2024-2025学年福建省三明二中高一（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明二中高一（下）期末数学试卷（A卷）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数21−i的共轭复数是( )
A. 1+iB. 1−iC. 2+2iD. 2−2i
2.下列叙述中，错误的是( )
A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散
B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C. 极差为一组数据中最大值与最小值的差
D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
3.在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=2，点E在线段CD上，则AC⋅BE的取值范围为( )
A. (2,8)B. [2,8]C. (4,16)D. [4,16]
4.对于不同直线m，n和平面α，β，下列叙述错误的是( )
A. m⊥α，n⊥m，则n/​/α
B. α⊥β，α∩β=n，m⊂α，m⊥n，则m⊥β
C. m⊂α，n⊂α，m∩n=P，m//β，n/​/β，则α/​/β
D. m/​/α，m//β，α∩β=n，则m/​/n
5.已知sin(π3−α)+sinα=35，则sin(2α+π6)=( )
A. −725B. 725C. −2425D. 2425
6.已知向量a=(−1, 3)，|b|= 3，a⋅(a−2b)=10，则向量a与b的夹角是( )
A. π3B. π6C. 5π6D. 2π3
7.已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环AB−A1B1，且A1B1，AB的弧长分别为2π，4π.若A1A=3，则该圆台的体积是( )
A. 7 23πB. 7 33πC. 14 23πD. 14 33π
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为5 3，b=4，BA⋅AC=10，则a=( )
A. 21B. 31C. 41D. 61
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,−1),b=(−3,−1)，则( )
A. (a+b)⊥a
B. 向量a在向量b上的投影向量是−12b
C. |2a+b|= 10
D. 与向量b方向相同的单位向量是(3 1010, 1010)
10.已知△ABC中，BD=2DC，(BC+2AC)⋅AB=0,A=60°，则下列说法正确的是( )
A. AD=13AB+23ACB. csB=ACBC
C. csC= 714D. AC在AB上的投影向量为12AB
11.已知函数f(x)=2 3sinx+2csx，则( )
A. f(x)的图象关于直线x=π3对称
B. f(x)在[0,π3]上单调递增
C. f(x)在[0,π3]上的值域为[1,2]
D. 将函数y=sin(x+π6)图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标不变，可以得到f(x)的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，且PA= 3，AC=1，BC=2，则三棱锥P−ABC外接球的体积为______．
13.已知等边△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 616，则等边△ABC的面积是______．
14.在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=6，DA=7，则CA⋅BD的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知A(1, 3)，B(−2,y)，C(4,2 3)，AB//BC，O为坐标原点．
(1)求向量OA与OB的夹角；
(2)求△OAB的面积．
16.(本小题15分)
某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对A，B类每个问题的答对的概率均为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)求小红两轮总分得60分的概率；
(3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a= 3；
(i)求△ABC周长的取值范围；
(ii)求△ABC面积的最大值．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PAD的距离．
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是△ABC内一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，PG⊥BC，E，F，G为垂足，记PE=p，PF=q，PG=r．
(1)若∠A=60°，b=2，c=3，p=q，AP的延长线交BC于点D，求AD；
(2)若A−C=π2，a+c=2b，p=2r=2，求sinB及PB；
