2024年中考数学复习讲义 第32讲 锐角三角函数及其应用(含答案)

这是一份2024年中考数学复习讲义 第32讲 锐角三角函数及其应用(含答案)，共99页。学案主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \n \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
考点一 锐角三角函数
题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
题型02 求角的正弦值
题型03 求角的余弦值
题型04 求角的正切值
题型05 已知正弦值求边长
题型06 已知余弦值求边长
题型07 已知正切值求边长
题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
题型09 求特殊角的三角函数值
题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
题型11 用计算器求锐角三角函数值
题型12 已知角度比较三角函数值大小
题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围
题型14 利用同角三角函数关系求解
题型15 求证同角三角函数关系式
题型16 互余两角三角函数关系
考点二 解直角三角形
题型01 构造直角三角形解直角三角形
题型02 网格中解直角三角形
题型03 在坐标系中解直角三角形
题型04 解直角三角形的相关计算
题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
考点三 解直角三角形的应用
题型01 仰角、俯角问题
类型一 利用水平距离测量物体高度
类型二 测量底部可以到达的物体高度
类型三 测量底部不可到达的物体的高度
题型02 方位角问题
题型03 坡度坡比问题
题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合
考点一 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2. 正弦、余弦、正切的概念
3. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：tanA=sinAcsA ，sin2A+cs2A=1
2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cs B, sin B = cs A, tanA•tanB=1
4. 特殊角的三角函数值
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
5. 锐角三角函数的性质
1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A.sin A.cs A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cs∠2，tan∠1.
2. tan A乘方时,一般写成tannA,它与tanAn含义相同(正弦、余弦相同).
3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关.
4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（ ）．
A．ADABB．BDADC．BDBCD．DCBC
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A．ADAB=csA，不符合题意；
B．BDAD=tanA，不符合题意；
C．BDBC=cs∠DBC=csA，不符合题意；
D．DCBC=sin∠DBC=sinA，符合题意；
故选： D．
【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．
【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=35，则（ ）
A．csA＝35B．sinB＝35C．tanA＝43D．tanB＝43
【答案】D
【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．
【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，
则csA＝ACAB＝4a5a=45，故A错误；
sinB＝BCAB＝4a5a=45，故B错误；
tanA＝BCAC=3a4a=34，故C错误；
tanB＝ACBC=4k3k＝43，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．
【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则csA的值是（ ）
A．35B．34C．45D．53434
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义得到BCAB=35，设BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到AC=4k，即可求出csA的值．
【详解】解：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，
∴BCAB=35，
设BC=3k，AB=5k，
由勾股定理得：AC=AB2-BC2=4k，
∴csA=ACAB=4k5k=45，
故选：C．
【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（ ）

A．sinα的值越大，梯子越陡
B．csα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
csα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A.∠B.∠C的对边分别是A.B.c，下列结论正确的是（ ）
A．b＝a•sinAB．b＝a•tanAC．c＝a•sinAD．a＝c•csB
【答案】D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则
sinA＝ac，则a=c·sinA，故A选项错误、C选项错误；
tanA＝ab，则b＝atanA，故B选项错误；
csB＝ac，则a＝ccsB，故D选项正确；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定
【答案】A
【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．
【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变，
∴tanA的值不变．
故选：A．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为A.B.c
∴sinB=bc，即b=csinB，则A选项不成立，B选项成立
tanB=ba，即b=atanB，则C.D选项均不成立
故选：B．
【点拨】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
题型02 求角的正弦值
【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
A．45B．35C．34D．43
【答案】A
【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=OA2+AP2=10，最后利用三角函数定义计算即可．
【详解】解：连接OA
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A.B，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
AP=BP∠APD=∠BPDPD=PD，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=OA2+AP2=10，
∴sin∠ADB=APOP=810=45．
故选A．

【点拨】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C.D，则sin∠ADC的值为（ ）
A．21313B．31313C．23D．32
【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC，
∴在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=22+32=13
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ACAB=213=21313，
∴sin∠ADC=21313，
故选A．
【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
A．355B．175C．35D．45
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=5，
∴sin∠ACB=ADAC=45，
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
题型03 求角的余弦值
【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cs∠BAC的值是（ ）
A．55B．105C．255D．45
【答案】C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=5,BC=10,AB=5，
设AD=x，则BD=5-x，
在Rt△ACD中，DC2=AC2-AD2,
在Rt△BCD中，DC2=BC2-BD2,
∴10-(5-x)2=5-x2，
解得x=2，
∴cs∠BAC=ADAC=25=255，
故选：C．
【点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cs∠ABC的值为（ ）
A．45B．35C．43D．34
【答案】A
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cs∠ABC的值．
【详解】解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD=CD2-AC2=8，
∴cs∠ADC=ADCD=810=45，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cs∠ABC的值为45，
故选：A．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cs∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cs∠BAC的值为 ．
【答案】22
【分析】根据AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，得到AC2+BC2=AB2，推出△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，推出cs∠BAC=ACAB=1020=2×525=22．
【详解】如图，∵AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴cs∠BAC=ACAB=1020=2×525=22
故答案为：22
【点拨】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义．
【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cs∠CDA的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1010
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝62+22＝210，
∴cs∠ECB＝BCEC＝2210＝1010，
∴cs∠CDA＝cs∠ECB＝1010，
∴cs∠CDA的值为1010．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
题型04 求角的正切值
【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
【答案】33
【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝12∠ABC＝30°，即可得出结论．
【详解】连接BC.AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝12∠ABC＝30°，
∴tan∠ABE＝tan30°＝33，
故答案为：33．
【点拨】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．
【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若CE=OA,sin∠BAC=45，求tan∠CEO的值．
【答案】(1)见解析；
(2)3
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；
（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出tan∠CEO的值．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO,
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥BC于F，
∵CE=OA,sin∠BAC=45，
∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，
∴BE=BC-CE=1.5x，
∵∠C=90°，
∴AC=AB2-BC2=3x，
∵OA=OB，OF∥AC，
∴BFCF=OBOA=1，
∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，
∴OF为△ABC的中位线，
∴OF=12AC=1.5x，
∴tan∠CEO=OFEF=．
【点拨】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．
【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
【答案】(1)12
(2)CH=5
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G=90°，证出△ADK∼△FGK，得出比例式求出GK=34DG=32，即可得出结果；
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC.CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=12AF，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，
∴△ADK∼△FGK，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴GK=34DG=32，
∴tan∠GFK=GKFG=323=12；
（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC.CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=12AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=AM2+FM2=42+22=25，
∴CH=12AF=5．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．
题型05 已知正弦值求边长
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，则AB的长是（ ）
A．5003B．5035C．60D．80
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB=AC2-BC2=80，
故选D．
【点拨】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50°B．60sin50°C．60cs50°D．60tan50°
【答案】A
【分析】先求出∠B=180°-88°-42°=50°，再用三角函数定义，求出AD=AB×sinB=60×sin50°，即可得出答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠A=88°，∠C=42°，
∴∠B=180°-88°-42°=50°，
在Rt△ABD中，AD=AB×sinB=60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点C，则k的值等于（ ）
A．10B．24C．48D．50
【答案】C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8)，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，
∴OC=OA=10，
∵sin∠COA=45=CEOC．
∴CE=8，
∴OE=CO2-CE2=6
∴点C坐标(6,8)
∵若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点C，
∴k=6×8=48
故选C．
【点拨】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
题型06 已知余弦值求边长
【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,csA=32,AC=43，则AB长为（ ）
A．4B．8C．83D．12
【答案】B
【分析】根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：∵ ∠C=90°,csA=32,AC=43，
∴AB=ACcsA=4332=8，
故选B．
【点拨】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B.C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且csα＝45，则线段CE的最大值为 ．
【答案】6.4
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣110x2+85x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.
【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴csB＝csα＝BGAB＝45，
∴BG＝45×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴ABCD=BDCE，即1016-x=xCE，
∴CE＝﹣110x2+85x
＝﹣110（x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.

