中考数学第一轮专项复习专题第19讲 直角三角形（讲义）（解析版）

这是一份中考数学第一轮专项复习专题第19讲 直角三角形（讲义）（解析版），共86页。学案主要包含了考情分析，知识建构，股修四等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156297146" \l "_Tc156158026" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156297147" 考点一 直角三角形的性质与判定
\l "_Tc156297148" 题型01 利用直角三角形的性质求解
\l "_Tc156297149" 题型02 根据已知条件判定直角三角形
\l "_Tc156297150" 题型03 与直角三角形有关的面积计算
\l "_Tc156297151" 考点二 勾股定理
\l "_Tc156297152" 题型01 利用勾股定理求线段长
\l "_Tc156297153" 题型02 利用勾股定理求面积
\l "_Tc156297154" 题型03 已知两点坐标求两点距离
\l "_Tc156297155" 题型04 判断勾股数问题
\l "_Tc156297156" 题型05 利用勾股定理解决折叠问题
\l "_Tc156297157" 题型06 勾股定理与网格问题
\l "_Tc156297158" 题型07 勾股定理与无理数
\l "_Tc156297159" 题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积
\l "_Tc156297160" 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
\l "_Tc156297161" 题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系
\l "_Tc156297162" 题型11 勾股定理的证明方法
\l "_Tc156297163" 题型12 以弦图为背景的计算题
\l "_Tc156297164" 题型13 利用勾股定理构造图形解决问题
\l "_Tc156297165" 题型14 利用勾股定理解决实际问题
\l "_Tc156297166" 类型一 求梯子滑落高度
\l "_Tc156297167" 类型二 求旗杆高度
\l "_Tc156297168" 类型三 大树折断前高度
\l "_Tc156297169" 类型四 解决水杯中的筷子问题
\l "_Tc156297170" 类型五 选址到两地距离相等
\l "_Tc156297171" 类型六 最短路径
\l "_Tc156297171" 类型七 航海问题
\l "_Tc156297172" 题型15 勾股定理与规律探究问题
\l "_Tc156297173" 考点三 勾股定理逆定理
\l "_Tc156297174" 题型01 图形上与已知两地构成直角三角形的点
\l "_Tc156297175" 题型02 在网格中判定直角三角形
\l "_Tc156297176" 题型03 利用勾股定理逆定理求解
\l "_Tc156297177" 题型04 利用勾股定理解决实际生活问题
考点一 直角三角形的性质与判定
直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
面积公式：S=12ab=12cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
题型01 利用直角三角形的性质求解
【例1】（2023·山东聊城·统考二模）如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2=68°，那么∠1的度数是（ ）

A．68°B．58°C．22°D．32°
【答案】C
【分析】由两直线平行同位角相等得到∠2=∠3，再由AB与CD垂直，利用垂直的定义得到∠BMC为直角，得到∠1与∠3互余，由∠3的度数求出∠1的度数．
【详解】解：∵直线l1∥l2，
∴∠2=∠3=68°，
∵AB⊥CD，
∴∠CMB=90°，
∴∠1＋∠3=90°，又∠3=68°，
∴∠1=22°，
故选：C．

【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，熟知平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【变式1-1】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若CP=4，则AD的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】由题意推出AD=BD，在Rt△BCD中，PC=12BD，即可求出BD的长，进而可求出AD的长．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA=30°，
∴∠DBA=∠A，
∴AD=BD，
∵P点是BD的中点，
∴PC=12BD，
∴BD=2CP=8，
∴AD=8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式1-2】（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②，是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接AC，CF，则∠ACF的度数为 °．

