沪科版（2024）九年级上册反比例函数学案

这是一份沪科版（2024）九年级上册反比例函数学案，共74页。学案主要包含了变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3，变式 2-1，变式 2-2，变式 2-3，变式 3-1，变式 3-2等内容，欢迎下载使用。
专题 21.7
反比例函数的性质（举一反三讲义） 【沪科版】
【题型 1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】
【题型 2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 【题型 3 求反比例函数中参数的取值范围】
【题型 4 求反比例函数中的图形面积】
【题型 5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 【题型 6 反比例函数中的规律探究】
【题型 7 反比例函数中的存在性问题】
【题型 8 反比例函数中的动点问题】
知识点 1 反比例函数的性质
知识点 2 比例系数 k 的几何意义
反比例函数
y =
x，y 的取值范 围
x ≠ 0 ，y ≠ 0（与坐标轴无交点）
k 的符号
k＞0
k＜0
图像
图像的位置
两支曲线分别位于第一、三 象限
两支曲线分别位于第二、四象限
性质
在每一象限内，y 的值随 x 值的增 大而减小
在每一象限内，y 的值随 x 值的增 大而增大
1. 过y = k ≠ 0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等 于 k ．
2. 连接y = k ≠ 0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴，y 轴作垂线，可得两个直 角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 ．
3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的
面积，则可得到 k
的值，进而确定函数表达式．
知识点 3 反比例函数与一次函数图象的交点问题
1 ． 反比例函数y = k1 ≠ 0) 与正比例函数y = k2x (k2 ≠ 0) 图象的交点：
当k1k2 > 0 时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当k1k2 < 0 时，两函数图象无交点．
2 ． 反比例函数y = k1 ≠ 0) 与一次函数y = k2x + b (k2 ≠ 0) 图象的交点：
联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程k2x2 + bx - k1 = 0 ．判别式 Δ > 0 两函数图象 有 2 个交点； Δ = 0 两函数图象有 1 个交点； Δ < 0 两函数图象没有交点．
3 ． 观察反比例函数y = k1 ≠ 0) 与一次函数y = k2x + b (k2 ≠ 0) 的图象解不等式k2x + b > 或k2x + b < ：
（1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标 x1 ，x2 ；
（2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应 x 的取值范围即为
相应不等式的解集．
如图所示，当k1 > 0 ，k2 > 0 时， 的解集为x2 < x < 0 或x > x1 ， 的解集 为x 0 ，m > 0 ，则 y1 > y2 B ．若k > 0 ，m < 0 ，则 y1 > y2
C ．若k < 0 ，m > 0 ，则 y1 > y2 D ．若k < 0 ，m < 0 ，则 y1 > y2
【变式 1-1】
（24-25 九年级上·湖南邵阳·阶段练习）
2 ．如果反比例函数的图象经过点A(2，- 2023) 、B (x1，y1 ) ，C (x2，y2 ) ，且x1 < x2 < 0 ，那么 y1 和的y2 大小关系是( )
A ．y1 < y2 B ．y1 > y2 C ．y1 = y2 D ．不能比较
【变式 1-2】
（24-25 九年级上·河南开封·阶段练习）
3 ．若点A(-7, y1 ), B(-4, y2 ), C(5, y3 ) 在反比例函数 的图象上，则y1, y2, y3 的大小关系 是 ．
【变式 1-3】
（24-25 九年级下·广东佛山·期中）
4 ．已知 都在反比例函数 的图象上，其中
x1 < x2 < 0 ，则 y1 与y2 的大小关系是( )
A ．y2 < y1 < 0 B ．0 < y2 < y1 C ．0 < y1 < y2 D ．y1 < 0 < y2 【题型 2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】
【例 2】
（2025·陕西西安·模拟预测）
5．已知点A(x1, y1 )，B (x2, y2 ) ，C (x3, y3 ) 都在反比例函数 的图象上，且y1 < y2 < 0 < y3 ， 则 x1 ，x2 ，x3 的大小关系为 ．（用“ < ”连接）
【变式 2-1】
（24-25 八年级下·江苏无锡·期中）
6 ．已知点A(x1, y1 ) ，B (x2, y2 ) ，C (x3, y3 ) 都在反比例函数 是常数）的图象 上，且y1 < 0 < y2 < y3 ，则 x1 ，x2 ，x3 的大小关系是 ．
【变式 2-2】
（24-25 九年级上·河南漯河·期末）
7．若点A(x1, - 2), B (x2 , 3), C (x3 , 6) 都在反比例函数 的图象上，则x1 , x2 , x3 的大小关 系是( )
A ．x1 < x2 < x3 B ．x1 < x3 < x2 C ．x2 < x1 < x3 D ．x2 < x3 < x1
【变式 2-3】
（2025·天津河西·一模）
8．若点A(x1, -2), B (x2 ,1), C (x3 , 2) 都在反比例函数 的图象上，则x1, x2, x3 的大小
关系是( )
A ．x3 < x2 < x1 B ．x2 < x3 < x1
C ．x1 < x3 < x2 D ．x1 < x2 < x3
【题型 3 求反比例函数中参数的取值范围】
【例 3】
（24-25 九年级下·河北邯郸·期中）
9．如图，当反比例函数 的图象L 将矩形ABCD 的内部（不含边界）的横、纵坐 标都为整数的点分成数量相等的两部分，则k 的取值范围为( )
A ．12 < k < 15 B ．10 < k < 14 C ．4 < k < 10 D ．15 < k < 16
【变式 3-1】
（24-25 九年级上·四川达州·期末）
10 ．如图是 4 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个台阶凸出的角的顶点 记作Tm （m 为 1～4 的整数），函数 的图象为曲线 L，若曲线 L 使得T1 ~ T4 ，这 些点分布在它的两侧，每侧各 2 个点，则 k 的取值范围是( )
