江苏省南通市2024-2025学年高一上学期11月期中数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市2024-2025学年高一上学期11月期中数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】故，
故.
故选：B
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A：若，，满足，但是，故A错误；
对于B：若，，满足，但是，故B错误；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：因为，则，所以，
所以，即，故D正确.
故选：D
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，故，
若函数有意义，则，解得.
则函数的定义域为.
故选：B
5. 若，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】，，，，
.
故选：B
6. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，，当且仅当取等号，
所以当时，的取值范围是，
又因为函数为定义在上的奇函数，
所以当时，，则，
即当时，的取值范围是，
故选：B.
7. 若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】命题“，不等式恒成立”是真命题，
则，
令，则，则，可得，
因为函数、在区间1,2上均为减函数，
所以，函数在区间1,2上为减函数，
故当时，，所以，.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
8. 存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（ ）
A. 的最大值是2B. 的最小值是2
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】B
【解析】由题意可知，中有2个负数，1个正数，其中是负数，，
则，
所以，则，且，
所以，即，所以的最小值为2.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则.
【答案】AC
【解析】对于A：，
，
所以，故A正确；
对于B：，
，
所以，故B错误；
对于C：
，故C正确；
对于D：因为，
所以，，
所以，故D错误.
故选：AC
10. 已知函数满足，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】ABC
【解析】依题意，
令，得，故A正确.
令，则，
则，所以，
令，所以，所以奇函数，
即为奇函数，故C正确，D错误.
令，由可得，
所以，故B正确.
故选：ABC.
11. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为4B. 的最小值为9
C. 的最小值为10D. 的最小值为128
【答案】BD
【解析】因为，
所以，解得（负值已舍去），所以，
当且仅当，即时，的最小值取到，故A错误；
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确；
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误；
因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算______________.
【答案】或
【解析】原式.
故答案为：
13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，在区间上单调递减，故成立，
当时，要使函数在区间上单调递减，
所以，解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 如图，边长为4的菱形ABCD的两条对角线交于点，且.动点从点出发，沿着菱形四条边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到点距离的平方为，则函数在上单调递______________（填“增”或“减”）；若关于的方程恰有4个不等实根，则实数的取值范围是______________.

【答案】①. 减 ②. 或
【解析】由点作，垂足为点，
由题意可知，是等边三角形，边长为4，所以，
点由点到点的过程中，OP变短，所以在上单调递减；
点到各边的距离都是，如图，垂足分别为，
，，

所以，
画出函数的图象，

当时，取得最小值3，时的函数值为4，时的函数值为12，与y=fx有4个交点时，或.
故答案为：减；或.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：（1）因为，
当时，，则或，
所以，或.
（2）因为是的充分不必要条件，则，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）若，求的值;
（2）若，求函数的最小值.
解：（1）因为，所以，
两边平方可得，所以
（2）因为，
所以，
令，则，当且仅当时，
即时，等号成立，即，
所以，对称轴为，
所以函数在上单调递增，
即时，，
所以函数的最小值为.
17. 已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且.
（1）若函数.
①求证：函数是偶函数;
②求函数的单调区间;
（2）求不等式的解集.
（1）①证明：∵是定义在上的奇函数，∴.
∴，
∴函数是偶函数.
②解：设且，则，
由，得，
∴，即，
所以函数在0,+∞上是减函数；
又∵函数是偶函数，∴在上是增函数；
所以的单调减区间是0,+∞；单调增区间是.
（2）解：∵，偶函数 ∴，
由，故可转化为或，
当时，由得，即，
因为在0,+∞上是减函数，∴；
当时，由得，即，
因为在上是增函数，∴.
即不等式的解集为.
18. 已知函数
（1）若是上的增函数，求实数的取值范围;
（2）若，方程有三个实数解.
①写出实数和的取值范围;
②求证:.
（1）解：因为，
又是上的增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）解：当时，
当时，所以在0,2上单调递减，在上单调递增，，令，即，解得；
当时，则在上单调递增，且，；则的图象如下所示：
①解：因为方程有三个实数解，即y=fx与有三个交点，
由图可知，且，，
所以；
②证明：由①可知，
所以，
所以
令，
因为，所以，则，
所以，则，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，所以，
所以
19. 已知二次函数满足：有两个实数根.
（1）若，求实数的取值范围;
（2）若，记在时的最小值为，求的表达式;
（3）若与都是整数且，求的值.
解：（1）由已知有两个不等实根，
所以，解得或；
（2）由，可知，
又，故，显然，
所以，
当时，的图象是开口向上的抛物线，
当时，，，
当时，，
当时，的图象是开口向下的抛物线，
时，，，
时，，，
所以；
（3）由题意，，
由得，又方程的解都是整数，则或2，
，即时，，，
，即时，，．
综上，时，，，时，，．