2022-2023学年福建省三明市高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省三明市高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数的求导正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而数学教师因故不能上第二节和第四节，则不同排课方案的种数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在的展开式中，若二项式系数最大值为，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  的展开式中，常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的零假设为：喜欢短视频和性别相互独立若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为(    )
附：，
附表：

A.  B.  C.  D.

6.  小明买了个大小相同颜色不同的冰墩墩北京冬奥会吉祥物随机放入个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若函数在上为单调函数，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列说法正确的是(    )

A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于
B. 经验回归方程为时，变量和负相关
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，其经验回归方程必过点，则

10.  已知函数，则下列选项正确的是(    )

A. 过原点作图像的切线是
B. 函数有三个零点
C.
D. 若函数在上恒成立，则

11.  下列命题中，正确的命题的序号为(    )

A. 若，，，则
B. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 若数轴的原点处有一个质点，每隔一秒等可能的向左或向右移动一个单位，设秒后质点的坐标为随机变量，则

12.  甲、乙两人进行局羽毛球比赛无平局，每局甲获胜的概率均为规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则(    )

A.  B.
C.  D. 单调递增

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若，则 ______ ．

14.  第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于年月日和月日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动某单位初步推选出名党员和名民主党派人士，并从中随机选取人组成代表队参赛在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为______ ．

15.  已知的展开式中各项系数和为，则展开式中不含的所有项系数和等于______ ．

16.  已知函数，若恒成立，则的取值范是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
若，且．
求实数的值；
求的值．

18.  本小题分
由，，，，，这六个数字组成的无重复数字的自然数求：
有多少个含，的五位数？
有多少个含数字，，且必须按由大到小顺序排列的六位数？

19.  本小题分
“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间单位：小时，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

求的值；
为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中，，，，当最大时，写出的值．

20.  本小题分
已知函数．
当，求的极值．
当时，设，若存在，，使，求实数的取值范围为自然对数的底数，

21.  本小题分
疫情期间，某校使用一家公司的三种软件来上网课，分别为在线课堂、视频会议、在线直播根据效果，首选在线课堂，当在线课堂进不去时选视频会议，当在线课堂和视频会议均进不去后再选在线直播当该校不是该软件的会员时，老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率分别为，，；当该校充值为会员时，老师们上网课能够进入在线课堂、视频会议、在线直播的概率均为，设在线课堂、视频会议、在线直播的网课效果得分分别为分，分，分．
调查知前天能完成全部网课的班级数如右表所示：已知与具有线性相关关系，求关于的经验回归方程；的系数精确到

请你计算后判断学校充值为会员后，网课效果得分的数学期望是否有提高．
参考公式：在线性回归方程中，，

22.  本小题分
已知函数．
若，求方程的解；
若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，，求的取值范围并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为数学教师因故不能上第二节和第四节，
所以先排数学老师的课，共有种，
然后再排剩下三位老师的课，共有种，
由分步计数乘法定理可得共有种，
故选：．
先排数学老师，再排剩下的三位老师，由此即可求解．
本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在的展开式，
二项式系数最大值为，
所以．
故选：．
直接利用二项展开式和组合数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项为．
当为常数时，，解得，
则；
当为常数时，，解得，
则，
所以的展开式中常数项为．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，不妨设，，，，
于是，
由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，
于是最小值为．
故选：．
依题意，写出列联表中的，，，，算出的数值，和表格中的参照数据比较后选出答案．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：小明将个大小相同颜色不同的冰墩墩随机放入个不同袋子中，有种不同的放法，
若每个袋子至少放入一个冰墩墩，则分步进行分析：
将个冰墩墩分为组，有种分组方法，将分好的组放入个不同的袋子中，有种情况，则有种方法，
所以所求的概率为．
故选：．
由计数原理可求出个冰墩墩随机放入个不同袋子的种数，利用组合中的分组分配问题求出每个袋子至少放入一个冰墩墩的种数，根据古典概型概率公式可求得结果．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得．
若为上的单调增函数，
则在上恒成立，即在上恒成立，
设，．在上恒成立，在上单调递减，
在上，，．
若为上的单调减函数，
则在上恒成立，即在上恒成立，
由可知其不可能成立，不符合题意．
综上，实数的取值范围是．
故选：．
函数在上为单调函数，则在上恒成立，或在上恒成立，分类讨论解不等式即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：构造，，
，
函数在上单调递减，且，
所以，
即，
当时，，即；
，，可得，即；
故选：．
构造函数，，利用函数的单调性比较出；通过计算和的大小，比较出．
本题考查比较大小，考查指对函数的性质与应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于，A错误；
选项，回归方程的直线斜率为负数，所以变量与呈负的线性相关关系，所以B正确；
选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确；
选项，由经验回归方程必过点，，，，D正确．
故选：．
利用相关系数与相关性强弱的关系即可判断；根据回归方程的直线斜率为负数，即可判断；根据残差图的性质即可判断；根据回归方程横过，可判断．
本题考查线性回归方程的运用，考查相关系数和残差图的性质，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
对于选项A：，
又，
所以过原点作图像的切线为，
即，故选项A错误；
对于选项B：当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以的极小值为，极大值为，
当时，；当时，，且，
若函数有三个零点，
可得方程有三个根，
即函数与的图象交点有三个，
因为，作出函数图象如下所示：

可得函数有三个零点，故选项B正确；
对于选项C：因为在上单调递减，
所以，故选项C正确；
对于选项D：因为函数在处取得极大值，也是最大值，
此时，
若函数在上恒成立，
则，故选项D错误．
故选：．
由题意，对函数进行求导，得到和，代入切线方程中即可判断选项A；利用导数得到的单调性和极值即可判断选项C和选项D；将函数有三个零点，转化成函数与的图象交点有三个，作出函数图象，利用数形结合即可判断选项B
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、数形结合和运算能力．
 