【答案】30
【分析】根据正六边形的性质求出∠B=∠BAF=∠AFE=180°-360°6=120°，AB=CB，求出，∠CAF=90°，根据对称性求出∠AFC=60°，即可得到答案．
【详解】解：在正六边形ABCDEF中，
∠B=∠BAF=∠AFE=180°-360°6=120°，AB=CB，
∴∠BAC=∠ACB=30°，
∴∠CAF=90°，
∵CF是正六边形的一条对称轴，
∴∠AFC=60°，
∴∠ACF=90°-∠AFC=30°，
故答案为：30．
【点睛】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，直角三角形的性质，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．
【变式1-3】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
【答案】33
【分析】根据垂直定义可得∠AEB=90°，利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE=AD=12AB=3，AE=DE=CE=3，从而得到CD=6，最后利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵CD是△ABC的中线，AB=6，
∴DE是△ABE斜边上的中线，
∴ DE=AD=12AB=3，
∵∠DAC=90°，E是CD的中点，
∴AE=DE=CE=3，
∴CD=6，
由勾股定理得AC=CD2-AD2=62-32=33．
故答案为：33．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质．
题型02 根据已知条件判定直角三角形
【例2】（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理，能证明有一个角是90度即可确定△ABC是直角三角形．
【详解】解：由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°，
①当∠A+∠B=∠C时，2∠C=180°，∠C=90°，能确定△ABC是直角三角形；
②当∠A:∠B:∠C=1:5:6时，∠C=61+5+6×180°=90°，能确定△ABC是直角三角形；
③当∠A=90°-∠B时，∠A+∠B=∠C=90°，能确定△ABC是直角三角形；
④当∠A=∠B=∠C时，∠A+∠B=∠C=60°，不能确定△ABC是直角三角形；
综上可知，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个，
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理．
【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2=AC2B．AB2-BC2=AC2C．∠A+∠B=∠CD．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可．
【详解】解：A．∵AB2+BC2=AC2，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵AB2-BC2=AC2
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=53+4+5×180°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于180°是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
【变式2-2】（2020·浙江绍兴·模拟预测）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=5,b=12,c=13B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．∠A=∠B-∠CD．a=1,b=2,c=5
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和以及勾股定理的逆定理分别判断，进而得出结论．
【详解】解：A、52+122=132，故△ABC是直角三角形，不符合题意．
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180°×53+4+5=75°，故不是直角三角形，符合题意；
C、∵∠A=∠B-∠C，∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，故是直角三角形，不符合题意；
D、12+22=（5）2，故是直角三角形，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．
【变式2-3】（2022·河北保定·统考一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，7
【答案】A
【分析】根据三角形三边组成锐角三角形的条件进行判断可得答案．
【详解】解：在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形； 满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形．
A项，因为32 +42 >42 ，所以这三条线段组成锐角三角形，故A项符合题意；
B项，因为32 +4 2 =5 2 ，所以这三条线段组成直角三角形， 故B项不符合题意；
C项，因为3 2 +4 2 0的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，垂足为P，PA交y轴于点C，AO=BO=BP，△ABP的面积是2．则k的值是（ ）

A．1B．32C．3D．2
【答案】A
【分析】连接OP，过点P作PD⊥AB，垂足为D，证明△OPB为等边三角形，设OB=a，利用求出PD=32a，得到点P坐标，根据△ABP的面积是2，列出方程，求出a2=433，再将点P坐标代入y=kxx>0中，可得k值．
【详解】解：如图，连接OP，过点P作PD⊥AB，垂足为D，

∵AO=BO=BP，
∴OP=OB=BP，即△OPB为等边三角形，
∴∠DPB=30°，
设OB=a，则AB=2a，
∴BD=12a，
∴PD=PB2-BD2=32a，即P12a,32a，
∵△ABP的面积是2，
∴12×AB×DP=2，
∴12×2a×32a=2，
解得：a2=433，
∴k=12a×32a=34a2=34×433=1，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数表达式，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，勾股定理，解题的关键是判断出△OPB为等边三角形，得到点P坐标．
【变式3-1】（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，将两个全等的正方形ABCD与APQR重叠放置，若∠BAP=30°，AB=63，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．48B．54C．81-183D．108-363
【答案】D
【分析】设CD与PQ交于G，连接AG，根据正方形的性质得到AB=AP=AD，∠BAD=∠P=∠D=90°，根据全等三角形的性质得到∠PAG=∠DAP=30°，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】设CD与PQ交于G，连接AG，
∵四边形ABCD和正方形APQR是正方形，
∴AB=AP=AD，∠BAD=∠P=∠D=90°，
∵∠BAP=30°，
∴∠PAD=60°，
在Rt△APG与Rt△ADG中，
AP=ADAG=AG，
∴Rt△APG≅ Rt△ADGHL，
∴∠PAG=∠DAG=30°，
∵AD=AP=AB=63，
∴PG=DG=63×33=6，
∴图中阴影部分的面积=正方形APQR的面积-△APG的面积-△ADG的面积=63×63-12×63×6-12×63×6=108-363，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式3-2】（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在▱ABCD中，AD⊥BD,∠A=30°,BD=3，则▱ABCD的面积等于 ．