(3)证明：PA+PB+PC≥2(p+q+r)，当且仅当a=b=c且p=q=r时，等号成立．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
首先利用复数的除法运算化简，然后根据共轭复数定义可得结论．
解：由21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=2+2i2=1+i．
所以21−i的共轭复数为1−i．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：对于A，数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；
对于B，因样本数据的中位数是将数据从小到大排列后得到的，
改变少数几个极端值，只要不改变这组数据的顺序，中位数不变，故B正确；
对于C，由极差的定义可知，数据的极差即是一组数据的最大值与最小值的差，故C正确；
对于D，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确．
故选：A．
利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查了标准差、中位数，极差和平均数的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
由AD//BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=2，可得：
B(0,0)，C(4,0)，A(0,2)，D(2,2)，
则AC=(4−0,0−2)=(4,−2)．
因为点E在线段CD上，设CE=λCD(λ∈[0,1])，
CD=(2−4,2−0)=(−2,2)，所以CE=λ(−2,2)=(−2λ,2λ)．
又BC=(4,0)，那么BE=BC+CE=(4−2λ,2λ)，
AC⋅BE=(4,−2)⋅(4−2λ,2λ)
=4×(4−2λ)+(−2)×2λ
=16−8λ−4λ
=16−12λ，
因为λ∈[0,1]，当λ=0时，16−12λ=16；当λ=1时，16−12λ=4，
所以16−12λ∈[4,16]．
故选：D．
以B为原点建系，确定各点坐标，用含参数λ的向量表示E相关向量，通过向量点积运算转化为关于λ的一次函数，结合λ范围求取值范围．
本题主要考查平面向量的坐标运算、向量共线的参数表示，以及利用函数思想求向量数量积的取值范围．
4.【答案】A
【解析】解：对于不同直线m，n和平面α，β，
对于A，m⊥α，n⊥m，则n/​/α或n⊂α，故A错误；
对于B，α⊥β，α∩β=n，m⊂α，m⊥n，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故B正确；
对于C，m⊂α，n⊂α，m∩n=P，m//β，n/​/β，则由面面平行的判定定理得α/​/β，故C正确；
对于D，m/​/α，m//β，α∩β=n，则由线面平行的性质得m/​/n，故D正确．
故选：A．
对于A，n/​/α或n⊂α；对于B，由线面垂直的判定定理得m⊥β；对于C，由面面平行的判定定理得α/​/β；对于D，由线面平行的性质得m/​/n．
本题考查线面垂直、面面平行、线面平行的判定与性质等基础知识，是中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由题可得，sin(π3−α)+sinα= 32csα−12sinα+sinα= 32csα+12sinα=sin(α+π3)=35，
所以sin(2α+π6)=sin[2(α+π3)−π2]=−cs2(α+π3)=2sin2(α+π3)−1=2×(35)2−1=−725．
故选：A．
由两角差的正弦公式和辅助角公式得到sin(α+π3)=35，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案．
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了辅助角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为a=(−1, 3)，
所以|a|=2，
因为a⋅(a−2b)=10，所以a2−2a⋅b=10，
得到4−2⋅a⋅b=10，解得a⋅b=−3，设向量a与b的夹角为β，
而|b|= 3，故csβ=a⋅b|a|⋅|b|=−32⋅ 3=− 32，
因为β∈[0,π]，所以β=5π6，故C正确．
故选：C．
利用向量的模长公式求|a|=2，结合a⋅(a−2b)=10求出a⋅b=−3，利用向量数量积的定义求解夹角余弦值，最后结合夹角范围求出夹角即可．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设圆台的上下底面半径分别为r，R，
由A1B1，AB的弧长分别为2π，4π，
得2πr=2π，2πR=4π，可得r=1，R=2，
又圆台的母线长l=A1A=3，
∴圆台的高ℎ= 32−12=2 2．
∴该圆台的体积是V=13πℎ(r2+rR+R2)=13π×2 2×(1+2+4)=14 23π．
故选：C．
由已知分别求出圆台的上下底面半径，进一步求出高，再由圆台体积公式得答案．
本题考查圆台体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意，可得S△ABC=12bcsinA=5 3，
由BA⋅AC=10可得：cbcs(π−A)=−bccsA=10，
因为b=4，所以csinA=5 32，ccsA=−52，
则tanA=sinAcsA=− 3，