【点拨】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.
【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且csα=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
【答案】（1）300；（2）11722；（3）
【分析】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，先根据现有条件求出AK，然后即可求出平行四边形ABCD的面积；
（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，先证明ΔPEA≅ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF，DE=12，再证明ΔGBF~ΔECF，得出BFCF=BGCE即可求出BG；
（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、AA'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，根据已知推出点F在与直线AA'夹角为α2且经过点A'的直线上运动，设直线A'F与CD交于点Q，直线AA'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作CH⊥A'Q于H，当点F与H重合时，CF取得最小值，易得RtΔA'MQ~RtΔCHQ，然后证明ΔQCR为等腰三角形，求出CR=22，MD=5
CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=413，根据RtΔA'MQ~RtΔCHQ得出A'QCQ=A'MCH即可求出答案．
【详解】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，
∵AB//CD，
∴∠ADK=∠DAB，
∵cs∠DAB=513，AD=13，
∴DK=AD⋅cs∠ADK=5，
∴AK=AD2-DK2=12，
∴平行四边形ABCD的面积为AB×AK=25×12=300；
（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，
∴∠ADP=∠P，
∵∠DAB=α，DC//AB，
∴∠ADP=∠DAB=α，
∴∠P=α，
又∠AEF=∠C=α，EA=EF，
由∠PEA+∠CEF=180°-α，
∠EFC+∠CEF=180°-α，
∴∠PEA=∠EFC，
∴ΔPEA≅ΔCFE，
∴CE=AP=13，PE=CF，
∴DE=CD-CE=25-13=12，
由（1）得AK=12，
∴在RtΔAKD中，KD=5，
∴PD=10，
∴PE=PD+DE=10+12=22=CF，
∴BF=CF-CB=22-13=9，
∵BG//CE，
∴ΔGBF~ΔECF，
∴BFCF=BGCE，
∴922=BG13，
∴BG=11722；
（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、AA'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，
∵EA=EA'=EF，
∴点A'、F在⊙E上，
∵∠AEF=α，
∴∠AA'F=α2，
∴点F在与直线AA'夹角为α2且经过点A'的直线上运动，
设直线A'F与CD交于点Q，直线AA'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作CH⊥A'Q于H，
当点F与H重合时，CF取得最小值，
易得RtΔA'MQ~RtΔCHQ，
∴∠QCH=∠MA'Q=α2，
又∠DCB=α，
∴∠BCH=α2=∠QCH，
∴ΔQCR为等腰三角形，
∴CQ=CR，
由（2）得CR=22，MD=5，
∴CQ=22，
又CM=CD+DM=25+5=30，
∴MQ=CM-CQ=30-22=8，
∴在RtΔA'MQ中，A'Q=A'M2+MQ2=122+82=413，
由RtΔA'MQ~RtΔCHQ，
∴A'QCQ=A'MCH，
∴41322=12CH，
∴CH=661313，
即CF的长度的最小值是661313．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质是解题的关键．
题型07 已知正切值求边长
【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．25+34B．25+1C．25+32D．25＋2
【答案】B
【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
∵∠ABC=90°，tan∠BAC=12，
∴tan∠DAP=tan∠BAC=12，
∴DPAD=12，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴APAC=ADAB，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，APAC=ADAB，
∴△ADB∽△APC，
∴ADAP=DBPC，
∵AP=AD2+DP2=22+12=5，
∴PC=AP⋅DBAD=5×42=25，
∴PD+PC=1+25，PC-PD=25-1，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD∴25-1当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为25+1，
故选：B．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键．
【变式7-1】（2023·山东日照·校考三模）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，则AD的长是 ．
【答案】22a
【分析】如图，连接AB，设AD,BC交于点E，根据题意可得AB是⊙O的直径，∠ADB=90°，设AC=m，证明△CED∽△AEB，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出AE,ED，根据Rt△ABC，勾股定理求得m=5a，根据AD=AE+ED即可求解．
【详解】解：如图，连接AB，设AD,BC交于点E，
∵∠ACB＝90°
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ tan∠CBD＝13，
∴DEDB=13，
在Rt△DEB中，BE=DE2+DB2=10DE ，
∵CD=CD，
∴∠CBD=∠CAD，
∴ tan∠CAD=13，
∴CEAC=13
设AC=m
则CE=13m，
∵ AC＝BC，
∴EB=23m，
∴DE=1010BE=21030m，
Rt△ACE中，AE=AC2+CE2=m2+13m2=103m，
∴AD=AE+ED=21030m+103m=2510m，
∵DB=DB，
∴∠ECD=∠EAB,
又∠CED=∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴CDAB=CEAE=13m10m3=110，
∵CD=a，
∴AB=10a，
∵AC=BC=m，
∴AB=2m，
∴2m=10a，
解得m=5a，
∴AD=2510m=2510×5a=22a，
故答案为：22a．
【点拨】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2023·江西萍乡·统考二模）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA=25，tanA=12，反比例函数y=kx的图像经过OA的中点B，与AC交于点D．
(1)求k值；
(2)求△OBD的面积．
【答案】(1)2
(2)32
【分析】（1）在RtΔACO中，∠ACO=90°，tanA=12，再结合勾股定理求出OC=2，AC=4，得到A2,4，再利用中点坐标公式即可得出B1,2，求出k值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据AD∥y轴，选择AD为底，利用S△OBD=S△OAD-S△BAD代值求解即可得出面积．
【详解】（1）解：根据题意可得，
在RtΔACO中，∠ACO=90°，tanA=12，
∴AC=2OC，
∴OC2+(2OC)2=(25)2，
∴OC=2，AC=4，
∴A2,4，
∵ OA的中点是B，
∴B1,2，
∴k=2；
（2）解：当x=2时，y=1，
∴D2,1，
∴AD=4-1=3，
∴ S△OBD=S△OAD-S△BAD =12×3×2-12×3×2-1=32．
【点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的k，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
【变式7-3】（2021·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，已知，在△ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）4.5
【分析】（1）作OF⊥AC于F，利用角平分线的性质证明OF=OB，即可证明AC是⊙O的切线．
（2）利用圆周角定理证明△CBE∽△CDB，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：作OF⊥AC于F，
∵⊙O与BC相切于点B，∴OB⊥BC，
∵CO平分∠ACB，
∴OF=OB ，
又OB是半径，OF⊥AC于F，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵DE是直径，
∴∠DBE=90°，
又tan∠BDE=2，∴BEDB=2，
由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC ，
∴∠OBC=90° ，
∴∠DBC=∠OBE，
∴∠E=∠OBE，
∴∠E=∠DBC，
又 ∠C=∠C，
∴△CBE∽△CDB，
∴BEDB=BCCD=CECB=2，
∵BC=6，
∴6CD=CE6=2，
∴CD=3，CE=12
∴DE=9，
∵OD=4.5，即⊙O的半径是4.5．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
【例8】（2022·贵州·模拟预测）计算8+|-2|×cs45°的结果，正确的是（ ）
A．2B．32C．22+3D．22+2
【答案】B
【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．
【详解】解：8+|-2|×cs45°
＝
＝22+2
＝32．
故选：B
【点拨】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式8-1】（2023·湖南株洲·校考一模）计算：12-1+12-4sin60°．
【答案】2
【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
【详解】解：12-1+12-4sin60°
=2+23-4×32
=2+23-23
=2
【点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
【变式8-2】（2023·山东济南·模拟预测）计算：12+3.14-π0-3tan60°+1-3+-2-2．
【答案】14
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解：12+(3.14-π)0-3tan60°+1-3+(-2)-2
23+1-33+3-1+14
=14．
【点拨】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
【变式8-3】（2023·山东聊城·统考一模）先化简，再求值：a+1-3a-1÷a2+4a+4a-1，其中a=tan45°+(12)-1-π0
【答案】a-2a+2，0
【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
【详解】解：a+1-3a-1÷a2+4a+4a-1
=a2-1a-1-3a-1÷a+22a-1
=a2-4a-1÷a+22a-1
=a+2a-2a-1⋅a-1a+22
=a-2a+2；
∵a=tan45°+(12)-1-π0=1+2-1=2，
∴原式=a-2a+2=2-22+2=0．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型09 求特殊角的三角函数值
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【详解】解：在实数2，x0（x≠0）=1，cs30°=32，38=2中，有理数是38=2，x0=1，
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1-tan60°|的值为（ ）
A．1-3B．0C．3-1D．1-33
【答案】C
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】|1-tan60°|=|1-3|=3-1
故选C．
【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【例10】（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanB-3+2csA-32=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】先根据非负数的性质求出tanB与csA的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的值即可．
【详解】解：∵tanB-3+2csA-32＝0，
∴tanB-3=0，2csA-32=0，
∴tanB=3，2csA-3=0，
∴∠B=60°，csA=32，∠A=30°，
在△ABC中，∠C=180°-60°-30°=90°，且∠A≠∠B，
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点拨】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．
【变式10-1】（2021·广东广州·广州大学附属中学校考二模）在△ABC中，sinA=cs90°-C=22，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】B
【分析】计算出∠A和∠C的角度来即可确定．
【详解】解：∵sinA=cs（90°-C）=22，
∴∠A=45°，90°-∠C=45°，
即∠A=45°，∠C=45°，
∴∠B=90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
【点拨】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
【变式10-2】（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若sinA-32+12-csB2=0，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是 三角形．
【答案】等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断△ABC的形状．
【详解】解：∵sinA-32+12-csB2=0，
∴sinA-32=0，12-csB2=0，
∴sinA=32，csB=12，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．
题型11 用计算器求锐角三角函数值
【例11】（2022·山东烟台·统考一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18＇，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据计算器按键顺序计算即可．
【详解】解：根据计算器的按键顺序可知，
正确的按键顺序为D选项，
故选：D．
【点拨】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题的关键．
【变式11-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）
（参考数据表）
【答案】不得小于12度
【分析】根据题意可得DF＝15AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
DF＝15AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴ABBC＝12，DFCD＝12，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ABEB＝＝15，
查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
题型12 已知角度比较三角函数值大小
【例12】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
A．0C．33【答案】A
【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．
【详解】解：∵0°＜25°＜30°
∴0∴0故选A．
【点拨】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
【变式12-1】（2020·江苏扬州·统考一模）比较大小：sin81∘ tan47°(填“<”“=”或“＞”)
【答案】<
【分析】根据三角函数的性质得sin81°<1，tan47°>tan45°=1，即可比较它们的大小关系．
【详解】∵sin81°<1，tan47°>tan45°=1
∴sin81∘故答案为：<．
【点拨】本题考查了三角函数值大小比较的问题，掌握三角函数的性质是解题的关键．
【变式12-2】（2020·内蒙古·统考二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为 ，写出sin70º、cs40º、cs50º的大小关系 ．
【答案】 csA=ACAB sin70º＞cs40 º＞cs50 º
【分析】根据余弦的定义即可确定答案；根据sin70°=cs20°且正弦随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小即可确定大小关系．
【详解】解：∵直角三角形ABC中，角C为直角
∴BC为斜边，AC为直角边且为∠A的一边
∴余弦的定义为csA=ACAB；
∵sin70°=cs20°且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增大而减小
∴sin70º==cs20 º＞cs40º，cs40 º＞cs50 º
∴sin70º＞cs40 º＞cs50 º．
故答案为csA=ACAB，sin70º＞cs40 º＞cs50 º．
【点拨】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数
、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键．
题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围
【例13】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间
【答案】D
【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.
【详解】解：∵tan60°=3∴∠A>60°，
∴60°<∠A<90°.
故选：D.
【点拨】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°=33,tan45°=1,tan60°=3是解题的关键.
【变式13-1】（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝13，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°
【答案】A
【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.
【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝13＜12＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．
【变式13-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cs∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内．
A．0°＜∠1＜30°B．30°＜∠1＜45°C．45°＜∠1＜60°D．60°＜∠1＜90°
【答案】B
【分析】cs45∘=22≈0.7，cs30∘=32≈0.87，由此判断得到正确答案．
【详解】解：∵cs45∘=22≈0.7，cs30∘=32≈0.87，cs∠1=0.8
∴cs45∘∴30∘<∠1<45∘
故选：B
【点拨】本题考查根据锐角三角函数的数值，判断角度的取值范围，牢记特殊三角函数值是关键．
【变式13-3】（2021·安徽安庆·统考一模）若锐角α满足csα＜22且tanα＜3，则α的范围是( )
A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°
【答案】B
【详解】∵α是锐角，
∴csα>0，
∵csα<22，
∴0又∵cs90°=0,cs45°=22，
∴45°<α<90°；
∵α是锐角，
∴tanα>0，
∵tanα<3，
∴0又∵tan0°=0,tan60°=3，
0<α<60°；
故45°<α<60°.
故选B.
【点拨】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键
题型14 利用同角三角函数关系求解
【例14】（2021·江苏扬州·统考一模）已知∠α为锐角，且sinα=513，则csα= ．
【答案】1213
【分析】根据sinα=513，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出csα的值．
【详解】∵sinα2+csα2=1，sinα=513，
∴csα=±1213，
又∵∠α为锐角，
∴csα=1213.
故答案为：1213.
【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
【变式14-1】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知CF=4，sin∠EFC=35，则BF= ．