A ．8 ≤ k ≤ 12 B ．8 ≤ k < 12 C ．8 < k ≤ 12 D ．8 < k < 12
【变式 3-2】
（24-25 九年级上·河北张家口·期末）
11 ．如图，在平面直角坐标系中，点A(3, 4) ，点B(0, a ) ，点C(6, a )，连接 BC ，过 A 点作 双曲线 交线段BC 于点 D（不与点 B、C 重合），已知a > 0 ，若BD > DC ，则 a 的取值范围是 ．
【变式 3-3】
（24-25 八年级下·江苏苏州·期中）
12 ．如图， △ABC 位于第二象限，BC = 3 , AC = 3 ，直角顶点C 在直线y= -x 上，且点C 的
横坐标为-4 ，边BC 、AC 分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y = 与 △ABC 的边AB 有2 个公共点，则k 的取值范围为 ．
【题型 4 求反比例函数中的图形面积】
【例 4】
（24-25 九年级上·贵州六盘水·期末）
13 ．如图， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形，上ACO = 上ADB = 90 ，反比例函数 y = 在第一象限的图象经过点B ，则 △OAC 与 △BAD 的面积之差为( )
A ． B ． C ． D ． 【变式 4-1】
（24-25 九年级上·四川绵阳·期末）
14 ．如图为反比例函数y = 与y = 在第一象限中的图象，点 P 为其中一个反比例函数图 象上点，过点 P 作y 轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点 A，过点 P 作 x 轴的垂线与另
一个反比例函数图象交于点 B，则 △ABP 面积应是( )
3 1 1
A ． 1 B ． C ． D ．
4 2 4
【变式 4-2】
（2025·湖北·模拟预测）
15 ．如图，点A 在双曲线 上，点B 在双曲线 上， 且ABⅡy 轴，则△ABC 的面积 等于 ．
【变式 4-3】
（24-25 九年级上·江苏南通·期末）
16．如图，平面直角坐标系中，点P 为双曲线 上任意一点，将点P 绕原点O 顺 时针旋转60° 后得到点P¢ ,点Q 在直线上．若P¢Q = P¢O ，则△P¢OQ 的面积为
( )
A ．3 B ．6 C ．9 D ．12
【题型 5 由图形面积求反比例函数的比例系数】
【例 5】
（24-25 八年级下·吉林长春·期中）
17 ．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 为x 轴上的一点，将OA 绕点O 顺时 针旋转60° 至OB ，反比例函数的图象经过点B ，过 A 作AC ∥OB 交反比例函
数的图象于点C ，若 △OBC 的面积为3，则 k 的值为( )
A ．-6 B ． C ． D ．-3
【变式 5-1】
（24-25 八年级下·吉林长春·期中）
18 ．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， △ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 垂直于x 轴、点A、B分别在函数y = k1 > 0，x > 0) 和y = k2＜0，x＞0) 的图象上．若 △ABC 的面 积为 5，且 k1 + k 2 = 6 ，则k2 的值为 ．
【变式 5-2】
（24-25 九年级下·重庆·阶段练习）
19 ．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ， 分别交反比例函数y1 = k > 0, x > 0)， 的图象于点C 和点D ，过点C 作CE 丄 x 轴于点E ，连结OC ，OD ，若 △COE 的面积与 △DOB 的面积相等，则k 的值是( )
A ．2 B ． C ．1 D ．4
【变式 5-3】
（24-25 八年级下·山西临汾·期中）
20 ．如图，平行四边形ABCD 的面积为 4，顶点 A 与原点 O 重合，顶点 B 在 x 轴的负半轴 上，顶点 C，D 分别落在反比例函数和 的图象上，则 k 的值等于 ．
【题型 6 反比例函数中的规律探究】
【例 6】
（2025·山东淄博·一模）
21 ．如图，双曲线 与直线y = 2x 相交于点A ，B，在直线 y = 2x 上取点 A1 (2, a1 ), B1 (-2, b1 ) ，A2 (3, a2 ), B2 (-3, b2 ), A3 (4, a3 ), B3 (-4, b3 ) ， … ,依次以
A1B1 , A2B2 , A3B3 ， …为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于 x 轴的矩形
M1 , M2 , M3 ， … . 矩形M1 的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：
C1, C2, C3, C4 ；矩形M2 的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C5 , C6 , C7 , C8 ； 矩形M3 的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C9 , C10 , C11 ，C12 … ．按此 规律，则点C2025 的坐标为 ．
【变式 6-1】
（2025·河北张家口·二模）
22 ．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上， 点P1 在反比例函数 的图象上，过P1A 的中点B1 作矩形B1AA1P2 ，使顶点P2 落在反 比例函数的图象上，再过P2 A1 的中点B2 作矩形B2 A1A2P3 ，使顶点P3 落在反比例函数的图象 上，… , 依此规律，作出矩形B18A17A18P19 时，落在反比例函数图象上的顶点P19 的坐标为( )
A ． B ． C ． D ． 【变式 6-2】
（2025·陕西渭南·模拟预测）
23．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和 点A(1, a )在 上，AB∥x 轴交 于点B ，BA1 ∥ y 轴交 于点A1 ，A1B1 ∥ x 轴交于点B2 ，… , 按照此规 律作图，则B2 的点坐标为 ．
【变式 6-3】
（24-25 九年级上·湖南·阶段练习）
24 ．如图，在反比例函数y = 的图象上有A(2, m) 、B 两点，连接AB ，过这两点分别作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C、D，已知 BD = AC ，点F1 是CD 的中点，连接AF1、BF1 ，得到
△AF1B ；点F2 是DF1 的中点，连接AF2、BF2 ，得到 △AF2B ；……按照此规律继续进行下去， 则△AFnB 的面积为 ．（用含正整数 n 的式子表示）
【题型 7 反比例函数中的存在性问题】