因为A∈(0,π)，所以A=2π3，
则c=5 32sinA=5 32× 32=5，
由余弦定理可知：a2=42+52−2×4×5cs2π3=61，
即a= 61．
故选：D．
根据三角形面积公式，平面向量数量积的定义及b=4得出A=2π3，c=5，再利用余弦定理即可求解．
本题考查三角形面积公式、平面向量数量积运算及余弦定理，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A，
因为(a+b)⋅a=(−1,−2)⋅(2,−1)=−1×2+(−2)×(−1)=0，
所以(a+b)⊥a，故A正确；
对于选项B，向量a在向量b上的投影向量是
a⋅b|b|2b=2×(−3)+(−1)×(−1)[ (−3)2+(−1)2]2b=−12b，故B正确；
对于选项C，|2a+b|=|(1,−3)|= 12+(−3)2= 10，故C正确；
对于D，与向量b方向相同的单位向量是b|b|=(−3,−1) (−3)2+(−1)2=(−3 1010,− 1010)，故D错误．
故选：ABC．
由向量垂直的坐标表示、投影向量定义、模长公式和单位向量定义逐一计算即可得解．
本题主要考查平面向量的投影向量、单位向量，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，△ABC中，BD=2DC，所以AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，选项A正确；
对于B，由(BC+2AC)⋅AB=0，得(AC−AB+2AC)⋅AB=0，即3AC⋅AB=AB2，所以3|AC||AB|cs60°=|AB|2，即|AB|=32|AC|，设AB=3x，则AC=2x，x>0，由余弦定理得，BC2=4x2+9x2−2⋅2x⋅3x⋅cs60°=7x2，所以BC= 7x，所以csB=9x2+7x2−4x22⋅3x⋅ 7x=2x 7x=ACBC，选项B正确；
对于C，由余弦定理得，csC=4x2+7x2−9x22⋅2x⋅ 7x= 714，选项C正确；
对于D，AC在AB上的投影向量为AB⋅AC|AB|2AB=23|AB||AB|cs60°|AB|2AB=13AB，选项D错误．
故选：ABC．
选项A，根据题意，利用平面向量的线性表示，求解即可；
选项B，由题意，根据平面向量的数量积得出|AB|=32|AC|，设AB=3x，则AC=2x，x>0，由余弦定理求得BC，再求csB；
选项C，由余弦定理求得csC；
选项D，根据投影向量的定义求解即可．
本题考查了平面向量的数量积运算与解三角形的应用问题，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意得f(x)=4(sinxcsπ6+csxsinπ6)=4sin(x+π6)，
当x=π3时，f(x)=4sin(π3+π6)=4，函数取得最大值，
所以f(x)的图象关于直线x=π3对称，故A正确；
当x∈[0,π3]时，x+π6∈[π6,π2]，
结合正弦函数的单调性，可知f(x)在[0,π3]上单调递增，故B正确；
当x∈[0,π3]时，x+π6∈[π6,π2]，可得12≤sin(x+π6)≤1，
所以2≤4sin(x+π6)≤4，f(x)在[0,π3]上的值域为[2,4]，故C错误；
将函数y=sin(x+π6)图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍，
可得函数y=4sin(x+π6)的图象，即f(x)的图象，故D正确．
故选：ABD．
根据三角恒等变换公式化简得f(x)=4sin(x+π6)，进而运用正弦函数的图象与性质逐项判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
12.【答案】8 2π3
【解析】解：根据题意，PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，
将三棱锥P−ABC补全成长方体，如图，
则此三棱锥的外接球的半径为12PB=12 22+12+( 3)2= 2，
其三棱锥P−ABC外接球的体积为V=43π×( 2)3=8 2π3．
故答案为：8 2π3．
根据题意，可得BC⊥平面PAC，将三棱锥P−ABC补全成长方体，进而可求外接球半径，代入球的体积公式求解即可．
本题考查几何体体积的计算，属于中档题．
13.【答案】 34
【解析】解：由于原图和直观图面积之间的关系S直观图S原图= 24，可得： 616S原图= 24，
那么原△ABC的面积= 616×4 2= 34．
故答案为： 34．
斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以 24，结合已知即可计算得解．
本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查，解题的关键是理解记忆原图和直观图面积之间的关系S直观图S原图= 24，能根据斜二测画法的规则推出这一关系，明确知道其来龙去脉的结论记忆起来才有把握，记得牢．
14.【答案】10
【解析】解：平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=6，DA=7，
故CA⋅BD=CA⋅AD−CA⋅AB−|AC|⋅|AD|cs∠DAC+|AC|⋅|AB|cs∠BAC
=−|AC|2+|AD|2−|DC|22+|AC|2+|AB|2−|BC|22=−|AD|2+|DC|2+|AB|2−|BC|22=−10．
故答案为：−10．
