中考数学第一轮专项复习专题第32讲 锐角三角函数及其应用（讲义）（解析版）

这是一份中考数学第一轮专项复习专题第32讲 锐角三角函数及其应用（讲义）（解析版），共99页。学案主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157897903" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc157927021" 考点一 锐角三角函数
\l "_Tc157927022" 题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
\l "_Tc157927023" 题型02 求角的正弦值
\l "_Tc157927024" 题型03 求角的余弦值
\l "_Tc157927025" 题型04 求角的正切值
\l "_Tc157927026" 题型05 已知正弦值求边长
\l "_Tc157927027" 题型06 已知余弦值求边长
\l "_Tc157927028" 题型07 已知正切值求边长
\l "_Tc157927029" 题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
\l "_Tc157927030" 题型09 求特殊角的三角函数值
\l "_Tc157927031" 题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
\l "_Tc157927032" 题型11 用计算器求锐角三角函数值
\l "_Tc157927033" 题型12 已知角度比较三角函数值大小
\l "_Tc157927034" 题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围
\l "_Tc157927035" 题型14 利用同角三角函数关系求解
\l "_Tc157927036" 题型15 求证同角三角函数关系式
\l "_Tc157927037" 题型16 互余两角三角函数关系
\l "_Tc157927038" 考点二 解直角三角形
\l "_Tc157927039" 题型01 构造直角三角形解直角三角形
\l "_Tc157927040" 题型02 网格中解直角三角形
\l "_Tc157927041" 题型03 在坐标系中解直角三角形
\l "_Tc157927042" 题型04 解直角三角形的相关计算
\l "_Tc157927043" 题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
\l "_Tc157927044" 考点三 解直角三角形的应用
\l "_Tc157927045" 题型01 仰角、俯角问题
\l "_Tc157927046" 类型一 利用水平距离测量物体高度
\l "_Tc157927047" 类型二 测量底部可以到达的物体高度
\l "_Tc157927048" 类型三 测量底部不可到达的物体的高度
\l "_Tc157927049" 题型02 方位角问题
\l "_Tc157927050" 题型03 坡度坡比问题
\l "_Tc157927051" 题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合
考点一 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2. 正弦、余弦、正切的概念
3. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：tanA=sinAcsA ，sin2A+cs2A=1
2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cs B, sin B = cs A, tanA•tanB=1
4. 特殊角的三角函数值
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
5. 锐角三角函数的性质
1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cs A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cs∠2，tan∠1.
2. tan A乘方时,一般写成tannA,它与tanAn含义相同(正弦、余弦相同).
3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关.
4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（ ）．
A．ADABB．BDADC．BDBCD．DCBC
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A．ADAB=csA，不符合题意；
B．BDAD=tanA，不符合题意；
C．BDBC=cs∠DBC=csA，不符合题意；
D．DCBC=sin∠DBC=sinA，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．
【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=35，则（ ）
A．csA＝35B．sinB＝35C．tanA＝43D．tanB＝43
【答案】D
【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．
【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，
则csA＝ACAB＝4a5a=45，故A错误；
sinB＝BCAB＝4a5a=45，故B错误；
tanA＝BCAC=3a4a=34，故C错误；
tanB＝ACBC=4k3k＝43，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．
【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则csA的值是（ ）
A．35B．34C．45D．53434
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义得到BCAB=35，设BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到AC=4k，即可求出csA的值．
【详解】解：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，
∴BCAB=35，
设BC=3k，AB=5k，
由勾股定理得：AC=AB2-BC2=4k，
∴csA=ACAB=4k5k=45，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（ ）

A．sinα的值越大，梯子越陡
B．csα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
csα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．b＝a•sinAB．b＝a•tanAC．c＝a•sinAD．a＝c•csB
【答案】D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则
sinA＝ac，则a=c·sinA，故A选项错误、C选项错误；
tanA＝ab，则b＝atanA，故B选项错误；
csB＝ac，则a＝ccsB，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定
【答案】A
【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．
【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变，
∴tanA的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c
∴sinB=bc，即b=csinB，则A选项不成立，B选项成立
tanB=ba，即b=atanB，则C、D选项均不成立
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
题型02 求角的正弦值
【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
A．45B．35C．34D．43
【答案】A
【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=OA2+AP2=10，最后利用三角函数定义计算即可．
【详解】解：连接OA
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
AP=BP∠APD=∠BPDPD=PD，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=OA2+AP2=10，
∴sin∠ADB=APOP=810=45．
故选A．

【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
A．21313B．31313C．23D．32
【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC，
∴在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=22+32=13
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ACAB=213=21313，
