2024-2025学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若(2−i)z=2i3，则z⋅z−=( )
A. 45B. 2 55C. 1225D. 1625
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是( )
A. 矩形的直观图是矩形B. 三角形的直观图是三角形
C. 相等的角在直观图中仍然相等D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等
3.某县有高中生2000人，初中生3000人，小学生4000人，幼儿园学生1500人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30人，则抽出的幼儿园学生人数为( )
A. 15B. 20C. 30D. 40
4.如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E是线段AD上靠近D的三等分点，则BE=( )
A. −23AB+13AC
B. −56AB+16AC
C. 23AB+13AC
D. 56AB−16AC
5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊥β，则m//α
B. 若m⊥α，m//n，α//β，则n⊥β
C. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
6.已知正四棱台的上、下底边长分别为 2和3 2，高为2 2，则该棱台外接球的体积为( )
A. 16πB. 25πC. 27πD. 36π
7.甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为34，乙答对的概率为23，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为( )
A. 118B. 116C. 1148D. 1348
8.已知点G是边长为3的正三角形ABC所在平面内的一点，满足GA+GB+GC=0，过点G的动直线分别交线段AB，BC于点E，F，则△BEF面积的最大值为( )
A. 4 35B. 3C. 9 38D. 5 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.掷一枚骰子，记事件A为掷出的点数小于4，事件B为掷出奇数点，则下列说法错误的是( )
A. P(A)=23B. P(A∪B)=23
C. 事件A与事件B对立D. 事件A与事件B不相互独立
10.在△ABC中，BC=2，D为BC中点，AD= 2，以下结论正确的是( )
A. 若AB= 2，则AC=4B. △ABC的面积的最大值是 2
C. AB2+AC2=6D. △ABC的周长可能是6
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，R分别为AB，BC，C1D1的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线A1Q与C1P是异面直线
B. 直线PR与D1Q所成的角为π4
C. 若三棱锥Q−C1CP的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为14π
D. 过点Q且与直线AC1垂直的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面多边形的面积为3 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校10位同学参加数学竞赛的成绩(单位：分)为：72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个数据的第25百分位数为______．
13.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=4，且z1+z2=2 3+2i，则|z1−z2|= ______．
14.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs2A+sin2B+sinBsinC=1，则sinA−1tanA+1tanB的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(1,2)，b=(−1,3)．
(1)求向量a在向量b方向的投影向量的坐标；
(2)若(2a+kb)⊥(3a−b)，求实数k的值；
(3)若a+λb与3a+b所成的角为锐角，求实数λ的取值范围．
16.(本小题15分)
从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3．
(1)求第六组的频率；
(2)估计该校男生身高的中位数；
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为m，n，记|m−n|>5为事件ξ，求事件ξ的概率P(ξ)．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PCD，AD//BC，PD⊥PB．
(1)求证：平面PAD⊥平面PBC；
(2)若AD=1，PD=2，CD=3，BC=4，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2a+c=2bcsC．
(1)求B；
(2)△ABC所在平面内一点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，若b=2 3，求△AOC的周长的最大值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点.对于任意相邻三点都不共线的有序整点列A(n)：A1，A2，⋯，An与B(n)：B1，B2，⋯，Bn，其中n≥3，若同时满足：
①两个点列的起点和终点分别相同；
②AiAi+1⊥BiBi+1，其中i=1，2，⋯，n−1．
则称A(n)与B(n)互为正交点列．
(1)判断A(3)：A1(0,0)，A2(1,2)，A3(3,0)与B(3)：B1(0,0)，B2(2,−1)，B3(3,0)是否互为正交点列，并说明理由；
(2)已知P(4)：P1(0,0)，P2(2,2)，P3(4,0)，P4(6,2)与Q(4)：Q1，Q2，Q3，Q4互为正交点列．
(i)求Q2Q3；
