2024-2025学年福建省三明二中高一（下）期末数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省三明二中高一（下）期末数学试卷（A卷）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数21−i的共轭复数是( )
A. 1+iB. 1−iC. 2+2iD. 2−2i
2.下列叙述中，错误的是( )
A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散
B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C. 极差为一组数据中最大值与最小值的差
D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
3.在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=2，点E在线段CD上，则AC⋅BE的取值范围为( )
A. (2,8)B. [2,8]C. (4,16)D. [4,16]
4.对于不同直线m，n和平面α，β，下列叙述错误的是( )
A. m⊥α，n⊥m，则n//α
B. α⊥β，α∩β=n，m⊂α，m⊥n，则m⊥β
C. m⊂α，n⊂α，m∩n=P，m//β，n//β，则α//β
D. m//α，m//β，α∩β=n，则m//n
5.已知sin(π3−α)+sinα=35，则sin(2α+π6)=( )
A. −725B. 725C. −2425D. 2425
6.已知向量a=(−1, 3)，|b|= 3，a⋅(a−2b)=10，则向量a与b的夹角是( )
A. π3B. π6C. 5π6D. 2π3
7.已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环AB−A1B1，且A1B1，AB的弧长分别为2π，4π.若A1A=3，则该圆台的体积是( )
A. 7 23πB. 7 33π
C. 14 23πD. 14 33π
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为5 3，b=4，BA⋅AC=10，则a=( )
A. 21B. 31C. 41D. 61
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,−1),b=(−3,−1)，则( )
A. (a+b)⊥a
B. 向量a在向量b上的投影向量是−12b
C. |2a+b|= 10
D. 与向量b方向相同的单位向量是(3 1010, 1010)
10.已知△ABC中，BD=2DC，(BC+2AC)⋅AB=0,A=60°，则下列说法正确的是( )
A. AD=13AB+23ACB. csB=ACBC
C. csC= 714D. AC在AB上的投影向量为12AB
11.已知函数f(x)=2 3sinx+2csx，则( )
A. f(x)的图象关于直线x=π3对称
B. f(x)在[0,π3]上单调递增
C. f(x)在[0,π3]上的值域为[1,2]
D. 将函数y=sin(x+π6)图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标不变，可以得到f(x)的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，且PA= 3，AC=1，BC=2，则三棱锥P−ABC外接球的体积为______．
13.已知等边△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 616，则等边△ABC的面积是______．
14.在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=6，DA=7，则CA⋅BD的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知A(1, 3)，B(−2,y)，C(4,2 3)，AB//BC，O为坐标原点．
(1)求向量OA与OB的夹角；
(2)求△OAB的面积．
16.(本小题15分)
某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对A，B类每个问题的答对的概率均为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)求小红两轮总分得60分的概率；
(3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a= 3；
(i)求△ABC周长的取值范围；
(ii)求△ABC面积的最大值．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PAD的距离．
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是△ABC内一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BC，E，F，G为垂足，记PE=p，PF=q，PG=r．
(1)若∠A=60°，b=2，c=3，p=q，AP的延长线交BC于点D，求AD；
(2)若A−C=π2，a+c=2b，p=2r=2，求sinB及PB；
(3)证明：PA+PB+PC≥2(p+q+r)，当且仅当a=b=c且p=q=r时，等号成立．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.A
6.C
7.C
8.D
9.ABC
10.ABC
11.ABD
12.8 2π3
13. 34
14.10
15.(1)A(1, 3)，B(−2,y)，C(4,2 3)，
则AB=(−3,y− 3),BC=(6,2 3−y)，
因为AB//BC，
所以6(y− 3)=−3(2 3−y)，解得y=0，
所以OA=(1, 3),OB=(−2,0)，
所以cs〈OA,OB〉=OA⋅OB|OA|⋅|OB|=−22×2=−12，
故向量OA与OB的夹角为2π3；
(2)因为|OA|=|OB|=2，OA与OB的夹角为2π3，
所以△OAB的面积为12|OA||OB|sin〈OA,OB〉=12×2×2× 32= 3．
16.(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有{ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}共10种，
设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，
则小明在第一轮得40分，有{ab,ac,ad,ae,bc,bd,cd}共6种，
则小明在第一轮得40分的概率为：610=35；
(2)设“两轮总分得60分”为事件A，
“第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分”为事件B，
“如果第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分”．
则A=B+C，
P(B)=[0.5×(1−0.5)+(1−0.5)×0.5]×0.5×0.5=0.125；
P(C)=[(1−0.5)×(1−0.5)]×0.5×0.5=0.0625
P(A)=P(B)+P(C)=0.125+0.0625=316；
(3)由(1)知，小明在第一轮得40分的概率为35，
则小明在第一轮得0分的概率为：1−35=25，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
所以如果第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
P1=0.5×0.5×[0.5×(1−0.5)+(1−0.5)×0.5]=0.125；
P2=35×(0.4×0.6+0.6×0.4)=0.288；
如果第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
P3=0.5×0.5×0.5×0.5=0.0625；P4=35×0.4×0.4=0.096；
如果第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
P5=[0.5×(1−0.5)+(1−0.5)×0.5]×0.5×0.5=0.125，P6=25×0.4×0.4=0.064；
如果第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
P7=[(1−0.5)×(1−0.5)]×0.5×0.5=0.0625；
所以小红晋级复赛的概率为：P1+P3+P5+P7=0.375；
小明晋级复赛的概率为：P2+P4+P6=0.448；
因为0.448>0.375，
所以小明更有机会进入面试环节．
17.(1)在△ABC中，由acsC+ 3asinC−b−c=0及正弦定理得sinAcsC+ 3sinAsinC−sinC=sinB，
即sinAcsC+ 3sinAsinC−sinC=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
整理得 3sinAsinC=csAsinC+sinC，而sinC>0，则 3sinA=1+csA，
于是(1+csA)2=3sin2A=3(1−cs2A)，整理得2cs2A+csA−1=0，
即(2csA−1)(csA+1)=0，而0