【答案】6
【分析】由折叠可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，进而得到AF=BC=BF+CF=BF+4，由同角的余角相等可得∠EFC=∠BAF，则sin∠EFC=sin∠BAF=35，在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAF=BFBF+4=35，以此即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°，
根据折叠的性质可得，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，
∴AF=BC=BF+CF=BF+4，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
∴sin∠EFC=sin∠BAF=35，
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAF=35，即BFBF+4=35，
解得：BF=6．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理论证得出∠EFC=∠BAF，进而利用锐角三角函数解决问题．
题型15 求证同角三角函数关系式
【例15】（2021·北京·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB=3，tan∠DBC=34时，求CM的长．
【答案】（1）见解析；（2）32
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC=BD，即可得出结论；
（2）过点M作MG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出MG=MC．由三角函数定义得出BC=4，sin∠ACB=sin∠DBC．，设CM=MG=x，则BM=4-x，在Rt△BMG中，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO．
∵AO=BO，
∴AC=BD．
∴▱ABCD为矩形．
（2）过点M作MG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90∘，
∴CM⊥CD，
∵DM为∠BDC的角平分线，
∴MG=CM．
∵OB=OC，
∴∠ACB=∠DBC．
∵AB=3，tan∠DBC=34，
∴tan∠ACB=tan∠DBC=34=ABBC．
∴BC=4．
∴AC=BD=BC2+CD2=32+42=5，sin∠ACB=sin∠DBC=ABAC=35．
设CM=MG=x，则BM=4-x，
在△BMG中，∠BGM=90°，
∴sin∠DBC=x4-x=35．
解得：x=32，
∴CM=32．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
【变式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）求证：若α为锐角，则sin2α+cs2α=1．要求：
(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段AC=m，过点C作CM⊥AC，作∠NAC=α，射线AN，交CM于点B，△ABC即为所求；
（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
【详解】（1）解：如图，Rt△ABC即为所求．
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵sinα=BCAB，csα=ACAB，
∴sin2α+cs2α=BC2AB2+AC2AB2=BC2+AC2AB2=AB2AB2=1．
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
【变式15-2】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245=222+222=1．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，csα之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)成立，见解析
(3)tanα=sinαcsα
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
（2）根据正弦函数的定义列出sinα=ac，sinβ=bc，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△ABC中，sinα=ac，csα=bc，再变形代入整理即可得出结论．
【详解】（1）解：∵sin30°=12，sin60°=32，
∴sin2α+sin2β=122+322=1，结论成立；
（2）解：成立．理由如下：
在Rt△ABC中，sinα=ac，sinβ=bc且a2+b2=c2，
∴sin2α+sin2β=ac2+bc2=a2+b2c2=c2c2=1，故结论成立；
（3）解：tanα=sinαcsα，理由如下：
在Rt△ABC中，sinα=ac，csα=bc，tanα=ab，
∴tanα=acbc=sinαcsα，
∴tanα=sinαcsα．
【点拨】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键．
题型16 互余两角三角函数关系
【例16】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简sin28°-cs28°2等于（ ）
A．sin28°-cs28°B．0
C．cs28°-sin28°D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出sin28°-cs28°，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解．
【详解】解：sin28°-cs28°2 = sin28°-cs28°，
∵cs28°=sin52°，sin28°∴原式=cs28°-sin28°，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
【变式16-1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）已知sin42°≈23，则cs48°的值约为（ ）
A．53B．13C．32D．23
【答案】D
【分析】根据42°的正弦值和48°余弦值都是42°的对边斜边的值，因此值相等．
【详解】sin42°≈23
∴cs48°=cs(90°-42°)=sin42°≈23
故选：D
【点拨】此题考查锐角三角形函数值，解题关键是分清锐角三角函数中的对边，邻边和斜边分别是哪条边．
【变式16-2】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67，则csB= ．
【答案】67
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：∵∠C=90°，sinA=67，
∴sinA=BCAB=67，
∴csB=BCAB=67．
故答案为：67．

