2024-2025学年福建省三明二中高二（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明二中高二（下）期末数学试卷（A卷）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.由样本点(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)得到y关于x的线性回归方程为y =−2x+1，若x−=2，则y−=( )
A. −5B. −3C. −12D. 2
2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± 3x，则该双曲线的离心率为( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2
3.“数列a，b，c为等比数列”是“数列1a，1b，1c为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为( )
A. 20B. 18C. 16D. 14
5.已知圆C1：x2+y2−4=0，圆C2：x2+y2−4x+4y−8=0，则两圆的位置关系是( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
6.若a>b>c>1且aclgbc>lgcaB. lgcb>lgba>lgac
C. lgbc>lgab>lgcaD. lgba>lgcb>lgac
7.已知函数f(x)=xex(其中e是自然对数的底数)，若F(x)=[f(x)]2−(a+1)f(x)+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. (−1e,+∞)B. (−1e,1)∪(1,+∞)
C. (−1e,1)D. (−1e,0)
8.为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据(单位：只)：
从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势R1=P(A)1−P(A)，在B发生的条件下A的优势R2=P(A|B)1−P(A|B)，则( )
A. R2R1可化简为P(B|A)P(B|A−)，估计其值为38B. R2R1可化简为P(A|B)P(A|B−)，估计其值为38
C. R2R1可化简为P(AB)P(A−B)，估计其值为13D. R2R1可化简为P(AB)P(AB−)，估计其值为13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则( )
A. 这五名同学成绩的平均数为78B. 这五名同学成绩的中位数为74
C. 这五名同学成绩的上四分位数为80D. 这五名同学成绩的方差为32
10.在数列{an}中，下列结论正确的是( )
A. 若数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=2n−1
B. 若a1=1，且an+1+an=2，则an=1
C. 若a1=1，且an+1an=nn+1，则an=1n
D. 若a1=1，a2=2，且an+2=3an+1−2an，则an=2n−1
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”).如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：
已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=an2,当an为偶数时,3an+1,当an为奇数时.记数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 当m=2时，a2025=2
B. 当m=34时，使得an=1要13步“雹程”
C. 当m=512时，S11=1027
D. 若a7=2，则m的取值有6个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列{an}满足a3=π，则sin2a2a43π= ______．
13.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是23，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是______．
14.已知函数f(x)=xlna+aex−xlnx，g(x)=x−x2，若当x∈(0,+∞)时，g(x)≤f(x)恒成立，则实数a的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2−x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6(x∈R)．
(1)求该二项展开式中二项式系数最大的项；
(2)求|a1|+|a2|+⋯+|a6|的值．
16.(本小题15分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S8=30+15 2，且a10是8a2和6a6的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)令bn=an2+lg2an，求数列{bn}的前n项和．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x3−ax2+12x+b在x=2处取得极小值0，g(x)=5sin2x+c．
(1)求a和b的值；
(2)对任意x1∈[0,3]，总存在x2∈[0,π]，使得f(x1)=g(x2)，求实数c的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点T( 32, 32)，其中一个焦点在直线x+2y+ 2=0上，A为椭圆的上顶点，直线l：y=kx+m与椭圆G相交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆G的方程；
(2)若k=1，O为坐标原点，求△OMN的面积最大时实数m的值；
(3)若直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=2，直线AM，AN与圆C：x2+(y−b2)2=b24分别交于点P，Q.证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标．
19.(本小题17分)
某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为14，第二天改开私家车的概率为34；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为12，第二天改坐班车的概率为12.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为12，该工厂某员工第n天坐班车的概率为Pn．
(Ⅰ)设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为X，求X的分布列与数学期望；
