2024-2025学年江苏省南通市启东中学高二（上）期初数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市启东中学高二（上）期初数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足1+iz=z−2i，则|z|=( )
A. 32B. 52C. 102D. 5
2.过点(2,−1)且与直线2x−3y+9=0平行的直线的方程是( )
A. 2x−3y−7=0B. 2x+3y−1=0C. 3x+2y−4=0D. 2x−3y+7=0
3.已知sinx=35，其中x∈(π2,π)，则tan(2x−π4)=( )
A. −1B. 49C. 3117D. −1731
4.在区间[−5,10]上任取一个整数m，则使函数f(x)=x2−2mx−2m存在两个不同零点的概率为( )
A. 116B. 316C. 1316D. 1516
5.已知直线l：ax+by+c=0与直线l′关于直线x+y=0对称，则l′的方程为( )
A. bx+ay−c=0B. ay−bx−c=0C. ay+bx+c=0D. ay−bx+c=0
6.已知空间向量m=(1,2,3)，空间向量n满足m//n且m⋅n=7，则n=( )
A. (12,1,32)B. (−12,−1,−32)C. (−32,−1,−12)D. (32,1,12)
7.点P在直线l：x−y−1=0上运动，A(2,3)，B(2,0)，则|PA|−|PB|的最大值是( )
A. 5B. 6C. 3D. 4
8.如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为( )
A. O−ABC是正三棱锥
B. 直线OB//平面ACD
C. 直线AD与OB所成的角是45°
D. 二面角D−OB−A为45°
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中真命题是( )
A. 若存在实数x，y，使p=xa+yb，则p与a，b共面
B. 若p与a，b共面，则存在实数x，y，使p=xa+yb
C. 若存在实数x，y，使MP=xMA+yMB，则P，M，A，B共面
D. 若P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使MP=xMA+yMB
10.对于直线l1：ax+2y+3a=0，l2：3x+(a−1)y+3−a=0.以下说法正确的有( )
A. l1//l2的充要条件是a=3B. 当a=25时，l1⊥l2
C. 直线l1一定经过点M(3,0)D. 点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为5
11.已知P、Q分别为棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1棱DD1、BC1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 线段PQ长度的最小值为2
B. 三棱锥P−A1BC1的外接球体积的最大值为4 3π
C. 直线A1Q与直线BC所成角的余弦值的范围为[0, 22]
D. 当P、Q为中点时，平面B1PQ截正方体ABCD−A1B1C1D1所形成的图形的面积为94
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若(a+b+c)(b+c−a)=3bc，且sinA=2sinBcsC，那么△ABC是______．
13.如果三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x−y=10将平面分为六个部分，那么实数a的取值集合为______．
14.已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x−my+m−2=0和过定点B的动直线l2：mx+y+2m−4=0交于点P(P与A，B不重合)，则|PA|⋅|PB|的最大值为______；|PA|+2|PB|的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点A(1,3)，B(3,1)，C(−1,0)，求：
(1)BC边上的高所在直线方程；
(2)△ABC的外心坐标；
(3)△ABC的面积．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinA=3csinB,a=3,csB=23．
(1)求b的值；
(2)求cs(2A+π4)的值．
17.(本小题15分)
某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理质期值进行了抽样调查.得其样本频率分布直方图如图所示.其中a=0.15．
(1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数；(精确到0.01)(2)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3,5)间用分层抽样的方法抽取6人.再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3,4)间的概率．
18.(本小题17分)
已知点M(−1,2)，直线L：2x+y−5=0．
(1)求点M关于点F(3,1)对称点N的坐标；
(2)求点M关于直线L的对称点Q的坐标；
(3)已知点R(0,−2)，点P在直线L上，问使|PM|2+|PR|2取得最小值时P点的坐标与使|PM|+|PR|取得最小值时P点的坐标是否相同？请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上．
(Ⅰ)求证：BF//平面CDE；
(Ⅱ)求直线BP与平面PEC所成角的正弦值；
(Ⅲ)若点F到平面PCE的距离为13，求线段AF的长．
答案解析
1.C
【解析】解：由1+iz=z−2i，得z=1+2i1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1+3i2，
所以|z|= (−12)2+(32)2= 102．
故选：C．
根据复数的除法运算化简复数，再根据模长公式求解．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2.A
【解析】解：设与直线2x−3y+9=0平行的直线的方程为2x−3y+λ=0，
将点(2,−1)代入得2×2−3×(−1)+λ=0，解得λ=−7，
所以所求直线的方程为2x−3y−7=0．
故选：A．
利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解．
本题考查直线方程的点斜式，两条直线的平行关系，考查运算求解能力，属于基础题．
3.C
【解析】解：因为sinx=35，其中x∈(π2,π)，则csx=−45，可得tanx=sinxcsx=−34，
又因为tan2x=2tanx1−tan2x=−247，所以tan(2x−π4)=tan2x−11+tan2x=3117．
故选：C．
先利用三角函数的基本关系式求得tanx=−34，再利用正切的倍角公式和两角差的正切公式，即可求解．
本题考查的知识点：三角函数的基本关系式，三角函数诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4.C
【解析】解：根据题意，若函数f(x)=x2−2mx−2m存在两个不同零点，
则有Δ=4m2+8m>0，解可得m0，
又由m∈[−5,10]，则满足题意m的值为{−5,−4,−3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
在区间[−5,10]上，有16个整数，
则函数f(x)存在两个不同零点的概率P=1316．
故选：C．
根据题意，由二次函数的性质分析m可取的值，结合古典概型公式计算可得答案．
本题考查古典概型的计算，涉及二次函数的性质，属于基础题．
5.A
【解析】解：在原方程中以−x代y，以−y代x即得到直线l：ax+by+c=0与直线l′关于直线x+y=0对称，则l′的方程，
直线ax+by+c=0关于直线x+y=0对称的直线方程是a(−y)+b(−x)+c=0，
即bx+ay−c=0．
故选：A．
在原方程中以−x代y，以−y代x即可得到直线关于x+y=0对称的直线方程．
本题是基础题，考查直线关于直线的对称直线的方程的求法，考查计算能力．
6.A
【解析】解：∵m=(1,2,3)，且空间向量n满足m//n，
∴可设n=λm=(λ,2λ,3λ)，
又m⋅n=7，∴λ+4λ+9λ=14λ=7，得λ=12．
∴n=12m=(12,1,32).
