2024-2025学年河南省天立教育高一下学期7月期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省天立教育高一下学期7月期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z=−2+3i，则复平面内复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(x,1)，b=(4,−2)，若a//b，则x=( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
3.书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为( )
A. 110B. 15C. 25D. 12
4.设▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=32b,A=2B，则sinB=( )
A. 74B. 34C. 2 23D. 13
5.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βB. 若m//α，α//β，则m//β
C. 若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//nD. 若m⊥n，n//α，则m⊥α
6.在▵ABC中，AD→=23AC→，点E在BD上，若AE→=xBA→+13BC→，则x=( )
A. −23B. −45C. −56D. −67
7.已知事件A，B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2，则( )
A. 若B⊆A，则P(AB)=0.5
B. 若A与B互斥，则P(A+B)=0.7
C. 若A与B相互独立，则PAB=0.1
D. 若P(B)+P(C)=1，则C与B相互对立
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥P−ABCD的外接球表面积为( )
A. 3π2B. 3πC. 41π16D. 41π64
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(3,−1),b=(1,2)，则下列选项正确的是( )
A. a⊥bB. a+b= 17
C. 已知c=(t,1)，若a→//c→，则t=−3D. a与b夹角的余弦值为 25
10.某中学举行化学知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的( )
A. 极差为25B. 中位数大于平均数
C. 方差为65D. 百分之二十五分位数为76
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 异面直线BA1与EF所成的角的大小为60∘
D. 若D1P//平面A1BC1，则点P的轨迹的长度为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为 ．
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a+b)2−c2=6，且C=60°，则ab的值为 ．
14.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=A1B1=2，AD=1，O是B1D1的中点，则直线AO与平面BCC1B1所成角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(x,1)，b=(−2,3)，c=(6,−1)．
(1)若a⊥b，求实数x的值，并求a⋅c的值；
(2)若4a→+c→//b→，求实数x的值．
16.(本小题15分)
(1)已知m∈R，若z=m+i−2+mi为纯虚数，求m的值．
(2)设复数z1=2−aia∈R，z2=1+i.若z1+z2是实数，求z1z2；
(3)已知复数z满足z+z=8+4i，求z．
17.(本小题15分)
某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中t的值，并估计这100名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率．
18.(本小题17分)
举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为12，乙队两人回答问题正确的概率分别为23,13，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立．
(1)求甲队总得分为1分的概率；
(2)求两队积分相同的概率．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．
(1)证明：PB//平面AEC；
(2)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(3)求二面角E−AC−D的正弦值．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.A
5.C
6.C
7.B
8.C
9.BC
10.ABD
11.AC
12.12
13.2
14.2 1717/217 17
15.【详解】(1)由a⊥b，得−2x+3=0，解得x=32，
∴a=32,1，
∴a⋅c=32×6−1=8．
(2)∵4a+c=4(x,1)+(6,−1)=(4x+6,3)，
又4a+c//b，则(4x+6)×3=(−2)×3，
解得x=−2．
所以实数x的值为−2．

16.【详解】(1)因为z=(m+i)(−2+mi)=−2m+m2i−2i+mi2=−3m+m2−2i为纯虚数，
所以−3m=0且m2−2≠0，解得m=0；
(2)因为z1=2−aia∈R，z2=1+i，
所以z1+z2=3+(1−a)i，又∵z1+z2是实数，
∴1−a=0，即a=1，则z1=2−i，
所以z1z2=2−i1+i=2−i1−i1+i1−i=1−3i2；
(3)因为z∈R，且z+z=8+4i，因此可设z=a+4i,a∈R，
则z=a−4i,a∈R，
由题意可得a+4i+ a2+(−4)2=8+4i，所以a+ a2+16=8，
解得a=3，即z=3+4i．

17.【详解】(1)由频率分布直方图可得每组的频率依次为0.15,10t,0.2,0.35,0.05，
则0.15+10t+0.2+0.35+0.05=1，解得t=0.2510=0.025，
设平均成绩的估计值为x，
则x=55×0.15+65×0.25+75×0.2+85×0.35+95×0.05=74(分)，
所以这100名学生的平均成绩估计值为74分．
(2)每个学生成绩不低于80分的概率为0.4．
3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率P1=3×0.42×(1−0.4)=0.288；
3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率P2=0.43=0.064；
3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率P=P1+P2=0.352．

18.【详解】(1)记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，
所以P(A)=12×1−12+1−12×12=12；
(2)由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为14,12,14，
乙队积0分，1分，2分的概率分别为29,59,29，
记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件B,C,D，
因为两队得分相互独立，互不影响，
则P(B)=14×29=118,P(C)=12×59=518,P(D)=14×29=118，
所以两队积分相同的概率为P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=718．

19.【详解】(1)如图，连接BD交AC于F，连接EF，
ABCD是正方形，则F是BD中点，又E为PD中点，
所以EF//PB，又因为EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB//平面AEC；
(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，而CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD；
(3)分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，
A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，从而E(0,1,1)，
所以AE=(0,1,1)，AC=(2,2,0)，
设平面AEC的一个法向量是m=(x,y,z)，
则AE⋅m=y+z=0AC⋅m=2x+2y=0，取x=1得m=(1,−1,1)，
易知平面ACD的一个法向量是n=(0,0,1)，
csm,n=m⋅nmn=1 3×1= 33，
所以二面角E−AC−D的余弦值为 33，从而正弦值为 1−( 33)2= 63．