
原点到该直线的距离为， 解得，
直线方程为，
综上所述，符合题意的直线方程为或．
（3）在上取一点，设点关于直线的对称点为点，
则，解得，，
又，则直线的方程即所求直线方程，为，
化简得，.故所求的直线方程为：．
18. 已知圆.
（1）求的范围，并证明圆过定点；
（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.
解：（1）由圆，
得，，，所以的范围为；
，由，得，
所以圆过定点.
（2）以弦为直径的圆过原点，则，，
设点，，则，，
即，
由，消去整理得：，
，，，
于是，解得，满足，
所以的值为．
19. 已知数列满足.
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.
（1）解：，
，，，，
，，
（2）证明：由题可知：①，
②，
②-①得，即：，
所以，，
即，又，
∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列.
（3）解：由（2）可得，，，
则，
由可得；由可得，
∴，
故有最大值，∴对任意，有，
如果对任意，都有成立，
则，∴ ，解得或，
∴实数的取值范围是