故选：A．
7.A
【解析】解：设B关于l：x−y−1=0的对称点为C(m,n)，
则nm−2=−1m+22−n2−1=0，解得m=1n=1，即C(1,1)，
故|AC|= (2−1)2+(3−1)2= 5，
|PA|−|PB|=|PA|−|PC|≤|AC|= 5，
当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立．
故选：A．
作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式，求解即可．
本题考查点关于直线的对称点的求法，及两点间的距离公式的应用，属于基础题．
8.B
【解析】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，∴O−ABC是正三棱锥，
故A正确．
对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．
对于C，AD和OB成的角，即为AD和AE成的角，即∠DAE=45°，
故C正确．
对于D，二面角D−OB−A即平面FDBO与下底面AEBO成的角，
故∠FOA为二面角D−OB−A的平面角，显然∠FOA=45°，
故D正确．
综上，故选：B．
结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．
本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、二面角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题．
9.AC
【解析】解：A，由空间向量共面定理即可判断出A正确，
B，若a，b共线，p不与a，b共线，则不存在实数x，y，使p=xa+yb，∴B错误，
C，若存在实数x，y，使MP=xMA+yMB，则向量MP，MA，MB共面，∴四点P，M，A，B共面，∴C正确，
D，若MA，MB共线，MP不与MA，MB共线，则不存在实数x，y，使MP=xMA+yMB，∴D错误，
故选：AC．
利用空间向量共面定理即可判断出答案．
本题考查了向量共面定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.BD
【解析】解：当l1//l2时，a(a−1)−6=0 解得a=3 或a=−2，
当a=−2时，两直线为x−y+3=0,x−y+53=0 ，符合题意；
当a=3时，两直线为3x+2y+9=0,3x+2y=0 ，符合题意，故A错误；
当a=25时，两直线为x+5y+3=0,15x−3y+13=0，kl1⋅kl2=−15×5=−1 ，
所以l1⊥l2，故B正确；
直线l1:ax+2y+3a=0即直线a(x+3)+2y=0，故直线过定点−3,0，故C错误；
因为直线l1:ax+2y+3a=0过定点−3,0，
当直线l1:ax+2y+3a=0与点P1,3和−3,0的连线垂直时，
P1,3到直线l1的距离最大，最大值为 (1+3)2+(3−0)2=5 ，故D正确，
故选BD．
11.ABC
【解析】解：以点A为坐标原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．
则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(2,0,0)，A1(0,0,2)，B1(0,2,2)，C1(2,2,2)，D1(2,0,2)．
所以DD1=(0,0,2)，BC1=(2,0,2)，A1C1=(2,2,0)，A1B=(0,2,−2)．
因为P、Q分别为棱DD1、BC1上的动点，令DP=λDD1(0≤λ≤1)，BQ=μBC1(0≤μ≤1)．
所以P(2,0,2λ)，Q(2μ,2,2μ)．
对于选项A：因为|PQ|= (2μ−2)2+(2−0)2+(2μ−2λ)2=2 (μ−1)2+(μ−λ)2+1≥2，
当且仅当λ=μ=1时，等号成立．所以线段PQ长度的最小值为2，故选项A正确；
对于选项B：由正方体的性质可得三角形A1BC1为边长为2 2的正三角形，|BD1|= 22+22+22=2 3．
所以该正方体的外接球球心O为正方体的中心，球半径为R=|BD1|2= 3，外接球体积的为43πR3=4 3π．
因为点P为棱DD1上的动点，所以点P在正方体外接球内运动．
故正方体外接球的体积就是三棱锥P−A1BC1外接球体积的最大值，为4 3π，
此时点P与点D1(或点D)重合．故选项B正确；
对于选项C：因为A1Q=(2μ,2,2μ−2)，BC=(2,0,0)，
所以直线A1Q与直线BC所成角的余弦值为|A1Q⋅BC|A1Q||BC||=4μ2× (2μ)2+22+(2μ−2)2=μ 2μ2−2μ+2，
当μ=0时，|A1Q⋅BC|A1Q||BC||=0．
当0