【答案】93
【分析】根据30°角所对直角边是斜边的一半求出AB=6，根据勾股定理求出AD，计算出△ABD的面积，即可得解；
【详解】∵AD⊥BD，∠A=30°，BD=3，
∴AB=3×2=6，
∴AD=AB2-BD2=36-9=27=33，
∴S△ABD=12×33×3=932，
∴S平行四边形ABCD=2S△ABD=93；
故答案是：93．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，准确根据30°角所对直角边是斜边的一半求解是解题的关键．
【变式3-3】（2023·河北唐山·统考模拟预测）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是12cm2，则AB的长是 cm．
【答案】46
【分析】根据重叠部分的面积求出AC，利用直角三角形30°角的性质求出AB的长．
【详解】解：∵∠ACB=∠AED=90°，
∴CB∥ED，
∴∠AFC=∠D=45°，
∴∠DAC=∠AFC=45°，
∴AC=CF，
∵重叠部分的面积=12AC⋅CD=12，
∴AC=26，
∵∠ACB=90°,∠B=30°，
∴AB=2AC=46，
故答案为：46．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，等角对等边证明边相等，直角三角形30°角的性质，正确掌握各知识点是解题的关键．
考点二 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2，c=a2+b2,a=c2-b2,b=c2-b2.
勾股定理的证明方法（常见）：
方法一（图一）：4SΔ+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4×12ab+(b-a)2=c2，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4×12ab+c2=2ab+c2
大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2，所以a2+b2=c2
方法三（图三）：S梯形=12(a+b)⋅(a+b)，S梯形=2SΔADE+SΔABE=2⋅12ab+12c2，化简得证a2+b2=c2
图一 图二 图三
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.
判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c；
2）确定最大的数c；
3）计算较小的两个数的平方a2+b2是否等于c2.
1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.
2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数.
题型01 利用勾股定理求线段长
【例1】（2023·广东云浮·统考一模）如图，AB切⊙O于C，点D从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，运动1秒时OD=2cm，运动2秒时OD长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．22cm
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质、勾股定理，掌握切线性质是关键．先证得∠OCD=90°，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵AB切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∵点D从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运动，
∴运动1秒时CD=1cm，
又∵运动1秒时OD=2cm，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC=OD2-CD2=22-12=3，
∵运动2秒时CD长为2cm，
∴此时OD=OC2+CD2=32+22=7．
故选：C．
【变式1-1】（2023·浙江·模拟预测）若直角三角形的三边的长是连续的正整数，则这样的直角三角形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】先设出直角三角形的三边长，再根据勾股定理解答即可.
【详解】设中间的一个为x，则另两边为(x-1)和(x+1)，根据勾股定理得：
(x-1)2+x2=(x+1)2，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴这样的直角三角形的个数只有一个，三边为3，4，5，
故选A.
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理及一元二次方程的解法，解答此问题时，注意连续整数的特点，要能够熟练解方程.
【变式1-2】（2023·安徽·统考模拟预测）在△ABC中，AB=2，AC=23，∠C=30°，则线段BC的长为（ ）
A．4B．22C．4或22D．2或4
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：①∠B为锐角时，过点A作AD⊥BC，分别在Rt△ACD和Rt△ABD中求出CD，BD从而可求出BC；②∠B为钝角时，同样的方法可求出BC．
【详解】解：分两种情况讨论：
①∠B为锐角时，如图，