【点拨】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=csB，csA=sinB是解题关键．
【变式16-3】（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=csC；④sinα=csβ.其中正确的结论有 .
【答案】①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，csC=ACBC，
∴sinB=csC，故③正确；
∵sinα=sinB，cs∠β=csC，
∴sinα=cs∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【点拨】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
考点二 解直角三角形
解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a，b，c，角：∠A，∠B
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
sin A= ∠A所对的边斜边 = ac ，sin B= ∠B所对的边斜边 = bc
cs A= ∠A所邻的边斜边 = bc ，csB= ∠B所邻的边斜边= ac
tan A= ∠A所对的边邻边 = ab ，tanB= ∠B所对的边邻边= ba
解直角三角形常见类型及方法：
1. 在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
2. 已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.
题型01 构造直角三角形解直角三角形
【例1】（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（ ）
A．32B．35C．37D．62
【答案】D
【分析】先解直角△ABC求出AD，再在直角△ABD中应用勾股定理即可求出AB．
【详解】解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3，
∵直角△ADC中，tan∠C=2，
∴AD=CD⋅tan∠C=3×2=6，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=AD2+BD2=62+62=62．
故选D．
【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．
【变式1-1】（2021·山东聊城·统考一模）如图，在△ABC中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）

A．2B．52C．5D．2
【答案】B
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由sin∠B=AHAB=13，且AB=3可知，AH=1，
由tan∠C=AHCH=2，且AH=1可知，CH=12，
∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=AH2+CH2=12+(12)2=52．
故选：B．
【点拨】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
【变式1-2】（2022·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A．3 +1B．2C．2D．6-2
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结果．
【详解】如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
在Rt△ABD中，BD=AD=AB⋅sinB=6×22=3，
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACB=30°，CD=AD⋅tan30°=3×33=1，
∴BC=3+1，
在Rt△BEF中，设BF=EF=x，
在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠BCE=60°，
CF=EF⋅tan60°=3x，
由CF+BF=BC得，
3x+x=3+1，
∴x=1，
∴EC=2EF=2，
故答案为：B．
【点拨】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
【变式1-3】（2022·浙江杭州·校考一模）在△ABC中，AC=42，BC=6，∠C为锐角且tanC=1．
(1)求△ABC的面积；
(2)求AB的值；
(3)求cs∠ABC的值．
【答案】(1)12(2)25(3)55
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB；
（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值．
【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠C为锐角且tanC=1，
∴∠C=45°，
∴∠DAC=90°-∠C=45°，
∴∠DAC=∠C=45°，
∴AD=DC，
在Rt△ACD，
∵sinC=ADAC，AC=42，
∴DC=AD=AC·sinC=42×22=4，
∵BC=6，
∴S△ABC=12BC·AD=12×6×4=12．
∴△ABC的面积为12．
（2）∵DC=AD=4，BC=6，
∴BD=BC-DC=6-4=2，
在Rt△ABD中，
AB=AD2+BD2=42+22=25．
∴AB的值为25．
（3）在Rt△ABD中，AB=25，BD=2，
∴cs∠ABC=BDAB=225=55．
∴cs∠ABC的值为55．
【点拨】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．
【变式1-4】（2022·河南安阳·模拟预测）公交总站(点A)与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站点离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号)．
【答案】(36-32)km
【分析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，易得△CDA是等腰直角三角形，由勾股定理可求得AD=CD的长，再由含30°角直角三角形的性质求得BC，再由勾股定理可求得BD，从而求得AB．
【详解】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，如图，
∵∠B=30°，∠D=90°，
∴∠DCB=90°-30°=60°，
∵∠ACB=15°，
∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=45°，
∴∠DCA=∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△CDA是等腰直角三角形，
由勾股定理得AD=CD=22AC=32(km)，
∵∠B=30°，∠D=90°，
∴BC=2CD=62(km)，
由勾股定理得BD=BC2-CD2=72-18=36(km)，
∴AB=BD-AD=(36-32)km．
【点拨】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键．
题型02 网格中解直角三角形
【例2】（2022·江苏常州·校考二模）已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则tanα+β= ．
【答案】233/
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=3a，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：连接DE，如图所示：