∴sin∠ADC=21313，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
A．355B．175C．35D．45
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=5，
∴sin∠ACB=ADAC=45，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
题型03 求角的余弦值
【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cs∠BAC的值是（ ）
A．55B．105C．255D．45
【答案】C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=5,BC=10,AB=5，
设AD=x，则BD=5-x，
在Rt△ACD中，DC2=AC2-AD2,
在Rt△BCD中，DC2=BC2-BD2,
∴10-(5-x)2=5-x2，
解得x=2，
∴cs∠BAC=ADAC=25=255，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cs∠ABC的值为（ ）
A．45B．35C．43D．34
【答案】A
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cs∠ABC的值．
【详解】解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD=CD2-AC2=8，
∴cs∠ADC=ADCD=810=45，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cs∠ABC的值为45，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cs∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cs∠BAC的值为 ．
【答案】22
【分析】根据AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，得到AC2+BC2=AB2，推出△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，推出cs∠BAC=ACAB=1020=2×525=22．
【详解】如图，∵AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴cs∠BAC=ACAB=1020=2×525=22
故答案为：22
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义．
【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cs∠CDA的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1010
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝62+22＝210，
∴cs∠ECB＝BCEC＝2210＝1010，
∴cs∠CDA＝cs∠ECB＝1010，
∴cs∠CDA的值为1010．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
题型04 求角的正切值
【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
【答案】33
【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝12∠ABC＝30°，即可得出结论．
【详解】连接BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝12∠ABC＝30°，
∴tan∠ABE＝tan30°＝33，
故答案为：33．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．
【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若CE=OA,sin∠BAC=45，求tan∠CEO的值．
【答案】(1)见解析；
(2)3
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；
（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出tan∠CEO的值．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO,
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥BC于F，
∵CE=OA,sin∠BAC=45，
∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，
∴BE=BC-CE=1.5x，
∵∠C=90°，
∴AC=AB2-BC2=3x，
∵OA=OB，OF∥AC，
∴BFCF=OBOA=1，
∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF=12AC=1.5x，
∴tan∠CEO=OFEF=．
【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．
【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
【答案】(1)12
(2)CH=5
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G=90°，证出△ADK∼△FGK，得出比例式求出GK=34DG=32，即可得出结果；
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=12AF，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，
∴△ADK∼△FGK，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴GK=34DG=32，
∴tan∠GFK=GKFG=323=12；
（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=12AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=AM2+FM2=42+22=25，
∴CH=12AF=5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．
题型05 已知正弦值求边长
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，则AB的长是（ ）
A．5003B．5035C．60D．80
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB=AC2-BC2=80，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．60sin50°C．60cs50°D．60tan50°
【答案】A
【分析】先求出∠B=180°-88°-42°=50°，再用三角函数定义，求出AD=AB×sinB=60×sin50°，即可得出答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠A=88°，∠C=42°，
∴∠B=180°-88°-42°=50°，
在Rt△ABD中，AD=AB×sinB=60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点C，则k的值等于（ ）
A．10B．24C．48D．50
【答案】C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8)，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，
∴OC=OA=10，
∵sin∠COA=45=CEOC．
∴CE=8，
∴OE=CO2-CE2=6
∴点C坐标(6,8)
∵若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点C，
∴k=6×8=48
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
题型06 已知余弦值求边长
【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,csA=32,AC=43，则AB长为（ ）
A．4B．8C．83D．12
【答案】B
【分析】根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：∵ ∠C=90°,csA=32,AC=43，
∴AB=ACcsA=4332=8，
故选B．
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且csα＝45，则线段CE的最大值为 ．
【答案】6.4
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣110x2+85x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.