【例 7】
（24-25 八年级上·上海奉贤·期末）
25 ．如图，已知正比例函数y = x 经过点A(m, 6)(m > 0) ，过点A 作AB Ⅱ y 轴，交反比 例函数于点B （点 B 在点A 下方），连接OB 得△AOB 的面积为12 3 ．
(1)求m 的值；
(2)求反比例函数解析式；
(3)在直线OA 上是否存在一点C ，使得△ABC 是直角三角形？若有，请求出点C 的坐标；若 没有，请说明理由．
【变式 7-1】
（24-25 九年级上·四川成都·期末）
26 ．一次函数 与 x 轴交于 C 点，与y 轴交于 B 点，点A(2, a )在直线BC 上，过点
A 作反比例函数y = 图象．
(1)求出 a ，k 的值；
(2)在 x 轴上是否存在点 D，使得 上BOA = 上OAD ，若存在请直接写出坐标，若不存在请说明 理由．
【变式 7-2】
（24-25 九年级上·山东泰安·期中）
27．综合与探究：如图，一次函数y = x + 1与反比例函数 的图象相交于A (m, 2)，B 两点， 分别连接OA, OB ．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求出点 B 的坐标及 △AOB 的面积；
(3)在坐标轴y 轴上是否存在一点 P，使以点 B，A，P 为顶点的三角形是以AB 为直角边的直 角三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式 7-3】
（24-25 九年级上·吉林白山·期末）
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y = -x + b 与反比例函数 的图象交点于点A(n,6) 与x 轴交于点C ，y 轴交于点B(0, 4) ．
(1)求k、b 的值；
(2)连接AO ，求△AOC 的面积；
(3)在反比例函数图象上存在一点D ，若点Q 为坐标轴上的一动点，当以A、B、D、Q 为顶 点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q 的坐标．
【题型 8 反比例函数中的动点问题】 【例 8】
（24-25 八年级下·四川眉山·期中）
29 ．已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系内的位置如图所示，点 O 为坐标原点，点A 的坐 标为(10,0) ，点 B 的坐标为(10,8)．
(1)求直线AC 的解析式；
(2)已知直线AC 与双曲线y = (m ≠ 0 ) 在第一象限内有一交点 Q 为(5, n) ；若动点 P 从 A 点 出发，沿折线AO → OC 的路径以每秒 2 个单位长度的速度运动，到达 C 处停止，求△OPQ 的面积 S 与点 P 的运动时间 t（秒）的函数关系式并画出函数图象；
(3)在（2）的条件下，当 S ≥ 10 时，求 t 的取值范围． 【变式 8-1】
（24-25 九年级上·安徽安庆·期末）
30．如图所示，已知 为反比例函数 图象上的两点，动点P(x,0) 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是( )
A ．(çè ,0 B ．(çè ,0 C ． D ． 【变式 8-2】
（24-25 九年级上·河北保定·期末）
31 ．如图，等腰直角三角形ABC 在第一象限，点A ，B 的坐标分别为(1,5), (1, 2)，
ÐB = 90° . 动点 D 从点A 出发，沿AB - BC 运动到点 C，反比例函数 的图 象 L 经过点 D，则在点 D 的运动过程中，下列各点中，图象 L 经过两次的是( )
A ．(1, 2) B ．(3, 2) C ．(2, 2) D ．(4, 2)
【变式 8-3】
（24-25 八年级下·黑龙江大庆·期中）
32 ．两个反比例函数 和y = 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在 的图象上，
PC 丄 x 轴于点 的图象于点 A ，PD 丄 y 轴于点 D，交的图象于点 B，当点 P 在 的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与 △ OCA的面积相等；②四边形PAOB 的面 积不会发生变化；③ PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点 B 一定是PD 的中 点．其中一定正确的是 ．
1 ．D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征， 反比例函数的性质，熟知反比例函 数的图象与系数的关系是解题的关键．
根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A 、Q k > 0 ，
: 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小， 当0 < m < 1 时，m -1 < 0 ，
: 点A(m, y1 ) 位于第一象限，点B(m -1, y2 ) 位于第三象限，
:y1 > y2 ；
当m > 1时， m -1 > 0 ，
: 点A(m, y1 ) ，B(m -1, y2 ) 位于第一象限，
Qm > m -1，
:y1 < y2 ，原说法错误，故此选项不符合题意；
B 、Q k > 0 ，
: 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小， Qm < 0 ，m -1 < 0 ，
: 点A(m, y1 ) ，B(m -1, y2 ) 位于第三象限，
Qm > m -1，
:y1 < y2 ，原说法错误，故此选项不符合题意；
C 、Q k < 0 ，
: 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大， 当0 < m < 1 时，m -1 < 0 ，
: 点A(m, y1 ) 位于第四象限，点B(m -1, y2 ) 位于第二象限，
:y2 > y1 ，
当m > 1时， m -1 > 0 ，
Qm > m -1，
:y1 > y2 ，原说法错误，故此选项不符合题意；
D 、Q k < 0 ，
: 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大， Qm < 0 ，m -1 < 0 ，
: 点A(m, y1 ) ，B(m -1, y2 ) 位于第二象限，
Qm > m -1，
:y1 > y2 ，正确，此选项符合题意． 故选：D．
2 ．A
【分析】先根据反比例函数 图象经过点A(2，- 2023) 得出k = 2 × (-2023) < 0 ，判断此函 数图象所在的象限，再根据x1 < x2 < 0 判断出B(x1，y1 ) 、C (x2，y2 ) 所在的象限，根据此函 数的增减性即可解答．
【详解】解：Q 反比例函数 图象经过点A(2，- 2023)，
:k = 2 × (-2023) < 0 ，