在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，
则AE=2a，DE=2×sin60°•a=3a，
∴tan（α+β）=AEDE=2a3a =233．
故答案为：233．
【点拨】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
【变式2-1】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin∠ADC2的值是 ．
【答案】55
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得∠B=12∠ADC，由此可得sin∠ADC2=sinB．
【详解】解：根据题意由勾股定理得：
AC=22+12=5,AB=32+42=5,BC=42+22=25,
∴AB2=AC2+BC2，
∴AC⊥BC，∠C=90°，
结合网格可知D分别为AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠B+∠DCB=∠ADC，
∴∠B=12∠ADC,
∴sin∠ADC2=sinB=ACAB=55 ，
故答案为：55 ．
【点拨】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出∠B=12∠ADC．
【变式2-2】（2022·四川广元·校考一模）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 ．
【答案】3
【分析】作M、N两点，连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而 可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的 逆定理证明△CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图所示，作M、N点，连接CM、DN，
由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：CN2=12+12=2，DN2=32+32=18，CD2=22+42=20，
∴CN2+DN2=CD2，
∴△CDN是直角三角形，
∴tan∠DCN=DNCN=322=3，
∴∠APD的正切值为：3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式2-3】（2021·北京延庆·统考一模）如图所示，∠MON是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠MON的值是 ．
【答案】1
【分析】利用等腰直角三角形的性质即可解问题即可．
【详解】解：如图，连接AB．
∵AB=12+32=10，OA=12+32=10，OB=22+42=25，
∴AB2+OA2=OB2，且AB=OA，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠MON=45°，
tan∠MON=tan45°=1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
题型03 在坐标系中解直角三角形
【例3】（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点P1,2，那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα= ．
【答案】2
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，由P点的坐标得PA、OA的长，根据正切函数的定义得结论．
【详解】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图：
∵点PA⊥x，
∴PA=2，OA=1，
∴tanα=PAOA=21=2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．
【变式3-1】（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=5，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα=12，则点C的坐标为（ ）
A．-2,4B．-43,23C．-23,43D．-1,2
【答案】C
【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥x轴，垂足为E，根据已知易证ΔCBO∽ΔCOA，从而可得∠CAO=∠COB，然后在RtΔAOB中求出AO与BO的长，最后证明ΔBAO∽ΔCOE，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足为E，
∵OC2=BC⋅AC，
∴ OCAC=BCOC，
∵∠ACO=∠BCO，
∴ΔCBO∽ΔCOA，
∴∠CAO=∠COB，
∵tanα=12，
∴tan∠CAO=BOAO=12，
∴AO=2BO，
在RtΔABO中，AO2+BO2=AB2，
∴4BO2+BO2=5，
∴BO=1，
∴AO=2BO=2，
在RtΔCDO中，tanα=CDDO=12，
∴CD=12DO=12CE，
∵∠CEO=∠BOA=90°，∠BAO=∠BAO，
∴ΔBAO∽ΔCOE，
∴ OBCE=AOOE，
∴ 1CE=22+12CE，
∴CE=43，
∴CD=23，
∴D(-23，43)，
故选：C．
【点拨】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3-2】（2021·山东枣庄·校联考一模）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（ ）
A．35B．25C．34D．45
【答案】A
【分析】首先连接BC，可得出点B，A，C共线，再根据勾股定理求出BC，即可求sin∠OBC=OCBC，最后根据∠CDO=∠OBC得出答案．
【详解】如图，连接BC，
∵∠BOC=90°，
∴BC是⊙A的直径，
∴点B，A，C三点共线．
∵B（-4，0），C（0，3），
∴OB=4，OC=3，
∴BC=OC2+OB2=32+42=5，
∴sin∠OBC=OCBC=35．
∵∠CDO=∠OBC，
∴sin∠CDO=sin∠OBC=35．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数等，连接BC得出直角三角形是解题的关键．
【变式3-3】（2022·山东菏泽·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x．则点C到x轴的距离等于（ ）
A．acsx+bsinxB．acsx+bcsxC．asinx+bcsxD．asinx+bsinx
【答案】A
【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．
在Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC=b，∠OAD=x，
∴OD=ADsin∠OAD=bsinx，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=x，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=a，∠CDE=x，
∴DE=CDcs∠CDE=acsx，
∴点C到x轴的距离=EO=DE+OD=acsx+bsinx，
故选：A．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
题型04 解直角三角形的相关计算
【例4】（2023·上海奉贤·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
【答案】233
【分析】先求解AB=3,AD=33, 再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：由题意可得：DE=1,DC=15-12=3,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,
∴AB=BCtan60°=33=3,
同理：AD=DEtan60°=13=33,
∴BD=AB-AD=3-33=233,
故答案为：233
【点拨】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．
【变式4-1】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm．
(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm．
【答案】 16
【分析】（1）当E.O、F三点共线时，E.F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可．
（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，可得CH⊥AB，AH=BH，利用已知先求出CE=125cm，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由sin∠ECO=OECO=AHAAC，求出AH，从而求出AB=2AH的长．
【详解】（1）当E.O、F三点共线时，E.F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=EF=2cm，
∴以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm．
（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，
∴CH⊥AB，AH=BH，
∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，
∴CE=125cm，
在Rt△OEF中，CO=OE2+CE2=135，
∵sin∠ECO=OECO=AHAAC，AH=3013，
∴AB=2AH=6013．
故答案为16，6013．
【点拨】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．
【变式4-2】（2022·上海金山·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB=12，则tan∠DEC的值是 ．
【答案】23
【分析】过点C作CF⊥BD于点F，易证ΔABE≅ΔCDF(AAS)，从而可求出AE=CF，BE=FD，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2a，
在ΔABE与ΔCDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴ΔABE≅ΔCDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ABAD＝12，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝5a，
∵S△ABD＝12BD•AE＝12AB•AD，
∴AE＝CF＝255a，
∴BE＝FD＝55a，
∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝355a，
∴tan∠DEC＝CFEF＝23，
故答案为：23．
【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式4-3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为 mm．
【答案】2033
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【详解】解：如图，
设正六边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cs∠BAC=AMAB，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=12AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB=AMcs30°=1032=2033（mm）．
故答案为：2033．
【点拨】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解是关键．
题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
【例5】（2022·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC.BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A．34B．32C．3D．23
【答案】C
【分析】过B.D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=32DO，BH=32BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=32DO，
同理可得：BH=32BO，
S四边形ABCD=12×AC×DG+12×AC×BH
=12×AC×32×（DO+BO）
=3，
故选：C．
【点拨】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
【变式5-1】（2020·山西·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，AB=BC=2, ∠ABC=60°，过点D作DE//AC，DE=12AC，连接AE，则△ADE的周长为 ．
【答案】3+7
【分析】通过添加辅助线构造出直角三角形，再根据等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及平行线的性质求得DE=1，∠EDF=60°，然后利用勾股定理、锐角三角函数、线段的和差以及三角形周长公式即可求得答案．
【详解】解：过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F，如图：
∴
∵AB=BC=2，∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=BC=2，∠ACB=∠ABC=60°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC=2
∴∠CAD=∠ACB=60°
∵DE//AC
∴∠EDF=∠CAD=60°
∵DE=12AC
∴DE=1
∴在Rt△DEF中，
sin∠EDF=sin60°=EFDE=EF1=32，cs∠EDF=cs60°=DFDE=DF1=12
∴EF=32，DF=12
∴AF=AD+DF=52
∴在Rt△AEF中，AE=AF2+EF2=7
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=3+7．
故答案是：3+7
【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数、线段的和差、三角形的周长公式等，适当的添加辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
【变式5-2】（2021·江西赣州·统考一模）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB=BE=ED=CD=14cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直径过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：3≈1.732，sin16.07°≈0.2768，cs73.93°≈0.2768，tan15.47°≈0.2768）
【答案】（1）夹角是60°；（2）最大值是106.07°
【分析】（1）由题意得：DF=12CD=7cm，EF⊥CD，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得EF=14×32=73，根据cs∠ABH=BHAB≈0.2768，根据得到结论．
【详解】解：（1）由题意得：DF=12CD=7cm，EF⊥CD，
∴csD=DFDE=12，
∴∠D=60°．
答：平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．
（2）如图，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，
∴HF=30，
∵EF=14×32=73，
∴BH=30-BE-EF=16-73≈3.876，
∴cs∠ABH=BHAB≈0.2768，
∴∠ABH≈73.93°，
∴∠ABE=106.07°．
答：台灯平稳放置时∠ABE的最大值是106.07°．
【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．
【变式5-3】（2022·山东烟台·统考二模）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，ΔBCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按压柄ΔBCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'//EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D'的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】（1）65π；（2）点D到直线EF的距离约为7.3cm．
【分析】（1）根据题目中的条件，首先由∠DBE=∠BEF=108°，BD'//EF，求出∠D'BE，再继续求出∠DBD'，点D转动到点D'的路径长，是以BD为半径，B为圆心的圆的周长的一部分，根据∠DBD'占360°的比例来求出路径；
（2）求点D到直线EF的距离，实际上是过点D作EF的垂线交EF于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．
【详解】解：（1）如图，
∵BD'//EF，∠BEF=108°，
∴∠D'BE=180°-∠BEF=72°．
∵∠DBE=108°，
∴∠DBD'=∠DBE-∠D'BE=108°-72°=36°．
又∵BD=6，
∴点D转动到点D'的路径长=36×π×6180=65πcm．
（2）如图，
过点D作DG⊥BD'于点G，过点E作EH⊥BD'于点H．
在Rt△DGC中，sin∠DBD'=DGBD
∴ DG=BD⋅sin36°≈3.54．
在Rt△BHE中，
∴ EH=BE⋅sin72°≈3.80．
∴DG+EH=3.54+3.80=7.34≈7.3．
又∵BD'//EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm．
【点拨】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．
【变式5-4】（2022·山西吕梁·统考一模）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA.AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，2≈1.414）
【答案】点B到桌面得距离为28.78cm
【分析】
点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，在Rt△ABC中，解直角三角形求得AB，继而求得AO=12cm，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，继而即可求解．
【详解】
如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，
由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm，OM=7.5-2=5.5(cm)，
∵∠AOM=160°，
∴∠AOD=20°，
∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠OAD=70°，
∵∠OAB=115°，
∴∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=10cm，
在Rt△ABC中，
cs∠BAC=ACAB，
∴AB=ACcs∠BAC=10cs45°≈14.14cm，
∵AB+AO+OM=31.64cm，
∴AO=12cm，
在Rt△AOD中，
cs∠AOD=ODAO，
∴OD=AO·cs∠AOD=12×cs20°≈11.28cm，
∴点B到桌面的距离为10+11.28+7.5=28.78(cm)．
【点拨】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，熟练掌握并应用三角函数定义．
考点三 解直角三角形的应用
解直角三角形的相关的名词、术语：
1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl.
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
解直角三角形实际应用的一般步骤：
1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
测量物体的高度的常见模型：
1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
2）测量底部可以到达的物体高度
3）测量底部不可到达的物体的高度
题型01 仰角、俯角问题
类型一 利用水平距离测量物体高度
【例1】（2023·陕西·模拟预测）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8(3-3)mB．8(3+3)mC．6(3-3)mD．6(3+3)m
【答案】A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴tanB=CDBD，
即：x16-x=3，
解得x=8(3-3)，
故选A．
【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
【变式1-1】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF=15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）
A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°
【答案】C
【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．
【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=∠DEC-∠F=32°,
∴DE=EF=15,
由题可知，△DCE为直角三角形，
在Rt△DEC中，sin∠DEC=CDDE
即：sin64°=CD15 ,
∴CD=15·sin64°,
故选：C
【点拨】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．
【变式1-2】（2022·云南昆明·云南师范大学实验中学校考三模）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为 米．(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19)
【答案】438
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出BD，根据正切的定义求出AD，结合图形计算即可．
【详解】解：由题意得，∠CAD=50°,∠CBD=45°，
在Rt△CBD中，∠CBD=45°，
∴BD=CD=238（米），
在Rt△CAD中，tan∠CAD=CDAD，
则AD=CDtan50°≈200（米），
则AB=AD+BD≈438（米），
故答案是：438．
【点拨】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求解．
【变式1-3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D.C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：2≈1.41,3≈1.73）
【答案】主塔AB的高度约为78m．
【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出AB=3BD，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABD中，AB=BD⋅tan60°=3BD，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∴3BD=BD+33，
∴BD=333-1=33×3+12m，
∴AB＝BC＝BD+33=33×3+12+33≈78m，
答：主塔AB的高度约为78m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
【变式1-4】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