11.【答案】 

【解析】解：选项，，，解得，A正确；
选项，由题意，，解得，B错误；
选项，由题可知，所以，C正确；
选项，的可能取值为：，，，，，，，，，并且有，，故D正确；
故选：．
根据条件概率公式可判断；根据二项分布的期望与方差公式可判断；根据正态分布的对称性可判断；根据独立事件乘法公式以及方差和均值的定义计算即可判断．
本题考查了二项分布的均值与方差，考查条件概率，考查正态分布，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，，
，
又，
，
，故C正确；
，故A正确；，故B错误；
，，
又，
，，即单调递增，故D正确．
故选：．
要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，据此根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求，由此可判断，判断和的大小即可判断的单调性，从而判断．
本题主要考查了独立事件概率计算方法和二项式定理的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
则或者，
解得舍去或，
所以．
故答案为：．
利用组合数的性质建立方程，进而可以求解．
本题考查了组合数的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设“随机选取人”为事件，“代表队中既有党员又有民主党派人士”为事件，“党员甲被选中”为事件，
则可得，
，
则，
在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为．
故答案为：．
利用古典概型结合组合数运算能求出结果．
本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知的展开式中各项系数和为，
令，整理得，解得；
故的展开式满足，
令时，的展开式满足，令，解得，
故含的所有项系数为，
由于的所有项的系数和满足当，时，所有项的系数和为，
故不含的所有项系数和等于．
故答案为：．
直接利用二项式的展开式和项的系数及赋值法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为函数，且恒成立，
则恒成立，即，
因为，所以，
即，
构造，
则上面的不等式即为，
易知是增函数，所以恒成立，
由可知的取值范围是，
即在上恒成立，
则在上恒成立，
构造，则．
令，解得，
则当时，，递增，
当时，，递减．
所以当时，取最大值，最大值为，
所以的取值范围是．
故答案为：．
将恒成立转化成恒成立，构造函数求导即可．
本题主要考查构造函数解决恒成立问题，属于较难题．
 

17.【答案】解：由题意可得
则展开式中含的项为，
所以，解得；
由可知二项式为，
令时，，
因为的值为二项式的展开式的各项的系数和，
所以令，则，
所以． 

【解析】由题意可得，根据二项式定理求出展开式中含的项，建立方程即可求解；
因为的值为二项式的展开式的各项的系数和，然后分别令，建立方程联立即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：若五位数中含有，则有个数，
若五位数中不含，则有个数，
所以共个数；
在六个位置先排，，，不考虑在首位，则有，去掉在首位，即有个，
，，三个元素排在六个位置上留下了三个空位，
又因为，，必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，
所以个数． 

【解析】分含有和不含两种情况，结合分步乘法计数原理求解即可；
由于，，不能交换位置，故计算出，，三个数排六个位置有多少种排法即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

19.【答案】解：，
．
由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为：：：：，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；
在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，，，，；
；
；
；
的分布列为：

数学期望．
用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，当时，取得最大值． 

【解析】根据频率和为，可构造方程求得的值；
根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；
根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果．
本题考查离散型随机变量的数学期望与方差相关知识，属于中档题．
 

20.【答案】解：的定义域为．
当，，

令，，可得，令，
，可得或
函数的单调减区间为，，单调增区间为
时，函数取得极小值为；时，函数确定极大值为；
，，令，
若，则，
，
，
在区间上单调递减．
当时，在上单调递减，在上的最大值为，
，令，得．
当时，，单调递减，时，，单调递增，
在上的最小值为，
由题意可知，解得，
又，实数的取值范围为． 

【解析】求导函数，确定函数的单调性，即可得到函数的极值；
存在，，使，转化为在上的最大值大于的最小值，进而转化为求、在上的最大值、最小值问题．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的极值与最值，考查存在性问题，属于中档题．
 

21.【答案】解：设，，
，，，，
所以，，
所以关于的经验回归直线方程为，
所以，
所以关于的经验回归方程为．
设该校不是会员时，网课效果得分为，则的所有可能取值为，，，，
，，，，
故的分布列为：

；
设该校是会员时，网课效果得分为，则的所有可能取值为，，，，
，，，，
故的分布列为：

所以；
因为，所以该校充值为会员后，网课效果得分的数学期望有了提高． 

【解析】根据题中数据和公式求回归方程；
根据题意分别求充值前、后的分布列与期望，比较大小分析理解．
本题考查回归方程的求解，考查离散型随机变量的期望，是中档题．
 

22.【答案】解：若，则，定义域为，
方程，可得，设，则，
由，可得，由，可得，
故在上单调递减，在上单调递增，所以，
故方程的解为．
证明：令，得，设，，
由，可得，由，可得，
故在单调递增，在单调递减，，
当时，，当时，，若有两个零点，则，故，
，令，得，
设，则，由，可得，
故H在上单调递增，在上单调递减，，
当时，，当时，，
若有两个极值点，则，
综上，，
不妨令，因为且，由与图象得，

由，为的两根得，，
两式分别乘，并整理得号，，
所以，
要证，，
即证，
由于，所以，
只需证，即证，
令，
，所以在上单调递减，
所以，故，得证． 

【解析】，用导数研究的单调性与极值，只有在极值点处满足；
由及分别有两个零点，分离参数，数形结合得到的取值范围，由消去，代入得，结合进一步转化为证明，结合的范围，考察的最值得证．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．