中考数学第一轮专项复习专题第21讲 相似三角形及其应用（讲义）（原卷版）

这是一份中考数学第一轮专项复习专题第21讲 相似三角形及其应用（讲义）（原卷版），共37页。试卷主要包含了考情分析，知识建构等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156510557" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156510558" 考点一 相似三角形的性质与判定
\l "_Tc156510559" 题型01 添加条件使两个三角形相似
\l "_Tc156510560" 题型02 证明两个三角形相似
\l "_Tc156510561" 题型03 确定相似三角形的对数
\l "_Tc156510562" 题型04 在网格中判断相似三角形
\l "_Tc156510563" 题型05 利用相似的性质求解
\l "_Tc156510564" 题型06 利用相似的性质求点的坐标
\l "_Tc156510565" 题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形
\l "_Tc156510566" 题型08 证明三角形的对应线段成比例
\l "_Tc156510567" 题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
\l "_Tc156510568" 题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象
\l "_Tc156510569" 题型11 尺规作图与相似三角形综合应用
\l "_Tc156510570" 题型12 三角板与相似三角形综合应用
\l "_Tc156510571" 题型13 平移与相似三角形综合应用
\l "_Tc156510572" 题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
\l "_Tc156510573" 题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值
\l "_Tc156510574" 题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
\l "_Tc156510575" 题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
\l "_Tc156510576" 考点二 相似三角形的常见模型
\l "_Tc156510577" 题型01 A字模型
\l "_Tc156510578" 题型02 8字模型
\l "_Tc156510579" 题型03 一线三垂直模型
\l "_Tc156510580" 题型04 三角形内接矩形模型
\l "_Tc156510581" 题型05 旋转相似模型
\l "_Tc156510582" 考点三 相似三角形的应用
\l "_Tc156510583" 题型01 测量树高
\l "_Tc156510584" 题型02 测量旗杆高度
\l "_Tc156510585" 题型03 测量楼高问题
\l "_Tc156510586" 题型04 测量河宽问题
\l "_Tc156510587" 题型05 杠杆问题
\l "_Tc156510587" 题型06 实验问题
\l "_Tc156510588" 题型07 九章算经问题
\l "_Tc156510589" 题型08 三角形内接矩形问题
考点一 相似三角形的性质与判定
相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”.
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
1. 判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等.
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
题型01 添加条件使两个三角形相似
【例1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCDB．∠DAC=∠ABCC．ACBC=CDACD．ADAB=CDAC
【变式1-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，要使△ACD∼△ABC，则需要添加的条件是 （填一个即可）

【变式1-2】（2023·江西赣州·统考一模）如图，已知ABAC=ACAD=k，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你添加的条件是 （写出一个即可）．
题型02 证明两个三角形相似
【例2】（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点A、D、C、E在同一直线上，满足∠ABC=90°，BD⊥BE，且CB=CE．求证：△ABD∽△AEB．

【变式2-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B．请用尺规作图法，在BC边上求作一点M，使△CMA∽△CAB．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线.

(1)求证：△APC∽△DPB；
(2)若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长.
【变式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，CE=BF，点Q在线段AB上，且AE2=AQ⋅AB．
求证：
(1)∠CAE=∠BAF；
(2)△ACE∽△AFQ．
题型03 确定相似三角形的对数
【例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72∘.则图中相似三角形共有（ ）

A．2对B．3对C．4对D．5对
【变式3-1】（2022·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情况下，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
题型04 在网格中判断相似三角形
【例4】（2019·浙江·校联考三模）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④
【变式4-1】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是 ．（△ABC除外）
题型05 利用相似的性质求解
【例5】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32，则DE的长度为（ ）

A．1B．43C．2D．83
【变式5-1】（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，△ABC中，DE∥BC，若ADBD=23，那么下列结论中，正确的是（ ）

A． DEBC=23 B． AEAC=23
C． DOCO=23 D． S△DOES△BOC=425
【变式5-2】（2023·云南红河·统考二模）如图，△ADE∼△ACB，DE=5，S△ADE:S四边形BCED=9:16，则BC为（ ）

A．8B．203C．253D．10
【变式5-3】（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若△ABC的周长为12，则△ADE的周长为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【变式5-4】（2023·甘肃武威·统考三模）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，∠E=30°，则∠C的度数是（ ）
A．120°B．60°C．90°D．30°
题型06 利用相似的性质求点的坐标
【例6】（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考二模）如图，已知点A、B的坐标分别是0,1、0,3，点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（ ）
A．2,0B．3,0C．2,0D．1,0
【变式6-1】（2023·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．

【变式6-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AC，点P为抛物线上一点，且在y轴右侧，过点P作PQ⊥x轴于Q，若△PAQ∽△ACO，请求出点P的坐标．
【变式6-3】（2023·江西赣州·统考一模）如图，直线y=ax+2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=kxx>0相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=4，点A的坐标为-4,0．
(1)求一次函数和双曲线的解析式；
(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当△ABO∼△CQH时，求点Q的坐标．
题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形
【例7】（2023·吉林延边·统考一模）如图是由边长为1的小正方形组成的6×8的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，在给定的网络中，只用无刻度直尺，按要求作图，不要求写画法．

(1)在图①中，作△DEF，使△DEF≌△ABC，且点D、E、F均在格点上．
(2)在图②中，作△CGH，使△CGH∽△ABC，点G、H均在格点上，且相似比不为1．
(3)在图③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C．
【变式7-1】（2023·浙江温州·校考三模）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画格点三角形（顶点在格点上），且三角形的各个顶点均不与点A，B，C重合．

(1)在图1中，作一个格点△DEF，使得△DEF与△ABC相似（相似比不等于1），且AB∥DE；
(2)在图2中，作一个格点△PQR，使得△PQR与△ABC全等，且每条对应边都互相垂直．
注：图1，图2在答题卷上．
【变式7-2】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点及线段MN的端点均在格点（网格线的交点）上．
(1)作出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)画出一个格点△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不为1）．
题型08 证明三角形的对应线段成比例
【例8】（2020·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
【变式8-1】（2020·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（ ）
A．2B．32C．5D．95
【变式8-2】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2=EF⋅EC．
求证：
(1)△ABD∼△FCB；
(2)BD⋅BE=AD⋅CE．
题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
【例9】（2020·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上，则a的值为( )
A．53B．35C．53或53D．35或53
【变式9-1】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A'DE，且点A'落在BC边上，若△A'DC恰好与△ABC相似，AD的长为 ．

【变式9-2】（2020·河南平顶山·统考一模）如图所示，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB边上一点，且BM=1，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为点P，当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为 ．
【变式9-3】（2022·辽宁抚顺·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知∠BAC＝30∘，BC=2，若△EMN与△AEF相似，则AF的长为多少？
题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象
【例10】（2023·河北邯郸·校考三模）在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点出发沿BC向C点运动，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．Q1，3是函数图象上的最低点．当△ABP为锐角三角形时x的取值范围为（ ）
A．20)的图像交于点A2,4，与反比例函数y2=2xx