【答案】13.6米
【分析】如图，连接EF，交BD于点M，用DM的长度分别表示EM和FM的长度，再根据EM和FM的和等于AC的长度，求出DM的长，在用DM和BM的和求出BD的长度即可．
【详解】解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°＝DMFM，
即x28-x≈0.75，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：树BD的高度为13.6米．

【点拨】本题考查解直角三角形的应用—仰角和俯角问题．准确的构造出直角三角形是解题的关键，在解题的过程中可以巧用公共边列方程进行计算．
类型二 测量底部可以到达的物体高度
【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．
【答案】103+1/1+103
【分析】在Rt△ADE中，利用tan∠ADE=AEDE=AE10=3，求出AE=103，再加上1m即为AC的长．
【详解】解：过点D作DE⊥AC交于点E，如图：
则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知：∠ADE=60°，DE=BC=10m，
在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE=AE10=3，
∴AE=103，
∴AE+EC=103+1m，
故答案为：103+1
【点拨】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
【变式2-1】（2020·广东梅州·统考模拟预测）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=153米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）.
【答案】(15+153)
【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，继而证明∠CEB=∠CBE，从而可得CE长，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE=AEBE，求出AE长，继而可得AC长.
【详解】过点B作BE⊥AC，垂足为E，
则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是正方形，
∴BE=CD=153，
∵∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，
∴CE=BE=153，
在Rt△ABE中，tan∠ABE=AEBE，
即33=AE153，
∴AE=15，
∴AC=AE+CE=15+153，
即教学楼AC的高度是(15+153)米，
故答案为(15+153).
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键.
【变式2-2】（2023·广东中山·中山市华侨中学校考一模）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．（参考数据：sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75）
【答案】这栋楼的高度为：52.5米
【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，在Rt△AEB和Rt△AEC中，根据正切的概念分别求出BE.EC，计算即可．
【详解】解：过A作AE⊥BC于E，
∴∠AEB=∠AEC=90°
由依题意得：∠EAB=45°,∠CAE=37°,CD=AE=30，
Rt△AEB和Rt△AEC中，
∵tan∠BAE=BEAE，
∴BE=AE×tan45°=30×1=30，
CE=AE×tan37°≈30×0.75=22.5
∴BC=BE+CE=30+22.5=52.5
∴这栋楼的高度为：52.5米．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2021·河北石家庄·校联考一模）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A,B,C,M在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24,cs14°≈0.97,tan14°≈0.25,3≈1.73）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度AM为203米；（2）大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
【分析】（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．
（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．
【详解】解：（1）∵AB垂直于桥面
在Rt△AMC中，CM=60,∠ACM=30°
∵tan∠ACM=AMCM
∴AM=tan30°⋅CM=60×33=203（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为203米．
（2）在Rt△BMC中，CM=60, ∠BCM=14°
∴MB=tan14°⋅CM=60×0.25≈15
∵AB=AM+MB
∴AB≈15+203≈50（米）
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
【点拨】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
【变式2-4】（2023·浙江金华·统考二模）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【答案】(1)atanα+b米
(2)3.8米
【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα=AECE ，即可得到AB的高度；
（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到EDDF=ABBF ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到ABBH=GCCH 联立得到二元一次方程组解之即可得；
【详解】（1）解：如图
由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt∆ACE中，tanα=AECE ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
（2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴∆ABF~∆EDF，
此时EDDF=ABBF
即23=ABBC+1.8+3①，
∵AB∥GC
∴∆ABH~∆GCH，
此时ABBH=GCCH，
21=ABBC+1 ②
联立①②得
ABBC+4.8=23ABBC+1=2，
解得：AB=3.8BC=0.9
答：灯杆AB的高度为3.8米
【点拨】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．
类型三 测量底部不可到达的物体的高度
【例3】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 m．（sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．

【答案】16
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，则BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，在Rt△ADE中，∠ADE=45°，设AE=x，则DE=x，BC=x，AB=AE+BE=x+6，在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan58°=ABBC=x+6x≈1.60，解得x≈10，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，设AE=x，
根据题意可得：AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AED=∠BED=∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∵从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度CD为6，
∴BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴∠EAD=90°-∠ADE=45°，
∴∠EAD=∠ADE，
∴DE=AE=x，
∴BC=DE=x，
∴AB=AE+BE=x+6，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC
即tan58°=x+6x≈1.60，
∴tan∠ACB=tan58°=ABBC=x+6x≈1.60
解得x≈10，
经检验x≈10是原分式方程的解且符合题意，
∴AB=x+6≈16m．
故答案为：16．

