2024-2025学年河南省天立教育高一下学期7月期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省天立教育高一下学期7月期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z=−2+3i，则复平面内复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(x,1)，b=(4,−2)，若a//b，则x=( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
3.书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为( )
A. 110B. 15C. 25D. 12
4.设▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=32b,A=2B，则sinB=( )
A. 74B. 34C. 2 23D. 13
5.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βB. 若m//α，α//β，则m//β
C. 若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//nD. 若m⊥n，n//α，则m⊥α
6.在▵ABC中，AD→=23AC→，点E在BD上，若AE→=xBA→+13BC→，则x=( )
A. −23B. −45C. −56D. −67
7.已知事件A，B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2，则( )
A. 若B⊆A，则P(AB)=0.5
B. 若A与B互斥，则P(A+B)=0.7
C. 若A与B相互独立，则PAB=0.1
D. 若P(B)+P(C)=1，则C与B相互对立
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥P−ABCD的外接球表面积为( )
A. 3π2B. 3πC. 41π16D. 41π64
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(3,−1),b=(1,2)，则下列选项正确的是( )
A. a⊥bB. a+b= 17
C. 已知c=(t,1)，若a→//c→，则t=−3D. a与b夹角的余弦值为 25
10.某中学举行化学知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的( )
A. 极差为25B. 中位数大于平均数
C. 方差为65D. 百分之二十五分位数为76
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 异面直线BA1与EF所成的角的大小为60∘
D. 若D1P//平面A1BC1，则点P的轨迹的长度为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为 ．
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a+b)2−c2=6，且C=60°，则ab的值为 ．
14.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=A1B1=2，AD=1，O是B1D1的中点，则直线AO与平面BCC1B1所成角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(x,1)，b=(−2,3)，c=(6,−1)．
(1)若a⊥b，求实数x的值，并求a⋅c的值；
(2)若4a→+c→//b→，求实数x的值．
16.(本小题15分)
(1)已知m∈R，若z=m+i−2+mi为纯虚数，求m的值．
(2)设复数z1=2−aia∈R，z2=1+i.若z1+z2是实数，求z1z2；
(3)已知复数z满足z+z=8+4i，求z．
17.(本小题15分)
某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中t的值，并估计这100名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率．
18.(本小题17分)
举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为12，乙队两人回答问题正确的概率分别为23,13，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立．
(1)求甲队总得分为1分的概率；
(2)求两队积分相同的概率．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．
(1)证明：PB//平面AEC；
(2)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(3)求二面角E−AC−D的正弦值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果．
【详解】因为z=−2+3i，所以z=−2−3i，其对应的点坐标为(−2,−3)；
因此复数z对应的点位于第三象限．
故选：C
2.【答案】A
【解析】【分析】根据平面向量平行的结论求参数．
【详解】因为a//b，所以−2x−4=0⇒x=−2．
故选：A
3.【答案】C
【解析】【分析】利用古典概型概率公式求解即可．
【详解】从5本杂志中任意挑选2本有C52=10种不同的选法，
其中挑选的杂志类型相同的选法有C22+C32=4，
所以挑选的杂志类型相同的概率为410=25．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】利用正弦定理及二倍角的正弦公式求解．
【详解】在▵ABC中，由a=32b及正弦定理，得sinA=32sinB，而A=2B，
则32sinB=sin2B=2sinBcsB，又sinB>0，解得csB=34，
所以sinB= 1−cs2B= 74．
故选：A
5.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果．
【详解】若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；
若m//α，α/\!/β，则m//β或m⊂β，故B错误；
若α/\!/β，m⊥α，n⊥β，则m/\!/n，故C正确；
若m⊥n，n/\!/α，则m/α或m⊂α或者m与α相交，故D错误；
故选：C
6.【答案】C
【解析】【分析】利用向量的线性运算将AE用AB与AD表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解．
【详解】因为AD→=23AC→，所以AC=32AD，
则AE=xBA+13BC=x−AB+13AC−AB=13AC−x+13AB
=13×32AD−x+13AB=12AD−x+13AB，
因为B,E,D三点共线，所以12−x+13=1，解得x=−56．
故选：C
7.【答案】B
【解析】【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可．
选项B：利用概率的加法公式，求解即可，
选项C：若A与B相互独立，则A与B相互独立，利用独立事件的公式求解即可．
选项D:利用对立事件求解即可．
【详解】选项A：若B⊆A，则P(AB)=P(B)=0.2,
选项B：若A与B互斥，则P(A+B)=0.7=P(A)+P(B).故选项B正确．
选项C：若A与B相互独立，则A与B相互独立，PAB=P(A)⋅PB=0.5×0.8=0.4,故选项C错误．
选项D:若P(B)+P(C)=1，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，故D错误．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】分别取三角形PAD，四边形ABCD的外心O1，O2，利用正弦定理得到O1P=58，即可得到OO2=38，然后利用勾股定理得到OC= 418，最后根据球的表面积公式求表面积即可．
【详解】
设四棱锥P−ABCD的外接球球心为O，取AD中点E，连接PE，取三角形PAD，四边形ABCD的外心O1，O2，连接OO1，OO2，EO2，O2C，OC，
因为正方体的棱长为1，点P为中点，所以PA=PD= 1+122= 52，PE=1，O2C= 22，sin∠PAD=sin∠APA1=1 52=2 5，O1P=12⋅PDsin∠PAD=12× 522 5=58，O1E=OO2=1−58=38，所以OC= OO22+O2C2= 382+ 222= 418，外接球的表面积S=4π× 4182=41π16．
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误．
【详解】对于A，易知a⋅b=3−2=1≠0，所以a,b不垂直，即A错误；
对于B，a+b=(3,−1)+(1,2)=(4,1)，可得a+b= 42+12= 17，可得B正确；
对于C，由c=(t,1)且a→//c→可得3×1+t=0，解得t=−3，即C正确；
对于D，设a与b的夹角为θ，所以csθ=a⋅bab=1 10× 5=15 2= 210，可得D错误．
故选：BC
10.【答案】ABD
【解析】【分析】先从小到大排序数据，然后利用极差、中位数、平均数、方差、百分位数的概念与计算公式分别计算即可得解．
【详解】将成绩从小到大排序为：71,76,85,88,89,96，极差为96−71=25，故A正确；
中位数为85+882=1732，平均数为16(71+76+85+88+89+96)=5056，1732>5056，故B正确；
方差为：
1671−50562+76−50562+85−50562+88−50562+89−50562+96−50562
=16712+762+852+882+892+962−50562=251336≠65，
故C错误；
百分之二十五分位数位置6×0.25=1.5，即百分之二十五分位数是第二个数，即76，故D正确；
故选：ABD
11.【答案】AC
【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到线面平行，故平面EHF//平面ABC1D1，故当P在线段EH上时，满足FP//平面ABC1D1，A正确；B选项，作出辅助线，得到四边形EBC1F为截面图形，并得到其为梯形；C选项，作出辅助线，∠A1BC1为直线BA1与EF所成角，▵A1C1B为等边三角形，故∠A1BC1=60∘，C正确；D选项，作出辅助线，证明出平面ACD1//平面A1BC1，故当P在线段AC上时，D1P//平面A1BC1，点P的轨迹的长度为2 2，D错误．
【详解】A选项，取BC的中点H，连接EH,FH，
因为E，F分别是AD，DD1的中点，所以EF//AD1，
因为EF⊄平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，
所以EF//平面ABC1D1，
因为EH//AB，同理可得EH//平面ABC1D1，
因为EH∩EF=E，EH,EF⊂平面EHF，所以平面EHF//平面ABC1D1，
故当P在线段EH上时，满足FP//平面ABC1D1，A正确；