:此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，
Qx1 < x2 < 0 ，
:B(x1，y1 ) 、C (x2，y2 ) 两点均位于第二象限，
:y1 < y2 ．
故选：A ．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题 的关键．
3 ．y3 > y1 > y2
【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像是解题 的关键．根据k > 0 判断出反比例函数在一、三象限，由横坐标大小判断即可．
【详解】解：Q k = 5 > 0 ，
:反比例函数在一、三象限，
故在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
Q A(-7, y1 ), B(-4, y2 ) 位于第三象限，
: y3 > y1 > y2 ，
故答案为：y3 > y1 > y2 ．
4 ．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质， 正确求出反比例函数解析式是解题关键．根 据反比例函数图象上点的坐标特征，求出m = -6 ，从而得到反比例函数图象经过第二、四 象限，且在第二象限内，y 随x 的增大而增大，即可得到答案．
【详解】解：QA(m + 3, 2) ， 在反比例函数 的图象上，
解得：m = -6 ，
:反比例函数 图象位于第二、四象限，且在第二象限内，y 随x 的增大而增大， QC(x1, y1 ) ，D(x2, y2 ) 都在反比例函数 的图象上，且x1 < x2 < 0 ，
:0 < y1 < y2 ， 故选：C．
5 ．x3 < x1 < x2
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解 题的关键．
先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据y1 < y2 < 0 < y3 判断点A 、B 在第四象限， 点C 在第二象限． 利用单调性得出 x1 、x2 、x3 的大小关系即可．
【详解】:反比例函数
:图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大， : y3 > 0 ，
:点C(x3, y3 ) 在第二象限， : x3 < 0 ，
∵ y1 < y2 < 0 ，
:点A(x1, y1 ) ，B(x2, y2 ) 在第四象限，且在第四象限y 随x 的增大而增大，
: x1 < x2 ，而第四象限的x 值大于0 ，
: x3 < x1 < x2 ．
故答案为：x3 < x1 < x2 ．
6 ．x2 < x3 < x1 ## x1 > x3 > x2
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质， 先判断k= - (a2 +1) < 0 ，可知反比例函数的图 象在二、四象限， 再利用函数性质可得答案，理解“在每个象限内，y 随x 的增大而减小”以 及图象法是解决问题的关键．
【详解】解：Qa2 + 1 > 0 ，
:反比例函数 （a 是常数）的图象在二、四象限， 在每一象限内，y 随x 的增大而增大，
∵ y1 < 0 < y2 < y3
: A (x1, y1 ) 在第四象限，B (x2, y2 ) ，C (x3, y3 ) 在第二象限， : x1 > 0 ，x2 < x3 < 0 ，
即x2 < x3 < x1 ，
故答案为：x2 < x3 < x1 ．
7 ．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标满足 反比例函数解析式，求出x1 , x2 , x3 ，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
解：当y = -2 时 当y = 3 时 ，
当y = 6 时， ∵ -2 < -1< 3 ，
: x2 < x3 < x1 ， 故选：D．
8 ．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 先确定图象分布在第一、三象限， 在 每个象限内，y 随 x 的增大而减小再根据性质判定大小即可．
【详解】解：:反比例函数
:反比例函数 图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．
: A(x1, -2) ，
:点 A 在第三象限， : x1 < 0 ，
又:1< 2 ，
: x2 > x3 > 0 ，
: x1＜x3＜x2 ， 故选：C．
9 ．D
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像，整数点的问题， 解题的关键是要找到临界状态．
先找出矩形内部整数点共 8 个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数 k，即可求出 取值范围．
【详解】解：矩形内的整数点有 (3, 3), (3, 4), (3,5), (3, 6), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) ，
:当反比例函数图像经过点(3, 5) 时，此时k = 3 × 5 = 15 ， 当反比例函数图像经过点(4, 4) 时，此时k = 4 × 4 = 16 ，
:15 < k < 16 时，图像下方有点(3, 4), (4,3), (3, 3), (3, 5) ，图像上方有(4, 4), (3, 6), (4, 6), (4, 5) ， 故选：D．
10 ．D
【分析】先求出 T1 ~ T4 四个点的坐标，分别求出 过个点时的k 值，可得结果．
【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是 1 和 2， : T1 (8,1), T2 (6, 2), T3 (4, 3), T4 (2, 4)，
:当 过点 时，k = 8 ， 当 过点T2 (6, 2), T3 (4, 3) 时，k = 12 ，
:若曲线 L 使得T1 ~ T4 ，这些点分布在它的两侧，每侧各 2 个点，k 的取值范围是：
8 < k < 12 ；
故选 D．
【点睛】本题考查反比例函数的应用 ．根据题意，求出各点的坐标，是解题的关键．
11 ．2 < a < 4
【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以 及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用 a 表示出 D 点坐标．即可求出BD 和DC 的 长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点 B 、C 不重合和BD > DC 可列出不等式，解出不等 式即可求出 a 的取值范围．
【详解】解：由题意可知点 A 在双曲线上， :将点A 坐标代入双曲线解析式得： ， 解得：m = 12 ．
