甘肃省2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数学试题（解析版）

这是一份甘肃省2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的斜率为，
又倾斜角，故直线倾斜角为.
故选：B.
2. 已知数列是等差数列，公差为2，且满足，则等于（ ）
A. 34B. 30C. 28D. 22
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，公差为2，且满足，
所以，
故选：B.
3. 已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】抛物线经过点，则，所以，
所以抛物线准线方程为.
故选：C.
4. 已知点为圆上两点，若，且，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，设圆心到直线距离为，则，
所以，所以．
故选：C．
5. 已知某校教学楼共有四层，每层有8个班级，先从四个楼层中选取两层，然后从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查，则不同的选取方式共有（ ）
A. 种B. 种
C. 种D. 种
【答案】A
【解析】先从四个楼层中选取两层，方案有种，
从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查，
方案有种，
综上，不同的选取方式有种.
故选：A.
6. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为（ ）
A. B. C. 2或D. 2
【答案】C
【解析】由题设可得渐近线的方程为，
因为两条渐近线的夹角为，故直线的倾斜角为或，
故或，故或，
故选：C.
7. 已知数列为等比数列，，若的前7项和为，则数列的前7项和为（ ）
A. B. C. D. 60
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，前项和为
若，则，，不符合题意，所以，
所以由得到，，
将代入得，
因为为等比数列，所以，则，
所以数列也为等比数列，首项为，
所以数列的前7项和为，
故选：D.
8. 设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】C
【解析】由椭圆性质可得，
又∵，∴，
又，
所以，，
由余弦定理可得，
即，∴，C选项正确；
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】AC
【解析】当直线平行时，
则有，解得或，经检验此时两直线平行，
所以直线平行的充要条件为或，
由充分不必要条件的定义可知A，C满足题意.
故选：AC．
10. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ）
A. 的展开式中，一共有6项
B. 在的展开式中，所有二项式系数的和为64
C. 若，则
D. 二项式，若，则
【答案】ABC
【解析】对于A，二项式展开式一共有6项，A正确；
对于B，在的展开式中，所有二项式系数的和为，故B正确；
对于C，令，可得，
令，可得，所以，故C正确；
对于D，二项式，
则，
令，得，则，故D不正确.
故选：ABC.
11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为为坐标原点，则（ ）
A. 若直线的斜率为1，则B. 以为直径的圆与轴相切
C. D.
【答案】BD
【解析】抛物线的焦点，准线，点，
设，
对于A，直线，由消去得，，
，A错误；
对于B，，线段中点横坐标，
弦中点到轴的距离为，因此以为直径的圆与轴相切，B正确；
对于C，当点在轴下方时，，而，C错误；
对于D，由，得，同理，
则，因此，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列中，，当时，，则的通项公式为_________．
【答案】
【解析】当时，，故，
其中，故为首项为2，公比为2的等比数列，
故，所以.
13. 在的展开式中，各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大，则的系数为__________．
【答案】40
【解析】依题意可得，得，
因为的通项公式为，
令，即，则的系数为.
14. 已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则__________．
【答案】
【解析】设,
则，两式作差可得：，
因为为线段的中点，所以，
则，
所以直线的方程为，
联立，则，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作．
（1）共有多少种不同的情况；
（2）求甲做工作的概率．
解：（1）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作，
故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，
共有种情况．
（2）甲做工作的情况有2种：
①甲只做工作，共有种情况；
②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，
所以甲做工作的情况有种，
故所求概率为．
16. 已知圆，圆．
（1）若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值；
（2）若圆与直线相交于两点，且，求的值．
解：（1）由题意，得，解得．
，，
两式相减得．
又两圆公共弦所在直线的方程为，即，
所以，即，满足，故；
（2）圆化为标准方程：．设圆半径为．
在中，取的中点，连接，如图．
因为，所以．
又因为为圆心到直线的距离，所以，
所以，解得．
17. 已知数列的首项为，且满足，数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项．
（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
（1）证明：由，得，否则，
依次，这与题设矛盾，
而，于是，
所以数列是首项，公差为2的等差数列，
故，所以．
（2）解：由（1）得．
设数列的公比为，则，且．
因为是和的等差中项，所以，
即，解得或（舍去）或（舍去），
所以，所以，
所以
．
所以．
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求斜率的取值范围；
（3）当时，求两点坐标．
解：（1）由题意得，
又，所以，所以的方程为．
（2）过点且斜率为的直线的方程为，
联立与，得，
，解得或，
故斜率的取值范围是．
（3）时，，
联立得，，解得或，
当时，，当时，，
故或．
19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上任意一点关于直线的对称点为，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与双曲线分别交于点，求证：为定值．
（1）解：由题知，即，又为的右支上一点，
则，
所以，
故当最小时，最小．
而，
故，
即，故，故双曲线方程为．
（2）证明：设，则．
因为点在双曲线上，所以，得，
即．
双曲线的渐近线方程为，
则过点且与渐近线平行的直线．
设直线与双曲线交于点，由可得，
即，
解得，
即，
同理可得，
所以
，
所以为定值．