B选项，连接C1F，由A知，EF//AD1，又BC1//AD1，所以EF//BC1，
所以四边形EBC1F即为过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形，
因为EF=12AD1=12BC1，所以四边形EBC1F为梯形，B错误；
C选项，由B知，EF//BC1，故∠A1BC1为直线BA1与EF所成角或其补角，
连接A1C1，则A1C1=BA1=BC1=2 2，
所以▵A1C1B为等边三角形，故∠A1BC1=60∘，
异面直线BA1与EF所成的角的大小为60∘，C正确；
D选项，连接AD1,CD1,AC，
因为BC1//AD1，BC1⊂平面A1BC1，AD1⊄平面A1BC1，
所以AD1//平面A1BC1，
又BA1//CD1，同理可得CD1//平面A1BC1，
又CD1∩AD1=D1，CD1,AD1⊂平面ACD1，
所以平面ACD1//平面A1BC1，
故当P在线段AC上时，D1P⊂平面ACD1，
所以D1P//平面A1BC1，
所以若D1P//平面A1BC1，则点P的轨迹的长度为AC=2 2，D错误
故选：AC
12.【答案】12
【解析】【分析】根据分层抽样的概念计算出答案．
【详解】由分层抽样得到讲师应抽取的人数为40×31+4+3+2=12．
故答案为：12
13.【答案】2
【解析】【分析】由余弦定理得a.b关系后，与已知比较即可得．
【详解】C=60°，则c2=a2+b2−2abcs60°=a2+b2−ab，
又(a+b)2−c2=a2+2ab+b2−c2=6，所以ab=2，
故答案为：2．
14.【答案】2 1717/217 17
【解析】【分析】根据给定条件，利用几何法求出直线AO与平面ADD1A1所成角的正切即可．
【详解】长方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ADD1A1//平面BCC1B1，
则直线AO与平面BCC1B1所成的角等于直线AO与平面ADD1A1所成的角，
取A1D1中点E，连接AE,OE，由O是B1D1的中点，得OE//A1B1，而A1B1⊥平面ADD1A1，
于是OE⊥平面ADD1A1，∠OAE即为直线AO与平面ADD1A1所成的角，
由AA1=A1B1=2，AD=1，得AE= 22+(12)2= 172,OE=12A1B1=1，
在Rt▵AEO中，tan∠OAE=OEAE=2 17=2 1717．
所以直线AO与平面BCC1B1所成角的正切为2 1717．
故答案为：2 1717
【点睛】关键点点睛：本题求出线面角的正切，关键是转化为与平面平行的平面所成角的正切．
15.【答案】【详解】(1)由a⊥b，得−2x+3=0，解得x=32，
∴a=32,1，
∴a⋅c=32×6−1=8．
(2)∵4a+c=4(x,1)+(6,−1)=(4x+6,3)，
又4a+c//b，则(4x+6)×3=(−2)×3，
解得x=−2．
所以实数x的值为−2．