【点拨】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
【变式3-1】（2023·山东东营·校联考一模）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）
【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m
【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解．
【详解】解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG=AGtan45°=x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°=AGDG=xx+8=33，
∴x＝43+4，
经检验：x＝43+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式3-2】（2023·天津·模拟预测）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
【答案】这座山AB的高度约为112m
【分析】在Rt△PAB中，AB=PA·tan∠APB，在Rt△PAC中，AC=PA·tan∠APC，利用AC=AB+BC，即可列出等式求解．
【详解】解：如图，根据题意，BC=32，∠APC=42°，∠APB=35°．
在Rt△PAC中，tan∠APC=ACPA，
∴PA=ACtan∠APC．
在Rt△PAB中，tan∠APB=ABPA，
∴PA=ABtan∠APB．
∵AC=AB+BC，
∴AB+BCtan∠APC=ABtan∠APB．
∴AB=BC⋅tan∠APBtan∠APC-tan∠APB=32×tan35°tan42°-tan35°≈32×(m)．
答：这座山AB的高度约为112m．
【点拨】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．
【变式3-3】（2022·浙江绍兴·校考一模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45° （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据：sin33°≈0.54,cs33°≈0.84,tan33°≈0.65）
【答案】8米
【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB= x+3.5，由tan∠MBF=MFFB=xx+3.5≈0.65，解得 x≈6.5米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米．
【详解】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x,
∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF=MFFB=xx+3.5≈0.65，
∴解得 x≈6.5米，
经检验x≈6.5米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米．
【点拨】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．
【变式3-4】（2023·四川宜宾·校考一模）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角∠POC=∠GON．请说明两个角相等的理由．
(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角∠POQ=60∘，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（3≈1.73，结果精确到0.1米）
(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点E,F （E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角α,β，再测得E,F间的距离m，点O1,O2 到地面的距离O1E,O2F均为1.5米；求PH（用α,β,m表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)10.2米
(3)mtanαtanβtanα-tanβ+1.5米
【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含α、β、m的式子表示出PH．
【详解】（1）证明：∵∠COG=90°,∠AON=90°
∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON
∴∠POC=∠GON
（2）由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，∠OQP=90°,∠POQ=60°，
在Rt△POQ中
tan∠POQ=PQOQ=PQ5=3
∴PQ=53
∴PH=PQ+QH=53+1.5≈10.2（米）
故答案为：10.2米．
（3）由题意得：O1O2=EF=m,O1E=O2F=DH=1.5m，
由图得：tanβ=PDO2D，tanα=PDO1D
O2D=PDtanβ，O1D=PDtanα，
∴O1O2=O2D-O1D
∴m=PDtanβ-PDtanα
∴PD=mtanαtanβtanα-tanβ
∴PH=PD+DH=mtanαtanβtanα-tanβ+1.5米
故答案为：mtanαtanβtanα-tanβ+1.5米
【点拨】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-5】（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cs37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）
【答案】17.4m
【分析】先设出佛像BD的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可．
【详解】解：设佛像BD的高度为xm，
∵∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=x，
∵佛像头部BC为4m，
∴CD=x-4，
∵∠DAC=37.5°，
∴tan∠DAC= CDAD= x-4x≈0.77，
解得：x≈17.4，
经检验，该方程有意义，且符合题意，
因此x≈17.4是该方程的解，
∴佛像BD的高度约为17.4m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
题型02 方位角问题
【例4】（2023·山东泰安·统考一模）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 海里．（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34）
【答案】50
【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴sin∠B=APBP，
∴BP=APsin37°=3035=50，
故答案为：50．
【点拨】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．
【变式4-1】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
(1)求步道DE的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】(1)283米
(2)经过点B到达点D较近
【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形ACHE是矩形，从而得到EH=AC=200米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解；
（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．
【详解】（1）解：过E作BC的垂线，垂足为H，
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，
∴四边形ACHE是矩形，
∴EH=AC=200米，
根据题意得：∠D=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∴DH=EH=200米，
∴DE=2EH=2002≈283（米）；
（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在Rt△ABC中，
∴AB=2AC=400米，
∴经过点B到达点D，总路程为AB+BD=500米，
∴BC=AB2-BC2=2003（米），
∴AE=CH=BC+BD-DH=2003+100-200=2003-100（米），
∴经过点E到达点D，总路程为2002+2003-100≈529>500，
∴经过点B到达点D较近．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
【变式4-2】（2023·湖南岳阳·校联考一模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【答案】96米
【分析】根据题意可得ΔACD是直角三角形，解RtΔACD可求出AC的长，再证明ΔBCD是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴ΔACD是直角三角形，
∴∠BCD=90°-37°=53°，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，CDAC=sin∠A，CD=90米，
∴AC=CDsin∠A≈900.60=150米，
∵∠CDA=90°,∠BDA=53°，
∴∠BDC=90°-53°=37°,
∴∠BCD+∠BDC=37°+53°=90°，
∴∠CBD=90°, 即ΔBCD是直角三角形，
∴BCCD=sin∠BDC，
∴BC=CD·sin∠BDC≈90×0.60=54米，
∴AB=AC-BC=150-54=96米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点拨】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
【变式4-3】（2022·重庆·重庆一中校考一模）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
(1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；（精确到1米）
(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．（参考数据：2≈1.414，7≈2.646）
【答案】(1)265米
(2)会影响，长度为100米，理由见解析
【分析】（1）过点B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分别为D,E，根据方位角求得∠BAC=60°，解Rt△ABE,Rt△BCE，即可求解；
（2）根据题意，设BF=150，勾股定理求得FD，即可求解．
【详解】（1）如图，过点B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分别为D,E，
根据题意可得∠BPA=45°,∠PAC=15°，
∴∠BAE=60°，
Rt△ABE中，AB=200米，
∴BE=AB⋅sin60°=200×32=1003米，AE=AB⋅cs60°=200×12=100米，
∵AC=300米，
∴EC=AC-AE=200米，
Rt△BCE中，BC=EB2+EC2=2002+10032=107≈265米；
（2）会影响，长度为100米，理由如下，
∵AB=200米，
Rt△ABD中，BD=AB⋅sin∠ABC=200×22≈141米，
∵141<150，
∴该条航道被这片浅滩区域影响，
根据题意，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，
设BF=150米，
Rt△BFD中，FD=BF2-BD2=1502-10022=50米，
根据对称性，可得被影响的航道长度为100米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意构造直角三角形是解题的关键．
【变式4-4】（2023·重庆江北·校考一模）如图所示，在一次海上救援演习中，游艇A按计划停泊在搜救艇B的南偏东30°方向上，同时，在搜救艇B的正南方向，与搜救艇B相距40海里处还设置了另一支搜救艇C，此时游艇A在搜救艇C的东北方向上，随着演习正式开始，游艇A按计划向搜救艇B与C同时发出求救信号，并在原地等待救援．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
(1)在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距多少海里？（结果保留根号）
(2)若搜救艇B与C同时收到游艇A的求救信号，它们同时出发实施救援行动，搜救艇B沿BA行驶，搜救艇C西东沿CA行驶，其中搜救艇B的速度为每小时25海里，搜救艇C的速度为每小时16海里，请通过计算判断哪支搜救艇先到达游艇A的所在地？
【答案】(1)403-40海里；
(2)搜救艇B先到达游艇A的所在地．
【分析】（1）利用两个特殊角作出垂直，得到边长关系，设元计算即可；
（2）利用（1）中求得的线段长度和给出的速度，分别求出搜救艇B.C的到达时间，比较大小，时间小的先到达．
【详解】（1）过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=∠ADB=90°，
∵在Rt△ADC中，∠ACD=45°，
∴AD=DC，AC=CD2+AD2=2AD
∵在Rt△ADB中，∠ABD=30°，
∴AB=2AD，BD=AB2-AD2=3AD，
设AD=x，则CD=x，AC=2x，BD=3x，AB=2x，
∵BC=40，由题意得1+3x=40，解得x=203-20，
∴AB=403-40，
答：在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距403-40海里；
（2）由（1）得AB=403-40，AC=206-202，
搜救艇B沿BA行驶，所用时间为t1=AB25=403-125=853-1≈1.168小时；
搜救艇C沿CA行驶，所用时间t2=AC16=206-216=546-2≈1.3小时；
∴t1故搜救艇B比搜救艇C先到达游艇A的所在地．
【点拨】本题考查实际勾股定理解决实际问题，利用特殊角度作垂直得到特殊直角三角形边长关系是解题的关键．
【变式4-5】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，一条自西向东的道路上有两个公交站点，分别是B和C，在B的北偏东60°方向上有另一公交站点A．经测量，A在C的北偏西30°方向上，一辆公交车从B出发，沿BC行驶15003-1500米到达D处，此时D在A的西南方向．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
(1)求CD的距离；（结果保留根号）
(2)该公交车原计划由D→C行驶，其平均速度为400米/分，但当行驶到D点时，接到通知，DC段道路正在维修，需要沿D→A→C绕道行驶，为了尽快到达C站点，绕道时其平均速度提升到500米/分．那么原计划所用时间和实际所用时间相比，哪个更少？请说明理由．（结果保留1位小数）
【答案】(1)1500+5003（米）
(2)原计划所用时间较少，理由见解析
【分析】（1）过点A，作AE⊥BC于点E，根据题意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°，求得BD=3-1AE，进而得出AE=1500，进而得出CD的长；
（2）根据题意，求得AD+AC，然后根据路程除以速度，比较两段时间，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点A，作AE⊥BC于点E，
根据题意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°，
在Rt△ABE中，BE=3AE，
在Rt△ADE中，AE=DE，
在Rt△AEC中，EC=33AE，
∵BD=BE-DE=3AE-AE=3-1AE，
3-1AE=15003-1500，
∴AE=1500，
∴CD=DE+EC=AE+33AE=1+33×1500=1500+5003（米），
（2）解：DA+AC=2AE+233AE，
=15002+233×1500=15002+10003，
D→C行驶所需时间为：1500+5003400=154+543≈5.9分，
沿D→A→C绕道行驶所需时间为：15002+10003500=32+23≈7.7分，
∵7.7>5.9，
∴原计划所用时间较少．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，方位角问题，构造直角三角形是解题的关键．
题型03 坡度坡比问题
【例5】（2022·江苏南通·校考一模）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB,BC长为6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 米 （结果保留根号）
【答案】
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE=BCsin45°=6×22=32，
∴DF=CE=32，
∴AD=DFsin30°=62，
故答案为：62．
【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
【变式5-1】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是 m.
【答案】16
【分析】利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长．
【详解】解：∵迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=8m，
∴BCAC=8AC=13，
解得：AC=83，
则AB=BC2+AC2=16（m）．
故答案为：16．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题的关键．
【变式5-2】（2023·上海静安·统考一模）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，则迎水坡AB的坡角 背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）
【答案】大于
【分析】先根据迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，得出tanA=12.5，tanD=13，根据12.5>13，即可得出∠A>∠D．
【详解】解：∵迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，
∴tanA=12.5，tanD=13，
∵12.5>13，
∴∠A>∠D，
即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角．
故答案为：大于．
【点拨】本题主要考查了三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数正切值与角度的关系．
【变式5-3】（2020·河南周口·统考一模）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1:3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
【答案】斜坡CD的长是8017米．
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长．
【详解】∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为1:3，
∴tan∠ABE=13=33，
∴∠ABE=30°，
∴AE=12AB=100，
∵AC=20，
∴CE=80，
∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1:4，
∴CEDE=14，
即80ED=14，
解得，ED=320，
∴CD=802+3202=8017米，
答：斜坡CD的长是8017米．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合
【例6】（2022·山东济南·校考一模）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1:2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin50°≈0.77；cs50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米
【答案】D
【分析】作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论．
【详解】如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，
∴DE=BF=50,
∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1:2.4，
∴在Rt△CED中，tan∠C=12.4=DECE=512，
∵DE=50，
∴CE=120，
∴BE=BC-CE=150-120=30，
∴DF=30，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴tan∠ADF=tan50°=AFDF=1.19，
将DF=30代入解得：AF=35.7，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故选：D．
【点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．
【变式6-1】（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，csα=45．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
(1)求C，D两点的高度差；
(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）
【答案】(1)9m
(2)24m
【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得CE=CD⋅csα=15×45=12m，再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF=xm，在Rt△ADF中，tan30°=AFDF=xDF=33，解得DF=3x，在Rt△ABC中，AB=x+9m，BC=3x-12m，tan60°=ABBC=x+93x-12=3，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，

