江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 的展开式中含项的系数为， 以下运算结果为的是， 的个位数是， 已知一组数据如下， 已知，下列等式正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某医疗研究机构为了解打鼾与患心脏病的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为打鼾与患心脏病有关系的把握约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以有的把握认为打鼾与患心脏病有关系．
故选：B．
2. 有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】依题意，，解得，
所以组数据的方差为.
故选：A
3. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，则实数的值为（ ）
A 13B. 13.5C. 14D. 14.5
【答案】B
【解析】由题意可知，，
因为线性回归方程一定过样本中心点，，
所以，
所以，
解得．
故选：B．
4. 的展开式中含项的系数为（ ）
A. 10B. 40C. 80D. 120
【答案】C
【解析】由二项式定理可知，展开式中含项的系数为
.
故选：C.
5. 以下运算结果为的是（ ）
A. 3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法
B. 4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军）
C. 3块地种植4种不同的蔬菜的种法
D. 4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数
【答案】D
【解析】对于A，3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法有种，故A错误；
对于B，4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军），共有种可能，故B错误；
对于C，3块地种植4种不同的蔬菜的种法有种，故C错误；
对于D，4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数有种，故D正确.
故选：D.
6. 某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（ ）
A. 60B. 180C. 240D. 300
【答案】C
【解析】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为，
故所求为，
方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三人、三天进行全排列，
故所求为.
故选：C.
7. 的个位数是（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 9
【答案】A
【解析】因为
，
而是10的倍数，
所以的个位数是.
故选：A.
8. 某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（ ）
A. 15B. 18C. 22D. 26
【答案】D
【解析】甲是特等奖，不考虑丙位置有种；
甲不是特等奖，不考虑丙的位置有种；
而丙在丁和戊之间占，所以5人奖项的所有可能的种数是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据如下：2，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则下列说法中正确的是（ ）
A. 这组数据的极差为5B. 这组数据的平均数为4.5
C. 这组数据的众数为4D. 这组数据的第70百分位数是5
【答案】AC
【解析】对于A，这组数据的极差为，故A正确；
对于B，这组数据的平均数为，故B错误；
对于C，这组数据中出现次数最多的数是4，所以这组数据的众数为4，故C正确；
对于D，因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均数：5.5，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，取，得，A正确；
对于B，取，得，则，B错误；
对于C，对给定等式两边求导得，
取，得，C错误；
对于D，取，得，则，
于是，D正确.
故选：AD
11. 定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种,区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（ ）
A. 共有种排法
B. 若两名女生相邻，则有种排法
C 若两名女生不相邻，共有种排法
D. 若男生甲位置固定，则有种排法
【答案】ABD
【解析】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确；
对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确；
对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误；
对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算_______.
【答案】21
【解析】.
故答案为：21
13. 某项比赛的主办方为提高观众参与积极性，分别邀请了10名观众做场内评委和10名观众做场外评委，比赛按10分制打分.某个选手的得分情况是：场内评委打出的均分为8分，场外每个评委打分和场内每个评委的打分正好满足.最终比赛得分为所有评委打分的均分，则此选手最终得分为_______.
【答案】8.3
【解析】依题意，，，
所以此选手最终得分为.
故答案为：8.3
14. 为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为 __（用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为 __（用数字作答）．
【答案】84；286
【解析】由题意，则方程的正整数解的不同组数为，
若中没有，则有种，
若中有个为，则有种，
若中有个为，则有种，
若中有个为，则有种，
该方程自然数解的不同组数为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天．
（1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案；
（2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案；
（3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案．
解：（1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有种安排方案.
（2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有种安排方案.
（3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，
共有种安排方案．
16. 某电商为了解第一季度用户的网购次数，统计发现在第一季度内网购次数在间的有2千万用户，在这2千万户中随机抽取2000户统计分析他们的网购次数，将数据整理后，分为6组，画出频率分布直方图（如图所示），由于人员失误，导致第一组和第二组的数据丢失，只知道第二组频率是第一组的2倍.
（1）试估计在抽取的2000户中第一季度网购次数不超过100次的户数；
（2）估计这2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数（结果精确到小数点后1位）；
（3）该电商已经用分层抽样的方法在和这两组用户中共选择了9户.现从这9户中随机抽取6户，求在这抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数.
解：（1）由频率分布直方图，得，
解得，
由第二组频率是第一组的2倍，得，解得，
因此第一季度网购次数不超过100次的频率为，户数为.
（2）由（1）知，从第一组到第六组的频率依次是，
样本平均数：
，
第一组到第三组的频率和为，第一组到第四组的频率和为，
因此样本数据的中位数，则，解得，
由此估计2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数分别为121.8次和121.3次.
（3）抽取的9户中，在的户数为，
在的户数为6，
从9户中随机抽取6户，有种抽法，其中在的户数为3的抽法数为，
所以抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数为.
17. 已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20.
（1）求实数的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中系数最大的项.
解：（1）因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得，
所以展开式为，
而展开式中第二项系数为20，从而，
解得；
（2）由（1）可知，展开式为，
令，解得，故所求为；
（3）设展开式中系数最大的项为第项，则，
即，即，
解得，
所以，
所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意.
18. 在人体生长发育过程中，人体的各部分与身高都有一定的比例关系，根据脚长推测身高具有重要的意义．为研究根据脚长推测身高的方法，某班级数学兴趣小组对本班50名同学进行了随机抽样调查，用简单随机抽样的办法抽取10名同学，测量每个人的脚长和身高，记录相关数据并进行统计分析，现将相关数据整理如下：（单位：厘米）
（1）根据上表数据，请计算脚长与身高的相关系数，并说明线性相关性的强弱；（相关系数精确到小数点后2位）
（2）根据此小组研究的数据，若某同学的脚印长，试推测该同学的身高．（计算过程中结果精确到小数点后1位）
（注：当，则认为与的线性相关性较弱；当，则认为与的线性相关性很强）．
附：本题可能涉及到数据和公式：；；；；
回归方程：，其中，．
相关系数：．
解：（1）由题意可得，
所以脚长与身高线性相关性很强；
（2），
，
，所以，
线性回归方程为，
当时，，
所以当某同学的脚印长，该同学身高的估计值为．
19. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，②.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：.
（1）证明：①
；
②
.
（2）证明：令为，为，
由，可得.
.
（3）解：
，
由（2）得，即，
原式.
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2
3
4
5
6
6.5
10
11.5
18.5
脚长
18.9
20.2
21.1
21.9
22.8
23.6
23.9
25.3
25.8
26.5
身高
159
161
163
165
167
172
173
177
179
184