过点A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，
∵AC=23，∠C=30°，
∴AD=3，
∴CD=AC2-AD2=232-32=3，
Rt△ABD中，
∵AB=2，AD=3，
∴BD=AB2-AD2=22-32=1，
∴BC=BD+CD=1+3=4；
②∠B为钝角时，如图，

过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D，
同①可求得：CD=3，BD=1，
∴BC=CD-BD=3-1=2，
综上，BC的长为2或4，
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是需要注意分情况求解．
题型02 利用勾股定理求面积
【例2】（2023·河北石家庄·统考三模）若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则正三角形与正六边形的边长比为（ ）
A．6:1B．1:6C．3:1D．2：1
【答案】A
【分析】设正三角形和一个正六边形的边长分别为a、b．构建面积相等构建方程即可解决问题．
【详解】解：设正三角形边长分别为a，如图，作AD⊥BC于D，

则BD=CD=a2，AD=AB2-BD2=3a2，
∴正三角形的面积为12×a×3a2=3a24，
设正六边形的边长b，
同理正六边形的面积为6×3b24=33b22，
由题意：3a24=33b22，
∴a=6b，
∴a:b=6:1，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式2-1】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么△ABM面积的最大值为（ ）

A．64B．48C．32D．24
【答案】C
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接PC，PA易得PC=PA=5，PD=3，然后由垂径定理，即可求得AD的长，继而求得AB的长，继而求得答案．
【详解】解：过点P作PD⊥x轴于点D，在AB上方，PD与⊙P的交点即△ABM面积最大时动点的位置，连接PC，PA，

∵点P的坐标为(5,3)，
∵⊙P与y轴相切于点C，
∴PC=5，PD=3，
∴PC=PA=5，DM=PD+PM=8
在Rt△PAD中，AD=PA2-PD2=4，
∵PD⊥AB，
∴AB=2AD=8，
当点M位于(3,8)时，△ABM面积最大，最大值为：12AB⋅MD=12×8×8=32．
故选C．
【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，添设辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
【变式2-2】（2023·贵州遵义·统考三模）如图，大等边三角形中有n个全等的等边三角形，若大等边三角形的面积为S1，n个小等边三角形的面积的和为S2，则S1与S2之间的关系为（ ）

A．S1=n2S2B．S1=nS2C．S1=43nS2D．S1=2nS2
【答案】B
【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC于D，设AB=BC=AC=x，则BD=12x，利用勾股定理求出AD=32x，则S1=12BC⋅AD=34x2；再求出n个全等的等边三角形的边长为BCn=xn，进而求出S2=3x24n，即可得到S1=nS2．
【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，设AB=BC=AC=x，
∴BD=12BC=12x，
∴AD=AB2-BD2=32x，
∴S1=12BC⋅AD=34x2，
由题意得，n个全等的等边三角形的边长为BCn=xn，
∴S2=n⋅34xn2=3x24n，
∴S1=nS2，
故选B．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，正确求出S1，S2是解题的关键．
【变式2-3】（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=BC=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（ ）

A．1:8B．1:4C．1:2D．2:5
【答案】A
【分析】连接AD，易证△ABC为等边三角形，从而得出∠BDE=30°，根据含30度角的直角三角形的性质得出BE=12BD，再根据勾股定理得出DE=32BD，从而得出S△BDE=38BD2，然后根据等边三角形的性质及勾股定理得出AD=32AB，从而得出
S△ABC=3BD2，即可得出答案．
【详解】解：连接AD