∵在Rt△DCE中，csα=45，CD=15m，
∴CE=CD⋅csα=15×45=12m．
∴DE=CD2-CE2=152-122=9m．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF=DE，DF=BE，
设AF=xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF=tan30°=AFDF=xDF=33，
解得DF=3x，
在Rt△ABC中，AB=AF+FB=AF+DE=x+9m，BC=BE-CE=DF-CE=3x-12m，
tan60°=ABBC=x+93x-12=3，
解得x=63+92，
∴AB=63+92+9≈24m．
答：居民楼的高度AB约为24m．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
【变式6-2】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡，坡面BC与水平面的夹角为30°，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°，B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

(1)求坡面BC的长度？（结果保留根号）
(2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她6:00出发，请通过计算说明她在6:20前能否到达山顶C处？（结果精确到0.1）
【答案】(1)BC=2003米
(2)不能；计算过程见解析
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据∠CBE=30°，利用三角函数求出BC=2003米即可；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，根据平行线的性质得出∠BCG=∠CBE=30°，求出∠BCF=15°+30°=45°，得出CF=BF=BC2=20032=1006（米），求出∠DBF=180°-30°-45°-45°=60°，解直角三角形得出BD=BFcs60°=100612=2006（米），求出AB=BD×cs45°=2006×22=2003（米），求出到达山顶的时间为200350+200325≈20.8（分），根据20.8>20，得出结果即可．
【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：

∵B和C的水平距离为300米，
∴BE=300米，
∵∠CBE=30°，
∴BC=BEcs30°=30032=2003（米）；
（2）解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，
∵CG∥AB，
∴∠BCG=∠CBE=30°，
∵∠GCF=15°，
∴∠BCF=15°+30°=45°，
∵∠BFC=90°，
∴△BCF为等腰直角三角形，
∴CF=BF=BC2=20032=1006（米），∠CBF=∠BCF=45°，
∴∠DBF=180°-30°-45°-45°=60°，
∵∠BFD=90°，
∴BD=BFcs60°=100612=2006（米），
∵∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴AB=BD×cs45°=2006×22=2003（米），
∴小晴从A出发去山顶C所用时间为：
200350+200325≈20.8（分），
∵20.8>20，
∴她在6:20前不能到达山顶C处．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
考点要求
新课标要求
命题预测
锐角三角函数
利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，csA，tanA).
知道 30°，45°，60°角的三角函数值.
会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
解直角三角形
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
解直角三角形
的应用
定义
表达式
图形
正弦
sinA=∠A的对边斜边
sinA=ac
余弦
csA=∠A的邻边斜边
csA=bc
正切
tanA=∠A的对边∠A的邻边
tanA=ab
三角函数
30°
45°
60°
22
32
32
22
33
1
3
性质
前提：0°＜∠A＜90°
sin A随∠A的增大而增大
cs A随∠A的增大而减小
tan A随∠A的增大而增大
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边和一直角边
(如c,a)
① ② ③∠B=90°－∠A
两直角边
(如a,b)
① ② ③∠B=90°－∠A
一边和一锐角
斜边和一锐角
（如c，∠A）
①∠B=90°－∠A ②
③
一直角边和一锐角
（如a，∠A）
①∠B=90°－∠A ②
③
另一直角边和一锐角
（如b，∠A）
①∠B=90°－∠A ②
③
模型
需测量数据
数量关系
原理
测量仪高m，
水平距离n，
倾斜角α
tanα=h-mn
h= m+n•tanα
矩形的性质与直角三角形的边角关系
水平距离n，
仰角α，
俯角β
tana=h1n，tanβ=h2n
h=h1+h2=n（tana+tanaβ）