江苏省南通市启东市等2地2024-2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市启东市等2地2024-2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】由点，可得直线的斜率为，
因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以.
故选：D.
2. 若直线与直线垂直，则（ ）
A. 8B. 8C. D.
【答案】A
【解析】因为直线与直线垂直，
所以，解得，
故选：A
3. 如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：，
故选：A.
4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
所以的取值范围为.
故选：B.
5. 已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由圆，可得，
故圆心，半径，
由圆，可得，
故故圆心，半径，
因为，所以，
即两圆相交，所以圆与圆的公切线条数为2.
故选：B.
6. 已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点在同一个圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】椭圆的两个焦点与短轴的两个端点在同一个圆上，
，即，，
椭圆的离心率为，
故选：C.
7. 已知直线，圆，若圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因为的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
所以圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则，解得，
故选：C
8. 已知椭圆，直线与椭圆在第二象限交于两点，与两坐标轴分别交于两点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由直线与椭圆在第二象限交于两点知，
直线的斜率存在且，设直线方程为，则,
设Ax1,y1,Bx2,y2，其中点为，如图，
则有，两式相减可得，
即，
因为，所以也是的中点，
所以，解得.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线和圆，则（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为
C. 直线被圆截得的弦长为
D. 圆被直线截得的优弧与劣弧弧长之比为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，直线的斜率为，所以，直线的倾斜角为，A错；
对于B选项，直线交轴于点，交轴于点，
所以，直线与两坐标轴围成的三角形面积为，B对；
对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为，C对；
对于D选项，设劣弧所对圆心角的大小为，则为锐角，且，
可得，则，故优弧所对的圆心角为，
则圆被直线截得的优弧与劣弧弧长之比为，D对.
故选：BCD.
10. 已知椭圆左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. △的周长为4
C. 若°，则△的面积为
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】由的最大值为3，最小值为1知，，
解得，所以离心率，故A正确；
由椭圆的定义知，
所以△的周长为，故B错误；
由余弦定理，，
即，所以，
解得，所以，故C正确；
由题意可得椭圆方程为，,
设，
则，
所以，由，
可知，故D正确.
故选：ACD.
11. 在棱长为1的正方体中，点在线段上，点在线段上，则（ ）
A. 当为的中点，为的中点时，平面
B. 当为的中点时，
C. 当//平面时，的最小值为
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】建立如图所示的空间直角生标系，

则
因为点在线段BD上,点在线段上,
设,
,.
对于,当为BD的中点,为的中点时,,
,
,
平面平面
平面,故正确;
对于,当为BD的中点时,
,
,故B正确;
对于,易知平面的一个法向量为
又平面,
即
所以当时,,故C错误；
对于,当最小时,,
因为
即,即,
即,解得,此时
,故的最小值为,故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点且与直线平行的直线方程为______．
【答案】
【解析】设与直线平行的直线为，因为点在直线上，
所以，可得，
所以该直线方程为.
13. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则该圆的标准方程为________．
【答案】或
【解析】∵点在一象限，∴设圆心，半径，
则圆的方程为，
代入点圆的方程，解得或，
∴圆的方程为：或.
故答案为：或
14. 已知曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为________；为上任意一点，与点之间的距离的最大值为_______．
【答案】
【解析】中，用替换，方程不变，
所以椭圆关于对称，
用替换，方程不变，所以椭圆关于对称，
由，解得椭圆的长轴顶点：，
由，解得椭圆的短轴顶点：，
所以，，所以，
设，则
，
当且仅当即或者时等号成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点．
（1）求△的外接圆方程；
（2）若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离．
解：（1）设△的外接圆方程为，
代入，
可得，解得,
所以△的外接圆方程为
（2）设，
由可知,
所以直线的方程为，即，
由关于直线的对称点为，可得，
解得，即,
所以，直线方程为，即，
所以点到直线的距离.
16. 如图，直三棱柱的所有棱长均为2，分别是的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
（1）证明：因为直三棱柱的所有棱长均为2，分别是的中点，
所以，平面，
因为平面，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：取的中点，连接，则两两垂直.
以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
易知,,
则，
设平面的法向量为,
则，取，可得.
设直线与平面所成角为，
则,
所以.
所以直线与平面所成角的余弦值为.
17. 已知圆．
（1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；
（2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．
解：（1）圆C的标准方程为: ,
,
点在圆外,
故过点A且与圆C相切的直线有2条，
①当直线的斜率不存在时, ,
圆心到直线的距离,
直线与圆C相切.
(2)当直线斜率存在时,可设直线,即,
圆心C到直线的距离,
由题意,解得,
此时,即,
终上所述,直线的方程为x=-1或.
（2）设因为为DE的中点,
所以,
点E在圆C上,,
即，即，
所以点的轨迹是以为圆心,32为半径的圆,
的轨迹的长度为.
18. 已知椭圆的右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线经过且与椭圆交于两点，证明：当且仅当直线与圆相切时．
解：（1）由题意可知，，∴，则,
∴椭圆的方程：
（2）当直线斜率不存在时，与圆不相切且此时；
当直线斜率存在时，设，即，
联立，得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，
则，,
则
，
当时，则，
直线或，
此时圆心到的距离,或,
∴当时，直线与圆相切；
当直线与圆相切时，，
解得，此时；
综上所述：当且仅当直线与圆相切时.
19. 如图1，△是等边三角形，△为等腰直角三角形，．将△沿翻折到△位置，且点不在平面内（如图2）．点在线段上（不含端点）．
（1）证明：；
（2）直线与所成角的余弦值为．
①直线与平面所成角为60°时，求；
②设平面与平面的夹角为，求的取值范围．
（1）证明：设为线段的中点，连接，如图，
因为，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以
（2）解：因△为等腰直角三角形，，所以，
因为△是等边三角形，所以，
设，则
因为，所以，
所以解得或，
因为，所以，所以两两垂直，
以为坐标原点，为基底，建立如图所示空间直角坐标系，
①，
则，设，得
设平面的法向量为，
则，取，则，
所以
因为直线与平面所成角为60°，
所以，解得（不合题意，舍），
所以
②设平面的法向量为，
则， 取，可得，
所以，
令，则，且，
因为时，，
所以，，
所以的取值范围.