即双曲线解析式为 ， ∵ B (0, a ) ，C (6, a )，
:BC 丄 y 轴，
:D 点纵坐标为 a，
将 D 点纵坐标代入双曲线解析式得： ， 即 ，
:D 点坐标为 ．
∵线段BC 与双曲线有交点且与点 B 、C 不重合，
解得：a > 2 ．
且BD > DC ．
: a < 4 ．
综上可知2 < a < 4 ．
故答案为：2 < a < 4 ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题，根据所给的信息观察图象是解 题的关键．
利用C 的横坐标为-4 ，代入y= -x 后求出C 的坐标，再根据BC = 3 , AC = 3 ，可得A 和B 的 坐标，设直线OC 与AB 的交点坐标为E ，求出 E 的坐标后，观察图象即可得到结果．
【详解】解：∵ C 的横坐标为-4 ， :把x = -4 代入y = -x 可得：y = 4 ， : C(-4, 4) ，
∵ BC = 3 , AC = 3 ，
: A(-4,1) ，B (-1, 4)，
设直线OC 与AB 的交点坐标为E ，则 E 为AB 的中点，如图所示：
( 5 5 ö
: E çè - 2 , 2 ,÷ ,
反比例函数图象经过A 或B 时，k = -4× 1 = -4 ， 反比例函数经过点E 时
由图像可得：双曲线 与 △ABC 的边AB 有2 个公共点，则k 的取值范围为
故答案为
13 ．D
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差 公式，根据 △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形可得出OC = AC 、AD = BD ，设 OC = a ，
BD = b ，则点 B 的坐标为(a + b, a - b) ，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出
a2 - b2 = 7 ，再根据三角形的面积即可得出 △OAC 与 △BAD 的面积之差，熟练掌握知识点的应 用是解题的关键．
【详解】解：∵ △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形， : OC = AC ，AD = BD ，
设OC = a ，BD = b ，
则点B 的坐标为(a + b, a - b) ，
∵反比例函数y = 在第一象限的图象经过点B ， : (a + b)(a - b) = a2 - b2 = 7 ，
故答案为：2 ．
14 ．C
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题
的关键．设 ，即可求出点 A，点 B 的坐标从而求出面积．
【详解】解：Q P 在反比例函数 图象上， 设
: 点 A，点 B 在反比例函数y = 图象上，
Q过点 P 作y 轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点 A，过点 P 作 x 轴的垂线与另一个反 比例函数图象交于点 B，
故选 C．
15 ．1
【分析】本题主要考查了反比例函数中k 的几何意义，理解k 的几何意义是解题的关键．延 长 AB 交x 轴于点D ，连接 OA 、 OB ，根据反比例函数中k 的几何意义得到S△OBD ，S△OAD ， 从而推出S△AOB ，最后利用 △ABC 和△AOB 同底等高即可得到答案．
【详解】解：延长 AB 交x 轴于点D ，连接 OA 、OB ，如图
Q 点A 在双曲线 上，点B 在双曲线 上，且AB Ⅱ y 轴
△
Q △ABC 和△AOB 同底等高
:S△ABC = S△AOB = 1 故答案为：1．
16 ．B
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，一次函数和反比例函数图象上点的坐标 特征，坐标与图形的变化-旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接PP¢ , 得到 △POP¢ 是等边三角形，得到点P, Q 重合，设Q(m, n)，得到mn = -6 ， 得出 ，因为△P¢OQ 是等边三角形，得到△P¢OQ 的高为 根据 三角形面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接PP¢ ,
Q将点P 绕原点O 顺时针旋转60° 后得到点P¢ ,
:PO = P¢O ，上POP¢ = 60° ,
:△POP¢ 是等边三角形， :PO = P¢O = PP¢ ,
QP¢Q = P¢O ，
: 点P, Q 重合，
设Q(m, n)，
Q 点P 为双曲线 上任意一点，点Q 在直线y = - x ， :mn = -6 ，n = - m ，
:m2 = 2 ，n2 = 6 ，
: OQ2 = m2 + n2 = 8
Q△P¢OQ 是等边三角形， :P¢O = OQ
设OQ 边上的高为h ，
:h = sin上P¢OQ . P¢O = OQ ，
故选：B．
17 ．D
【分析】本题考查了旋转的性质， 等边三角形的判定和性质，反比例函数k 的几何意义，根 据AC Ⅱ BO ，得到S△BCO = S△BAO ，是解答本题的关键．过 B 点作BE 丄 AO 于 E 点，根据旋 转的性质可得：OA = OB ，上AOB = 60° ,即有 △OAB 是等边三角形，则有
得出S△BAO = 2S△BOE = k ，根据AC Ⅱ BO ，可得S△BCO = S△BAO ，即可求解． 【详解】解：过 B 点作BE 丄 AO 于 E 点，如图，
根据旋转的性质可得：OA = OB ，上AOB = 60° , : △OAB 是等边三角形，
: BE 丄 AO ，
则S△BAO = 2S△BOE = k : AC Ⅱ BO ，
: S△BCO = S△BAO ，
:反比例函数图象在第二象限，则k < 0 ，
故选：D．
18 ．-2
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接 OA、OB ，利用平行线间的距离相等，即可求得S△AOB = S△ABC = 5 ，利用反比例函数系数k 的 几何意义得出S△△ 即可得出 即 k1 - k2 = 10 ，与
k1 + k 2 = 6 构成方程组，解方程组即可求解，明确S△AOB = S△ABC = 5 是解题的关键． 【详解】解：连接OA、OB ，
: △ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 垂直于x 轴，
: ABⅡy 轴，
: S△AOB = S△ABC = 5 ，
:点A、B 分别在函数y = k1 > 0, x > 0) 和y = k2 < 0, x < 0) 的图象上，
: k1 - k2 = 10① , : k1 + k2 = 6② ,
② - ① 得2k2 = -4 ，即 k2 = -2 ， 故答案为：-2 ．
19 ．D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的应用是解题关 键．过点D 作DF 丄 y 轴于点F ，先根据一次函数的解析式求出B(0, -1), OB = 1，再根据反 比例函数 可得 △COE 的面积为 1，利用三角形的面积公式可得DF = 2 ，从 而可得点D 的坐标，代入计算即可得．
【详解】解：如图，过点 D 作DF 丄 y 轴于点F ，
对于一次函数
当x = 0 时，y = -1，即B(0, -1), OB = 1，
:点C 位于反比例函数yk > 0, x > 0) 的图象上，且CE 丄 x 轴于点E ，
∵ △COE 的面积与 △DOB 的面积相等， 即 ，
: DF = 2 ，
将x = -2 代入一次函数得 : D (-2, -2)，
将点D(-2, -2) 代入反比例函数 得：k = -2× 故选：D．
20 ．-9
【分析】延长CD 交y 轴于 E，过点 C，CF 丄 x 轴于点 F，过点 D 作DG 丄 x 轴于点 G，根 据矩形的性质结合反比例函数系数 k 的几何意义即可得出矩形OGDE 的面积为5，矩形
CFOE 的面积为k ，结合平行四边形 ABCD 的面积为 4，可得 k 值．
【详解】解：延长CD 交y 轴于 E，过点 C，CF 丄 x 轴于点 F，过点 D 作DG 丄 x 轴于点 G， 如图所示：
则CF Ⅱ DG ，
根据反比例函数 k 的几何意义：矩形OGDE 的面积为 5，矩形CFOE 的面积为k ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，
: CD ∥ x 轴，
:四边形CDFG 为平行四边形， ∵平行四边形ABCD 的面积为 4， :平行四边形CDFG 的面积为 4， : k - 5 = 4 ，
∵ k < 0 ，
:解得：k = -9 ， 故答案为：-9 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及反比例函数系数 k 的几何意义，根据反比例函数系数 k
的几何意义找出S矩形ABEO = 5 、S矩形DCEO = k
是解题的关键．
【分析】本题主要考查了坐标规律探索， 反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有 4 个点，根据2025÷ 4 = 506 ，得出点C2025 在矩形M507 上，且在第一象限内，先根据规律 得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可．
【详解】解：根据题意可知：C1, C2, C3, C4 在矩形M1 上，C5, C6, C7, C8 在矩形M2 上，
C9, C10, C11, C12 在矩形M3 上，因此每个矩形上都有 4 个点， : 2025÷ 4 = 506 ，
:点C2025 在矩形M507 上，且在第一象限内， :横坐标为507 +1 = 508 ，
2 2 1
把x = 508 代入y = 得：y = = ，
x 508 254
故答案为
22 ．A
【分析】先根据题意得出 P1 点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点 P2， P3 的坐标，找出规律即可得出结论．
【详解】解：:正方形 OAP1B 的边长为 1，点 P1 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上， :P1（1 ，1），
:k=1，
:在反比例函数的解析式为：y= ， :B1 是 P1A 的中点，
:P2A1=AB1 ， :OA1=2，
:P2（2 ， ），
同理，
…
:Pn（2n-1 ， ）．
当n =19 时，则有
P19 的坐标为
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．
23 ．(8,1)
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事 解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入
求出B 、A1 、B1 、A2 的坐标，即可得出B2 的纵坐标，代入 即可求出答案．
解：把A(1, a) 代入 得：a = 4 ， 即A(1, 4) ，
所以B 点的纵坐标是 4，
把y = 4 代入得：x = 2 ， 即B(2,4) ，
所以A1 的横坐标是 2，
把x = 2 代入 得：y = 2 ， 即A1 (2, 2) ，
所以B1 的纵坐标是 2，
把y = 2 代入得：x = 4 ， 即B1 (4, 2) ，
所以A2 的横坐标是 4，
把x = 4 代入 得：y = 1， 即A2 (4,1) ，
所以B2 的纵坐标是 1，
即B2 (8,1) ，
故答案为：(8,1) ．
24 ．
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出 A(2, 2) ，得 到AC = 2 ，OC = 2 ，BD = 1，进而求出B(4，1) ，得到OD = 4 ，则CD = 2 ，根据梯形面积公 式求出S四边形ACDB = 3 ，再分别求出S△△△△
7 1 2n - 1 1
S△ACF3 = 4 ，S△BDF3 = 8 ，进而得到规律 S△ACFn = 2n-1 ，S△DCFn = 2n ，则
【详解】解：∵ A(2, m) 在反比例函数y = 的图象上，
: A(2, 2) ，
∵ AC 丄 x 轴，
: AC = 2 ，OC = 2
∵ BD 丄 x 轴，
:点 B 的纵坐标为 1，
在 中，当y = = 1 时，x = 4 ， : B (4，1)，
: OD = 4 ， : CD = 2 ，
:点F1 是CD 的中点，
: CF1 = DF1 = CD = 1，
: S△ACF1 = AC . CF1 = × 1 × 2 = 1，S△BDF1 = BD . DF1 = × 1 × 1 = ， :点F2 是DF1 的中点，
1 1 1
: DF2 = DF1 = CD = ，
2 4 2
3 3
: CF2 = CD - DF2 = CD = ，
4 2
1 3 1 1
: S△ACF2 = 2 AC . CF2 = 2 ，S△BDF2 = 2 BD . DF2 = 4 ， : F3 为CF2 的中点，
1 1 1
: DF3 = DF2 = CD = ，
2 8 4 : CF3 = CD - DF3 = ，
1 7 1 1
: S△ACF3 = 2 AC . CF3 = 4 ，S△BDF3 = 2 BD . DF3 = 8 ，
…… ,
以此类推可知，S△ACFn = ，S△DCFn = ，
2n - 1 1 3. 2n - 2 . 2n + 2 - 1 2n + 1
: S△AFnB = S四边形ACDB - S△ACFn - S△BDFn = 3 - 2n-1 - 2n = 2n = 2n ，
故答案为： ．
25 ．(1) m = 6
(2) y =
(3)C(2, 2) 或C(3, 3 )
【分析】（1）将 A(m, 6)(m > 0) 代入y = x 求解即可；