【解析】【分析】(1)根据两向量垂直的坐标关系求出x，再利用两向量数量积的坐标运算求解；
(2)根据两向量平行的坐标关系列式求解．
16.【答案】【详解】(1)因为z=(m+i)(−2+mi)=−2m+m2i−2i+mi2=−3m+m2−2i为纯虚数，
所以−3m=0且m2−2≠0，解得m=0；
(2)因为z1=2−aia∈R，z2=1+i，
所以z1+z2=3+(1−a)i，又∵z1+z2是实数，
∴1−a=0，即a=1，则z1=2−i，
所以z1z2=2−i1+i=2−i1−i1+i1−i=1−3i2；
(3)因为z∈R，且z+z=8+4i，因此可设z=a+4i,a∈R，
则z=a−4i,a∈R，
由题意可得a+4i+ a2+(−4)2=8+4i，所以a+ a2+16=8，
解得a=3，即z=3+4i．

【解析】【分析】(1)利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值；
(2)由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得；
(3)依题意可设z=a+4i,a∈R，由复数相等解方程可得结果．
17.【答案】【详解】(1)由频率分布直方图可得每组的频率依次为0.15,10t,0.2,0.35,0.05，
则0.15+10t+0.2+0.35+0.05=1，解得t=0.2510=0.025，
设平均成绩的估计值为x，
则x=55×0.15+65×0.25+75×0.2+85×0.35+95×0.05=74(分)，
所以这100名学生的平均成绩估计值为74分．
(2)每个学生成绩不低于80分的概率为0.4．
3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率P1=3×0.42×(1−0.4)=0.288；
3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率P2=0.43=0.064；
3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率P=P1+P2=0.352．

【解析】【分析】(1)根据频率和为1求t的值，再根据平均数公式运算求解；
(2)根据独立事件概率乘法公式运算求解．
18.【答案】【详解】(1)记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，
所以P(A)=12×1−12+1−12×12=12；
(2)由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为14,12,14，
乙队积0分，1分，2分的概率分别为29,59,29，
记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件B,C,D，
因为两队得分相互独立，互不影响，
则P(B)=14×29=118,P(C)=12×59=518,P(D)=14×29=118，
所以两队积分相同的概率为P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=718．

【解析】【分析】(1)根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解．
19.【答案】【详解】(1)如图，连接BD交AC于F，连接EF，
ABCD是正方形，则F是BD中点，又E为PD中点，
所以EF//PB，又因为EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB//平面AEC；
(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，而CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD；
(3)分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，
A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，从而E(0,1,1)，
所以AE=(0,1,1)，AC=(2,2,0)，
设平面AEC的一个法向量是m=(x,y,z)，
则AE⋅m=y+z=0AC⋅m=2x+2y=0，取x=1得m=(1,−1,1)，
易知平面ACD的一个法向量是n=(0,0,1)，
csm,n=m⋅nmn=1 3×1= 33，
所以二面角E−AC−D的余弦值为 33，从而正弦值为 1−( 33)2= 63．

【解析】【分析】(1)连接BD交AC于F，连接EF，证明PB//EF，然后由线面平行的判定定理得证；
(2)先证明CD⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得证；
(3)以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．