【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴csB＝csα＝BGAB＝45，
∴BG＝45×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴ABCD=BDCE，即1016-x=xCE，
∴CE＝﹣110x2+85x
＝﹣110（x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.

【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.
【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且csα=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
【答案】（1）300；（2）11722；（3）661313
【分析】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，先根据现有条件求出AK，然后即可求出平行四边形ABCD的面积；
（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，先证明ΔPEA≅ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF，DE=12，再证明ΔGBF~ΔECF，得出BFCF=BGCE即可求出BG；
（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、AA'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，根据已知推出点F在与直线AA'夹角为α2且经过点A'的直线上运动，设直线A'F与CD交于点Q，直线AA'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作CH⊥A'Q于H，当点F与H重合时，CF取得最小值，易得RtΔA'MQ~RtΔCHQ，然后证明ΔQCR为等腰三角形，求出CR=22，MD=5
CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=413，根据RtΔA'MQ~RtΔCHQ得出A'QCQ=A'MCH即可求出答案．
【详解】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，
∵AB//CD，
∴∠ADK=∠DAB，
∵cs∠DAB=513，AD=13，
∴DK=AD⋅cs∠ADK=5，
∴AK=AD2-DK2=12，
∴平行四边形ABCD的面积为AB×AK=25×12=300；
（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，
∴∠ADP=∠P，
∵∠DAB=α，DC//AB，
∴∠ADP=∠DAB=α，
∴∠P=α，
又∠AEF=∠C=α，EA=EF，
由∠PEA+∠CEF=180°-α，
∠EFC+∠CEF=180°-α，
∴∠PEA=∠EFC，
∴ΔPEA≅ΔCFE，
∴CE=AP=13，PE=CF，
∴DE=CD-CE=25-13=12，
由（1）得AK=12，
∴在RtΔAKD中，KD=5，
∴PD=10，
∴PE=PD+DE=10+12=22=CF，
∴BF=CF-CB=22-13=9，
∵BG//CE，
∴ΔGBF~ΔECF，
∴BFCF=BGCE，
∴922=BG13，
∴BG=11722；
（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、AA'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，
∵EA=EA'=EF，
∴点A'、F在⊙E上，
∵∠AEF=α，
∴∠AA'F=α2，
∴点F在与直线AA'夹角为α2且经过点A'的直线上运动，
设直线A'F与CD交于点Q，直线AA'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作CH⊥A'Q于H，
当点F与H重合时，CF取得最小值，
易得RtΔA'MQ~RtΔCHQ，
∴∠QCH=∠MA'Q=α2，
又∠DCB=α，
∴∠BCH=α2=∠QCH，
∴ΔQCR为等腰三角形，
∴CQ=CR，
由（2）得CR=22，MD=5，
∴CQ=22，
又CM=CD+DM=25+5=30，
∴MQ=CM-CQ=30-22=8，
∴在RtΔA'MQ中，A'Q=A'M2+MQ2=122+82=413，
由RtΔA'MQ~RtΔCHQ，
∴A'QCQ=A'MCH，
∴41322=12CH，
∴CH=661313，
即CF的长度的最小值是661313．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质是解题的关键．
题型07 已知正切值求边长
【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．25+34B．25+1C．25+32D．25＋2
【答案】B
【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
∵∠ABC=90°，tan∠BAC=12，
∴tan∠DAP=tan∠BAC=12，
∴DPAD=12，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴APAC=ADAB，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，APAC=ADAB，
∴△ADB∽△APC，
∴ADAP=DBPC，
∵AP=AD2+DP2=22+12=5，
∴PC=AP⋅DBAD=5×42=25，
∴PD+PC=1+25，PC-PD=25-1，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD