安徽省合肥市蜀山区合肥市五十中学西校 2024-2025学年 九年级上学期数学期中试卷

这是一份安徽省合肥市蜀山区合肥市五十中学西校 2024-2025学年 九年级上学期数学期中试卷，共29页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中，y是x的二次函数是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
3. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位
4. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
5. 点在反比例函数的图象上，则时，y的值为（ ）
A. B. C. D. 4
6. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）
A B. C. D.
7. 已知点D、M是边上的三等分点，且，设、四边形、四边形的面积分别为，则为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（ ）
A. 8对B. 7对C. 6对D. 5对
9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①方程无实数根；②；③若点在该函数图象上，则；④不等式一定成立．其中结论错误的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 二次函数的顶点坐标为___________．
12. 若线段，，则线段，比例中项为________．
13. 如图，矩形中，点B在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点D，若的面积为2，则k的值是___________．
14. 正方形中，，点F射线上一动点，，垂足为E，连接．
（1）___________；
（2）的最小值为___________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集．
16. 如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，求的长．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知二次函数（m是常数）．
（1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点；
（2）若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值．
18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且．
（2）在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式；
（2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
20. 如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，；
（3）在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标．
七、（本题满分12分）
22. 已知抛物线（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线顶点横坐标的2倍．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
①求t（请用含的代数式表示）；
②若且，求t的最大值．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在中，平分．
（1）求的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G．
①求证：；
②若，求．
2024-2025学年度九年级第一学期数学练习
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列函数中，y是x的二次函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的概念，掌握概念是关键，特别强调：二次函数中的二次项系数非零．
形如的函数叫做二次函数，其中a、b、c是常数；根据二次函数的定义判断即可．
【详解】A、的自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意；
B、不一定是二次函数，当a为零时，则不是，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、，整理后得到，是一次函数，不符合题意；
故选：C．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了分式的求值．
根据题意得到，把代入，再约分即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B
3. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线经过平移得到，平移方法是：向左平移1个单位，再向下平移2个单位．
故选择：A．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题目，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．
4. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，，
，
故选：A
5. 点在反比例函数图象上，则时，y的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查待定系数法求反比例函数解析式、求反比例函数值等知识．
先根据点在反比例函数的图象上得到，则，把代入即可求出y的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，，
故选：D
6. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【详解】解：依题意，该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了16米，
采取紧急制动措施的最小安全距离为16米，
故选：C．
7. 已知点D、M是边上的三等分点，且，设、四边形、四边形的面积分别为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、以及相似三角形面积比等于相似比的平方，掌握相似三角形的判定方法以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．本题先根据三条直线平行得到 ，得到对应相似比为，然后得到 ，进而可得出，，最后相比即可得出答案．
【详解】解：∵
∴，
又∵，为AB的三等分点，
∴，
∴
设，则 ，，
∴，
∴．
故选：D．
8. 如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（ ）
A. 8对B. 7对C. 6对D. 5对
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定．平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴．
综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对．
故选：A．
9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①方程无实数根；②；③若点在该函数图象上，则；④不等式一定成立．其中结论错误的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键. 由图象可知与直线有两个交点，即可判断①；由图象求出一元二次方程有两个实数根为，则，得到，即可判断②；点关于直线的对称点为，当时，二次函数的函数值随着x的增大而减小，由以及在该函数图象上，即可判断③；由图象可知，当时，二次函数有最小值为，即对任意的都有，变形后即可判断④.