∵ AB=BC=AC
∴△ABC为等边三角形
∴∠B=60°
∵ DE⊥AB
∴∠BDE=30°
∴BE=12BD
∴DE=BD2-BE2=32BD
∴S△BDE=12BE⋅DE=12×12×BD×32BD=38BD2
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC=12AB
∴AD=AB2-AD2=32AB
∴ S△ABC=12BC⋅AD=12AB×32AB=34AB2=342BD2=3BD2
∴ △BDE的面积与△ABC的面积之比为38BD23BD2=18
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．
题型03 已知两点坐标求两点距离
【例3】（2023·天津南开·统考一模）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为2,3，则AC长为（ ）
A．13B．7C．5D．4
【答案】A
【分析】首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长．
【详解】解：如图：连接OB，
∵点B的坐标为2,3，
∴OB=22+32=13，
又∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB=13，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
【变式3-1】（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线y=14x2与一次函数y=2x+6交于A，B两点，则线段AB的长度为（ ）
A．202B．203C．403D．20
【答案】A
【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到14x2-2x-6=0，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=14x2与一次函数y=2x+6交于A，B两点，
∴联立y=14x2y=2x+6，消元得14x2-2x-6=0，
∴x1+x2=8,x1x2=-24，
∴AB=x1-x22+y1-y22
=x1-x22+2x1+6-2x2+62
=x1-x22+2x1-2x22
=5x1-x22
=5x1+x22-4x1x2
=5×82-4×-24
=202
故选：A
【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键．
【变式3-2】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点A1,2,B-3,b，当线段AB最短时，b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．0
【答案】A
【分析】根据两点之间的距离公式即可求得b的值．
【详解】解：根据两点之间的距离公式得：
AB=(-3-1)2+(b-2)2=16+(b-2)2，
当b=2时，AB有最小值，最小值为4．
因此当b=2时，AB最短，
故选A．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中动点问题、二次函数的最值，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
【变式3-3】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是3,4，则点B的坐标为（ ）
A．5,4B．5,3C．8,3D．8,4
【答案】D
【分析】先利用两点之间的距离公式可得OA=5，再根据菱形的性质可得AB∥OC,AB=OA=5，由此即可得出答案．
【详解】解：∵点A的坐标为3,4，
∴OA=(3-0)2+(4-0)2=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB∥OC,AB=OA=5，
∴点B的横坐标为3+5=8，纵坐标与点A的纵坐标相同，即为4，
即B(8,4)，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
题型04 判断勾股数问题
【例4】（2023·四川泸州·统考二模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪．《周髀算经》中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若某个此类勾股数的勾为16，则其弦是 ．
【答案】65
【分析】根据题意可得，勾为m(m为偶数且m≥4，根据所给的二组数找规律可得结论．
【详解】解：根据题意可得，勾为m (为偶数且m≥4)，则另一条直角边m22-1，弦m22+1．
则弦为．1622+1=65，
故答案为：65．
【点睛】本题考查勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
【变式4-1】（2023·河北石家庄·统考二模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数．
(1)当n是大于1的整数时，2n，n2-1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
(2)当n是大于1的奇数时，若n，n2-12，x是勾股数，x>n，x>n2-12，求x(用含n的式子表示)．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)x=n2+12．
【分析】（1）由2n2+n2-12=n2+12， 可知2n，n2-1，n2+1是勾股数；
（2）由n，n2-12，x是勾股数，x>n，x>n2-12可知n2+n2-12=x2从而得解．
【详解】（1）解：是理由如下：
当n是大于1的整数时，2n，n2-1，n2+1都是正整数，
∵2n2+n2-12=4n2+n4-2n2+1=n4+2n2+1=n2+12，
∴2n，n2-1，n2+1是勾股数．
（2）由题意，得x2=n2+n2-122
=n2+n4-2n2+14
=n4+2n2+14
=n2+122，
∵x是正整数，
∴x=n2+12．
【点睛】本题考查勾股数的定义，完全平方公式，正确理解勾股数的定义是解题的关键．
【变式4-2】（2023·河北保定·统考二模）我们把满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若a,b,ca25，
∴此车超过了每秒25米的限制速度．
【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．考点要求
新课标要求
命题预测
直角三角形的性质与判定
理解直角三角形的概念.
探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.
勾股定理
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
勾股定理逆定理
a
b
c
9
40
60
61
a
b
c
9
40
41
11
60
61