（2）设点 B 的横坐标为(6, y) ，根据 △AOB 的面积为12 得到 × 6 (6 - y ) = 12 ，求出 B (6, 2)，设反比例函数解析式为 y = ，代入点 B 坐标求解即可；
（3）设C(n, n)，根据题意分上ABC = 90° 和上ACB = 90° 两种情况，分别根据题意求解即
可．
【详解】（1）解：∵正比例函数y = x 经过点A(m, 6)(m > 0)，
: 6 = m : m = 6 ；
（2）解：∵ AB Ⅱ y 轴， △AOB 的面积为12 3 :设点 B 的横坐标为(6, y)
: AB = 6 - y
: y = 2
: B (6, 2)
设反比例函数解析式为y = 将B(6, 2)代入得，2 =
: k = 12
:反比例函数解析式为y = 12 ；
x
（3）解：∵点 C 在直线OA 上
:设C(n, n)
如图所示，当上ABC = 90° 时，即AB 丄 BC
∵ AB Ⅱ y 轴， :BC 丄 y 轴 : n = 2 : n = 2
: C (2, 2)；
如图所示，当上ACB = 90° 时，
: AC2 + BC2 = AB2
: (6 - n)2 + (6 - n)2 + (6 - n)2 + (2 - n)2 = (4)2 整理得，n2 - 9n +18 = 0
解得n =3 或6 （舍去）
: C (3, 3 )．
综上所述，点C 的坐标为C(2, 2) 或C(3, 3 )．
【点睛】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合题，待定系数法求解析式，勾股定理， 直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
26 ．(1) a = 3 ，k = 6
(2)D(2, 0) 或D(çè - , 0
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）把点 A(2, a )代入一次函数解析式，求出a 的值，进而求出k 值即可；
（2）分点 D 在x 轴的正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可． 解：把点A(2, a )代入 得：a = 3 ，
: A (2, 3) ，
: k = 2 × 3 = 6 ；
（2）解: ①当点D 在x 轴的正半轴上时，
∵ 上BOA = 上OAD ， : AD∥OB ，
: AD 丄 x 轴，
∵ A (2, 3)
: D (2, 0) ；
②当点D 在x 轴的负半轴上时，设AD 交y 轴与点F ， ∵ 上BOA = 上OAD ，
: OF = AF ， 设F(0, m)，
: m2 = 4 +(3 - m)2 ，解得： ，
设直线AD 的解析式为 把A(2, 3) 代入，得： ，
:当y = 0 时 ，
: D (2, 0) 或D(çè - , 0 ．
27 ．
(2)B (-2, -1) ，1.5
(3)存在，(0, 3) 或(0, -3)
【分析】（1）求出点 A 的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点 B 的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）设P(0, a ) ，表示出 AP2 , BP2 ，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：把 A (m, 2)，代入 y = x + 1，得： m +1 = 2 ，
: m = 1，
: A (1, 2) ，
: k = 1 × 2 = 2 ，
联立 解得 或 : B (-2, -1) ，
∵ y = x + 1，当 x = 0 时，y = 1， : C (0,1) ，
（3）存在，设点P(0, a ) ， ∵ A (1, 2) ，B (-2, -1) ，
: AP2 = 1+ (a - 2)2 , BP2 = 4 + (a +1)2 , AB2 = (1+ 2)2 + (1+ 2)2 = 18 ， ∵点 B，A ，P 为顶点的三角形是以AB 为直角边的直角三角形， ①当AP 为斜边时：1+(a - 2)2 = 18 + 4 +(a +1)2 ，解得：a = -3 ；
②当BP 为斜边时：1+(a - 2)2 +18 = 4 +(a +1)2 ，解得：a = 3 ； : P (0, 3) 或P(0,-3) ．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面 积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于 中考常考题型．
28 ．(1) k = -12 ，b = 4 ；
(2)△AOC 的面积为12；
(3)点Q(-4,0) 或(0, - 4) 或(-0.8,0)．
【分析】（1）由直线 y = -x + b 图象过点A(n, 6) ，与y 轴交于点B(0, 4) ，可求出b = 4 ，
n = -2 ，则有点 A(-2, 6)，然后代入 即可求解；
（2 ）由（1）得一次函数解析式为y= -x + 4 ，则点C(4, 0) ，然后用三角形面积公式即可求 解；
（3 ）分当点Q 在y 轴上时和当点Q 在x 轴上时，两种情况讨论，由平行四边形的对角线互 相平分列出等式可求解；
【详解】（1）解：∵直线y = -x + b 图象过点A(n, 6) ，与y 轴交于点B(0, 4) ， : 4 = -0 + b ，6 = -n + b ，
: b = 4 ，n = -2 ， :点A(-2, 6)，
∵反比例函数 的图象过点A(-2, 6)， : k = -2× 6 = -12 ；
（2）解：如图，
由（1）得b = 4 ，
:一次函数解析式为y = -x + 4 ， 当 y = 0 时， x = 4 ，
:点C(4, 0) ， : OC = 4 ，
:△AOC 的面积为
（3）解：当点Q 在y 轴上时，设点Q(0, c) ，点 ∵以A、B、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形，
:BQ 和AD 是对角线，且互相平分，
: m = 2 ，
:点D(2, - 6) ，
: c = -4 ，
:点Q(0, - 4)，
当点Q 在x 轴上时，设点Q(t, 0) ，点 若AQ、BD 为对角线，
: m = -6 ，t = -4 ， :点Q(-4,0)，
若AD、BQ 为对角线，
: m = 6 ， t = 4 ， :点Q(4, 0)，
此时点Q 在AB 的延长线上，不合题意舍去，
当AB、PQ 为对角线时，同理可求点P(-1.2,10) ，点Q(-0.8,0)， 综上所述：点Q(-4,0) 或(0, - 4) 或(-0.8,0)．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，平行四边形的性质，三 角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键.