利用向量减法的法则和定义法求解数量积可得CA⋅BD=CA⋅(AD−AB)=−|AC|⋅|AD|cs∠DAC+|AC|⋅|AB|cs∠BAC，再结合余弦定理即可求解．
本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】2π3；
3．
【解析】(1)A(1, 3)，B(−2,y)，C(4,2 3)，
则AB=(−3,y− 3),BC=(6,2 3−y)，
因为AB//BC，
所以6(y− 3)=−3(2 3−y)，解得y=0，
所以OA=(1, 3),OB=(−2,0)，
所以cs〈OA,OB〉=OA⋅OB|OA|⋅|OB|=−22×2=−12，
故向量OA与OB的夹角为2π3；
(2)因为|OA|=|OB|=2，OA与OB的夹角为2π3，
所以△OAB的面积为12|OA||OB|sin〈OA,OB〉=12×2×2× 32= 3．
(1)首先求得y=0，然后由向量夹角的计算公式求解即可；
(2)计算出|OA|=|OB|=2，结合三角形面积公式即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
16.【答案】35；
316；
小明谁更有机会进入面试环节．
【解析】(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有{ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de}共10种，
设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，
则小明在第一轮得40分，有{ab,ac,ad,ae,bc,bd,cd}共6种，
则小明在第一轮得40分的概率为：610=35；
(2)设“两轮总分得60分”为事件A，
“第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分”为事件B，
“如果第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分”．
则A=B+C，
P(B)=[0.5×(1−0.5)+(1−0.5)×0.5]×0.5×0.5=0.125；
P(C)=[(1−0.5)×(1−0.5)]×0.5×0.5=0.0625
P(A)=P(B)+P(C)=0.125+0.0625=316；
(3)由(1)知，小明在第一轮得40分的概率为35，
则小明在第一轮得0分的概率为：1−35=25，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
所以如果第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
P1=0.5×0.5×[0.5×(1−0.5)+(1−0.5)×0.5]=0.125；
P2=35×(0.4×0.6+0.6×0.4)=0.288；
如果第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
P3=0.5×0.5×0.5×0.5=0.0625；P4=35×0.4×0.4=0.096；
如果第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
P5=[0.5×(1−0.5)+(1−0.5)×0.5]×0.5×0.5=0.125，P6=25×0.4×0.4=0.064；
如果第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
P7=[(1−0.5)×(1−0.5)]×0.5×0.5=0.0625；
所以小红晋级复赛的概率为：P1+P3+P5+P7=0.375；
小明晋级复赛的概率为：P2+P4+P6=0.448；
因为0.448>0.375，
所以小明更有机会进入面试环节．
(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
(2)小红两轮总分得60分，只能有两种得分情况：小红第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分或当小红第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分，求对应事件的概率再求和即可得解．
(3)依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分；或第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答对一题得0分，第二轮答对两题得60分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论．
本题考查概率的应用，属于中档题．
17.【答案】A=π3；
(i)(2 3,3 3]；(ii)3 34．
【解析】(1)在△ABC中，由acsC+ 3asinC−b−c=0及正弦定理得sinAcsC+ 3sinAsinC−sinC=sinB，
即sinAcsC+ 3sinAsinC−sinC=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
整理得 3sinAsinC=csAsinC+sinC，而sinC>0，则 3sinA=1+csA，
于是(1+csA)2=3sin2A=3(1−cs2A)，整理得2cs2A+csA−1=0，
即(2csA−1)(csA+1)=0，而0