2022-2023学年宁夏中卫市中宁县高二上学期质量测查（期末）数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年宁夏中卫市中宁县高二上学期质量测查（期末）数学（理）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简集合A，进而求补集即可.
【详解】∵，又，
∴，
故选C
【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.
2．若命题p：，，则为
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】本题首先可以判断出命题是特称命题，然后根据特称命题的否定是全称命题，分别对量词和结论进行否定即可得出结果．
【详解】命题是特称命题，则命题的否定是：，，故选C．
【点睛】本题考查命题的否定，主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，特称命题的否定是全称命题，需要对量词和结论进行否定，是简单题．
3．在三角形ABC中，“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：由题意得，当，可得，而在三角形中，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件．
【解析】充分不必要条件的判定．
4．在等差数列中， ，则
A．8B．12C．16D．20
【答案】A
【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，，则，所以.故选A.
5．已知满足约束条件，则最大值为
A．6B．4C．3D．1
【答案】B
【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，结合可行域即可求出结果.
【详解】由约束条件作出可行域如下：
又可化为，所以的最大值，即是直线在轴截距的最大值，由可行域易知，直线过点时，截距最大，即最大值为.
故选B
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需先作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.
6．若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线的离心率，结合的关系求出的关系，代入双曲线的渐近线方程即可求解.
【详解】因为双曲线的离心率为，即，
所以，又，
所以，因为双曲线的渐近线方程为，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故选：C
【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.
7．已知是面积为的等边三角形，点在线段的延长线上，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】先利用三角形的面积公式求出的边长，再利用正弦定理进行求解.
【详解】设的边长为，
则，解得，
在中，，，，
由正弦定理得，
即，解得．
故选：C.
8．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．35B．33C．16D．29
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，结合题意和等比数列的性质可知，可得出，再根据等差中项的定义，可求出，进而可求出，最后由，即可求出的结果.
【详解】解：设等比数列的公比为，
由等比数列的性质，知，所以，
由与的等差中项为，知，所以，
所以，则.
故选：C.
9．已知点在曲线上移动，则点与点的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设AP中点为
选C
点睛：涉及中点弦问题往往利用点差法.即得到中点坐标与弦斜率之间一个关系式，通过这个关系式可得根据中点坐标求弦所在直线斜率，也可利用这个关系式得弦中点轨迹或解有关范围问题.
10．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得．
【详解】解：∵不等式有解，
∴，
∵，，且，
∴，
当且仅当，即，时取“＝”，
∴，故，即，
解得或，
∴实数 m 的取值范围是．
故选：B．
11．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，是直线与椭圆的另一个交点，且，的面积为，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解析】先记椭圆的左右焦点为，，根据题中条件，得到，为等边三角形，，设，在中，由余弦定理求出，再由的面积，即可列出等式求出结果.
【详解】记椭圆的左右焦点为，，
因为点为椭圆的上顶点，所以，
又，所以为等边三角形，，
设，则，
在中，，，，
由余弦定理可得，
则，整理得，解得，
又的面积为，
所以，
解得.
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆的性质求出；求解时，由，根据题中条件，利用椭圆定义和余弦定理，列出方程，求出，即可根据三角形面积求解.
12．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件等式，结合余弦定理可得，进而有，将其代入公式，应用二次函数的性质求最值即可.
【详解】由题设，结合余弦定理知：，即，而，
∴，，
∴当时，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：应用余弦定理的边角关系，代入已知等式整理得，再由面积公式求最值.
二、填空题
13．若恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】验证时的情况，当时利用二次函数的性质求解即可.
【详解】当时，恒成立，符合；
当时，，解得，
综合得实数的取值范围是．
故答案为：.
14．如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝__m．
【答案】500
【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，从而可求得MN．
【详解】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m．
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得，，因此AM＝1000m．
在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，
由＝sin30°得MN＝500m；
∴山高MN＝500．
故答案为：500．
15．已知双曲线的中心为坐标原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的标准方程为________________．
【答案】
【分析】本题是有关弦的中点问题，利用点差法求得的值，结合可求得的值，进而求得双曲线方程.
【详解】设,代入双曲线方程并作差得，即，，结合，解得，故双曲线方程为.
【点睛】本小题考查点差法解有关弦的中点的问题，利用点差法，将题目的已知代入，可求得的值，由此求得双曲线的标准方程.属于基础题.
16．已知数列满足，，数列满足，若数列的前项和为，则使得成立的的最小值为______.
【答案】10
【分析】由得，得是等比数列，对求和得，计算使成立的n最小值.
【详解】因为，所以，得，即，
又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
， ，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
令，
因为，所以最小为10.
故答案为：10.
三、解答题
17．已知不等式的解集为.
（1）求，的值；
（2）求函数的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）由题意可得1和是方程的两根，代入得到方程组，解方程可得所求值；
（2）由（1）可得，运用基本不等式可得所求最小值．
【详解】解：（1）∵不等式的解集为
∴1和是方程的两根，∴解得，.
（2）由（1）得，
当且仅当，即时，函数有最小值8.
【点睛】本题考查二次不等式和方程的关系，基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
18．已知的内角的对边分别是，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解.
（2）根据，利用余弦定理，得到，再根据的面积为，得到，两式联立求解.
【详解】（1）由，得，
由正弦定理，得，
由于，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理，得，
又，所以.①
又的面积为，即，即，即.②
由①②得，
则，
得.所以的周长为.
【点睛】本题主要考查等正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，从而求出与的值即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，则，从而利用分组求和即可求出．
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以；
（2）解：由（1）可知，则，
所以．
20．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C相交于不同的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由焦点坐标可得，从而可求出，进而可求出抛物线的方程
（2）设与相交于，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再结合焦半径公式列方程可求出的值
【详解】解：（1）因为抛物线C：的焦点，
所以，得，
所以抛物线方程为
（2）设与相交于，
由得：，
，
∵直线过焦点
∴
∴=1∴
21．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（万元）的专项补贴（补贴资金不超过20万元），并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），A公司生产t（万件）防护服还需要投入成本60+3x+50t（万元）.
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府贴x万元计入公司收入）；
（2）政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？并求出利润的最大值.
【答案】（1）；（2）当政府补贴11万元时，A公司的防护服利润达到最大，最大值为68万.
【解析】（1）由题目等量关系运算即可得解；
（2）转化条件为，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，该公司的收入为万元，投入为，
所以该公司的利润
；
（2）由（1）得
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当政府补贴11万元时，A公司的防护服利润达到最大，最大值为68万.
22．已知椭圆的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与交于、两点，点在椭圆上，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，其定值为.
【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意得出关于 、、的方程组，求出和的值，即可得出椭圆 的标准方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线轴时，可得出直线的方程为，可求出四边形 的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、 ，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程得出 ，计算出以及原点到直线的距离，通过化简计算可得出四边形 的面积为，进而得证.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意可得 ，解得，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或.
若直线的方程为，联立，可得 ，
此时，，四边形的面积为 ，
同理，当直线的方程为时，可求得四边形的面积也为；
当直线的斜率存在时，设直线方程是，
代人到，得 ，
， ，，
，
，
点到直线的距离，
由，得 ，，
点在椭圆上，所以有，整理得 ，
由题意知，四边形为平行四边形，
平行四边形的面积为.
故四边形的面积是定值，其定值为.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积的计算，考查定值问题，一般利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.