29 ．
图象见解析
(3) 0 ≤ t ≤ 2.5 或7 ≤ t ≤ 9
【分析】（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点 C 的坐标，然后利用待定系数法求函 数的解析式；
（2）分类讨论：当 0 ≤ t ≤ 5 时，OP = 10 - 2t ，当5 < t ≤ 9 时，OP = 2t -10 ；利用三角形面 积公式求出函数解析式，再画出函数图象即可；
（3）分类讨论：当 0 ≤ t ≤ 5 时，当5 < t ≤ 9 时，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点 A 的坐标为(10, 0) ，点 B 的坐标为(10,8)，
: C (0,8)．
设直线AC 的解析式为y = kx + b (k ≠ 0)，将 A(10, 0) 、C (0,8) 代入得：
解得 :直线AC 的解析式为
（2）∵Q(5, n)在直线AC 上，
又∵双曲线 : m = 5 × 4 = 20 ，
②当0 ≤ t ≤ 5 时，OP = 10 - 2t ，
过 Q 作QD 丄 OA ，垂足为 D，如图所示：
∵Q (5, 4) ， :QD = 4 ，
当5 < t ≤ 9 时，OP = 2t -10 ，
过 Q 作QE 丄 OC ，垂足为 E，如图所示：
∵Q (5, 4) ， :QE = 5 ，
综上所述 如图，
（3）把 S = 10 代入S = 20 - 4t ，得10 = 20 - 4t ，t = 2.5 ．
把S = 10 代入S = 5t - 25 ，得10 = 5t - 25 ，t = 7 ．
结合图象可知，当S ≥ 10 时，t 的取值范围是0 ≤ t ≤ 2.5 或7 ≤ t ≤ 9 ．
【点睛】本题考查矩形的性质， 待定系数法求函数解析式，画函数图象，一次函数和反比例 函数的交点问题，分类讨论是解题的关键．
30 ．D
【分析】连接AB 交 x 轴于点P¢ , 当 A 、B 、P 共线时取等号，即点 P 与点P¢ 重合，此时线 段AP 与线段BP 之差达到最大，利用待定系数法求得直线AB 的表达式，然后令y = 0 求解即 可．
【详解】解： 连接AB 交 x 轴于点P¢ , 则AP - BP ≤ AB ，当 A、B 、P 共线时取等号，即点 P
与点P¢ 重合，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，
为反比例函数 图象上的两点， 则 ， ，
设直线AB 的表达式为y = kx + b ， 则 解得 ，
令y = 0 ，由 得 ，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、求一次函数解析式，正确得出最大值时 点 P 的位置是解答的关键．
31 ．C
【分析】求出点 C 的坐标，根据点 D 的运动路线，分析得到 k 的取值范围公共部分是
2 ≤ k ≤ 5 ，再对选项进行分析即可得到答案．此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结 合是解题的关键．
【详解】解：∵等腰直角三角形ABC 在第一象限，点A ，B 的坐标分别为(1, 5), (1, 2)， ÐB = 90° ,
: AB ^ x 轴，BC Ⅱ x 轴， :点 C 的坐标为(4, 2)，
当点 D 在线段AB 上运动时，点 D 的横坐标是 1，纵坐标的范围为2 ≤ y ≤ 5 ，
此时 k 的取值范围为2 ≤ k ≤ 5 ，
当点 D 在线段BC 上运动时，点 D 的纵坐标是 2，横坐标的范围为1≤ x ≤ 4 ， 此时 k 的取值范围为2 ≤ k ≤ 8 ，
:k 的取值范围公共部分是2 ≤ k ≤ 5 ，
:点 B 是线段AB 和BC 的公共端点，点 C(4, 2) 是线段BC 的端点， : (1, 2) 和(4, 2) 只会被经过一次，
: 3× 2 = 6 ，6 不在在2 ≤ k ≤ 5 内， :图象 L 不可能经过(3, 2) 两次，
: 2× 2 = 4 ，4 在2 ≤ k ≤ 5 内，且不是线段AB 和BC 的端点， :图象 L 经过两次的是(2, 2)，
故选：C
32 ．①②④
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数的图象等知识点， 熟练掌握 反比例函数的图象与性质是解题关键．
由点A, B 均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数k 的几何意义即可得出
S△ODB = S△OCA ，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形PAOB 的面积为 k -1，即可判断②正确；设点P 的坐标为 则点B 的坐标为 点A 的坐标为
, 求出PA, PB 的长度，可得出PA 与PB 的关系无法确定，即可判断③错误；连接OP ， 由点A 是PC 的中点可得S△OAC = S△OAP ，结合S△ODP = S△OCP ，S△ODB = S△OCA 可得S△OBP = S△OAP ， 从而可得S△OBP = S△OBD ，即可判断④正确．
【详解】解：:点A, B 均在反比例函数的图象上，且BD 丄 y 轴，AC 丄 x 轴，
: S△ODB = S△OCA ，结论①正确；
:点P 在反比例函数 的图象上，且PC 丄 x 轴，PD 丄 y 轴， : SOCPD = k ，
: S四边形PAOB = SOCPD - S△ODB - S△OCA = k -1 ，
即四边形PAOB 的面积不会发生变化，结论②正确；
设点P 的坐标为 则点B 的坐标为 点A 的坐标为
:PA 与PB 的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接OP ，
Q 点A 是PC 的中点，
:S△OAC = S△OAP ，
:S△ODP - S△ODB = S△OCP - S△OCA ，即 S△OBP = S△OAP ，
:S△OBP = S△OAC = S△ODB ，
:点B 一定是PD 的中点，结论④正确； 综上，正确的结论有①②④ ,
故答案为：①②④.