(Ⅱ)求Pn；
(Ⅲ)为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：根据一元线性回归模型的性质可知(x−,y−)在y =−2x+1上，
即y−=−2x−+1=−2×2+1=−3．
故选：B．
将x−=2代入线性回归方程，求出y−=−3．
本题考查了一元线性回归模型，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，渐近线方程以及离心率的求法，属于基础题．
由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，由a，b，c之间的关系进而求出离心率．
【解答】
解：由双曲线的方程可得渐近线为：y=±bax，
所以由题意可得：ba= 3，
所以离心率e=ca= c2a2= 1+b2a2= 1+3=2，
故选D．
3.【答案】C
【解析】若数列a，b，c为等比数列，则b2=ac，
此时1a⋅1c=1ac=(1b)2，则数列1a,1b,1c为等比数列，则充分性成立；
若数列1a,1b,1c为等比数列，则1b2=1ac，即b2=ac，
所以数列a，b，c为等比数列，则必要性成立，
故“数列a，b，c为等比数列”是“数列1a,1b,1c为等比数列”的充要条件．
故选：C．
根据等比中项，充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题考查等比中项，充分条件、必要条件的定义，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
首先把4人分为2组，有2种情况：
①一个医院1人，一个医院3人，此时有C43=4种，
②两个医院各2人，此时有C42A22=3种，
则有4+3=7种分组方法，
再将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况，
故不同的分配方案有(4+3)×2=14种．
故选：D．
根据题意，分两步进行分析：先将4名专家分为2组，再将分好的2组安排到2个不同的医院．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意，圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1=2，
圆C2的圆心为C2(2,−2)，半径r2=4，
根据|C1C2|= (0−2)2+(0+2)2=2 2，满足|r1−r2|c>1，令a=16，b=8，c=2，
则lgca>1>lgab所以A，C错，
则lgcb=3>lgba=43故D错，B对．
故选：B．
通过和1比较大小判断，特殊值代入排除选项．
本题为比较对数的大小，为基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=xex，x∈R，
所以f′(x)=ex+xex=(x+1)ex，
当x0，即f(x)在(−1,+∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(−1)=−1e，
又x0，
作出f(x)的图象，如图，
令F(x)=[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0，
得[f(x)−1][f(x)−a]=0，
解得f(x)=1或f(x)=a，
由题意可得f(x)=1和f(x)=a共3个解，
由图象可知当f(x)=1时，仅存在唯一的x满足；
因此f(x)=a必须有两个根，
结合f(x)的图象，可得−1e1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
当00(∗)，且yP+yQ=1，
可得kAP+kAQ=yP−1s+yQ−1s=2，解得s=−12，不满足(∗)，不合题意；
(ii)若直线PQ不垂直于x轴，
那么设PQ：y=tx+n，Q(x4,y4)，P(x3,y3)，
那么y=tx+nx2+y2−y=0，化简得(1+t2)x2+(2n−t)x+n2−n=0，
根的判别式Δ=(2tn−t)2−4(1+t2)(n2−n)>0，那么根据韦达定理可得x3x4=n2−n1+t2，x3+x4=−2tn−t1+t2，
可得kAP+kAQ=y3−1x3+y4−1x4=2tx3x4+(n−1)(x3+x4)x3x4=2t(n2−n)+(n−1)(t−2tn)n2−n=2．
由于n≠1，那么2tn+t−2tn=2n，即n=t2，
根的判别式Δ=(t2+t)2−4(1+t2)(t24−t2)=2t>0，所以t>0
所以直线PQ方程为：y=tx+12t=t(x+12)(t>0)，
所以直线PQ过定点(−12,0)．
(1)由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案；
(2)联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案；
(3)分直线的斜率存在与否两种情况，联立方程写出韦达定理，根据斜率建立方程，可得答案．
本题考查直线与椭圆的综合应用，属于难题．
19.【答案】分布列见解析，98；
Pn=25+110(−14)n−1；
去班车停车场4人，去私家车停车场6人，理由见解析．
【解析】(1)由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率P2=12×14+12×12=38，
所以X～B(3,38)
X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C30×(58)3×(38)0=125512，
P(X=1)=C31×(58)2×(38)1=225512，
P(X=2)=C32×(58)1×(38)2=135512，
P(X=3)=C33×(58)0×(38)3=27512，
所以X的分布列为：
E(X)=3×38=98；
(2)Pn+1=−14Pn+12，
则Pn+1−25=−14(Pn−25)
又P1=12,P1−25=12−25=110，
所以{Pn−25}是首项为110，公比为−14的等比数列，
所以Pn−25=110(−14)n−1,Pn=25+110(−14)n−1；
(3)由(2)可知，当n趋向于正无穷大时，Pn趋向于25，
所以工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有10×25=4人，去私家车停车场参加安保工作的应有10×35=6人．
(1)先求某同学第二天选择坐班车的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；
(2)根据题意先求Pn与Pn+1的关系，然后利用构造法可得通项；
(3)由Pn→25确定两停车场安保人数分配．
本题考查离散型随机变量的均值(数学期望)，属于中档题．发病
未发病
合计
使用药物
10
40
50
未使用药物
30
20
50
合计
40
60
100
x
0
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
−4
↗
极大值1
↘
极小值0
↗
5
X
0
1
2
3
P
125512
225512
135512
27512