【详解】解：①由图象可知与直线有两个交点，
则方程有两个不相等的实数根，
即方程有两个不相等的实数根；
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴有一个交点为1,0，抛物线开口向上，
∴抛物线与x轴另一个交点为，，
∴一元二次方程有两个实数根为，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
③点关于直线的对称点为，
∵抛物线对称轴为直线，开口向上，
∴当时，二次函数的函数值随着x的增大而减小，
∵，在该函数图象上，
∴，
故③正确；
④由图象可知，当时，二次函数有最小值为，
∴对任意的都有，
即，则，
∴，
即不等式一定成立．
故④正确；
其中结论错误的是①，共1个；
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 二次函数的顶点坐标为___________．
【答案】0,3
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，把二次函数的一般形式化成顶点式即可得出答案．
【详解】解：，
∴二次函数的顶点坐标为0,3，
故答案为：0,3．
12. 若线段，，则线段，的比例中项为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了比例的基本性质和比例中项的概念．设线段，的比例中项为c，根据比例的性质得到，即可求出答案．
【详解】解：设线段，的比例中项为c，则
，
∴，
解得或（不符合题意，舍去）
即线段，的比例中项为，
故答案为：
13. 如图，矩形中，点B在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点D，若的面积为2，则k的值是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质、反比例函数的图象和性质．先求出的面积为，则可得的面积为，设点D的坐标是，，根据与反比例函数交于点D，即可得到．
【详解】解：∵矩形中，点B在反比例函数的图象上，
∴矩形的面积为，
∴的面积为，
∵的面积为2，
∴的面积为，
设点D的坐标是，
∴，
∴，
∵与反比例函数交于点D，
∴，
故答案为：2
14. 正方形中，，点F为射线上一动点，，垂足为E，连接．
（1）___________；
（2）的最小值为___________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】（1）先证明得到；
（2）由可证明，得到，得到，当最小时，最小，当且仅当OEC三点共线时，取得最小值，
此时，，则的最小值为，即可得到的最小值．
【详解】解：（1）∵正方形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
取的中点O，则，连接，
∵，
∴当且仅当O、E、C三点共线时，取得最小值，
此时，，
∴的最小值为，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线求线段最值是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式的关系．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线与x轴交点坐标可得抛物线在x轴上和上方时x的取值范围即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，，
∴设抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴当时，，
∴不等式的解集为．
16. 如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，求的长．

【答案】15
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出的长，即可得出的长．
【详解】解：．
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知二次函数（m是常数）．
（1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点；
（2）若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质；
（1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论；
（2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：当时，，
，
∴一元二次方程有实数根，
∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点；
【小问2详解】
解：设抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，
当时，，
解得，，
，
或．
18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边上画点D、E，连接，使，且．
（2）在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查格点图中画相似三角形．
（1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可；
（2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即所求；
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式；
（2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【答案】（1）
（2）不能，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
（1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（3）令求得的值，再与3.2比较大小即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：，
相邻两支柱间的距离均为，
，
，两点都在抛物线上，
，
，
．
【小问2详解】
解：由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为9米，三辆车并排宽共6米，
因此只需考虑当时，的值与3.2的大小即可判定，
当时，，
不能并排行驶宽、高的三辆汽车．
20. 如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：
（1）先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明；
（2）解直角三角形得到，利用相似三角形的性质得到，则．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
，
，
，
，
【小问2详解】
解：，
∴
，
，
，
．
答：的长为2．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，；
（3）在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为，双曲线的解析式为
（2）在第一象限内当时，
（3）点P的坐标是或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式；
（2）根据图象求得即可；
（3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键．
【小问1详解】
解： 双曲线过点，
，
双曲线的解析式为，
点，线段，都垂直于轴，，
点的横坐标为6，
把代入解得，
，
把、点的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为；
【小问2详解】
解：观察图象可知，在第一象限内当时，；
【小问3详解】
解：设，
，，
，，，，
当点在的左侧时，
，
，
，
，解得，
此时，
当点在的右侧时，
，，
，
，解得，
此时，
综上，点的坐标是或．
七、（本题满分12分）
22. 已知抛物线（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线顶点横坐标的2倍．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
①求t（请用含的代数式表示）；
②若且，求t的最大值．
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．
（1）求出抛物线顶点横坐标为2，根据的顶点横坐标为，且为抛物线顶点横坐标的2倍，即可求出答案；
（2）①把点的坐标分别代入得到，，即可得到；
②把代入得到，求出，根据二次函数的性质即可得到t的最大值．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线顶点横坐标为2，
∵的顶点横坐标为，且为抛物线顶点横坐标的2倍，
∴，
解得；
【小问2详解】
①∵点Ax1,y1在抛物线上，点在抛物线上．，
∴，，
∴；
②∵，
∴
∵，
∴，
解得，
∵当时，随着m的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为
八、（本题满分14分）
23. 如图1，中，平分．
（1）求的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G．
①求证：；
②若，求．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．
（1）证明,又由得到，则，得到，即可得到的长；
（2）①证明，由（1）可知， ，即可证明结论；
②由以及得到，由已知及（1）可知，，，则，得到，则，过点D作交于点M，证明，则，求出，即可得到．
【小问1详解】
解：∵平分
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：∵，，
∴，
由（1）可知， ，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
由已知及（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
过点D作交于点M，如图，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．