(ii)若Q2的横、纵坐标都取自集合M={−2,−1,0,1,2}，写出所有符合条件的有序整点列Q(4)．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：若(2−i)z=2i3，
则z=2i32−i=2i3(2+i)(2−i)(2+i)=−2i(2+i)4−i2=2−4i5=25−45i，
则z⋅z−=(25−45i)(25+45i)=(25)2−(45)2i2=45．
故选：A．
根据复数的除法及乘法计算求解即可．
本题主要考查复数的除法及乘法计算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行；
对于线段长度，x轴方向线段长度不变，y轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等；
原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，
对于A，矩形的直观图为平行四边形，故A错误；
对于B，三角形的直观图是三角形，故B正确；
对于C，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误；
对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误．
故选：B．
由斜二测画法逐一判断即可．
本题主要考查斜二测画法，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，分层抽样的抽取比例为303000=1100，
若抽出的初中生为30人，则幼儿园应抽取的学生人数为1500×1100=15人．
故选：A．
计算分层抽样的抽取比例乘以样本容量可得答案．
本题考查分层抽样的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为D为线段BC的中点，则AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12(AC−AB)
=12AB+12AC，
因为点E是线段AD上靠近D的三等分点，则AE=23AD=23(12AB+12AC)=13AB+13AC，
因此，BE=AE−AB=13AB+13AC−AB=−23AB+13AC．
故选：A．
将AE用AB、AC表示，然后利用平面向量的减法可得出BE关于AB、AC的表达式．
本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：对于选项A，若α⊥β，m⊥β，则m⊂α或m/​/α，故选项A错误；
对于选项B，若m⊥α，m/​/n，α/​/β，则n⊥α，n⊥β，故选项B正确；
对于选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，不能得出n⊥α，故不能得出α⊥β，故选项C错误；
对于选项D，若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，还需要加上m，n相交才能得出α/​/β，如果m//nα，β不一定平行，故选项D错误．
故选：B．
根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可．
本题考查空间线面位置关系的判断，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由已知，上下底面正方形外接圆半径依次为12× 2× 2=1,12×3 2× 2=3，
根据对称性可知，该棱台外接球的球心在棱台上下底面外接圆的圆心的连线上，
设该棱台外接球的球心O到上底面的距离为ℎ，该棱台外接球的半径为R，
所以R2=1+ℎ2=9+(2 2−ℎ)2，解得ℎ=2 2,R=3，
故所求为43×π×33=36π．
故选：D．
只需求出该棱台外接球的半径，再结合球的体积公式求解即可．
本题主要考查棱台的外接球，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由于“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰，
所以龙队：可能前两轮没有用通行卡，
也可能前两轮中有一轮用了一次通行卡，且第三轮都答错了，
故所求概率为：[(34×23)2+(34×23)×(14×23+34×13)×2]×14×13=118．
故选：A．
由题意知，可能前两轮没有用通行卡，也可能前两轮中有一轮用了一次通行卡，且第三轮都答错了，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可．
本题考查相互独立事件和互斥事件恰有一个发生的概率计算等，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：取AC的中点为M，
由GA+GB+GC=0，
因此BG=GA+GC=2GM，
因此BG=23BM=23×12×(BA+BC)=13BA+13BC，①
设BE=λBA，λ∈[0,1]，BF=μBC，μ∈[0,1]，EG=mEF，
则BG=BE+EG=BE+m(BF−BE)=(1−m)BE+mBF=(1−m)λBA+mμBC，②
因此结合①和②可得(1−m)λ=13mμ=13，整理得λ=μ3μ−1，
又λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则0≤μ3μ−1≤1，得3μ−1>0，且μ≤3μ−1，解得12≤μ≤1，
又因为△ABC是边长为3的正三角形，则|BA|=|BC|=3，B=π3，
S=12⋅|BE|⋅|BF|⋅sinB=12⋅|λBA|⋅|μBC|⋅sinB=9 34λμ=9 34×μ23μ−1，
令t=3μ−1，μ∈[12,1]，则μ=t+13，
μ23μ−1=(t+1)29t=19(2+t+1t)，t∈[12,2]，
当t=2时，t+1t取得最大值，且最大值为52，
因此△BEF面积的最大值为Smax=9 34×19(2+52)=9 38．
故选：C．
取AC的中点为M，设BE=λBA，BF=μBC，EG=mEF，则根据向量的线性运算可得λ=μ3μ−1，再根据三角形的面积公式及向量的数乘运算可得△BEF的面积为S=9 34×μ23μ−1，再结合对勾函数的性质即可求解．
本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由题意所有的样本点为：1，2，3，4，5，6，共6个，
事件A中的样本点为：1，2，3，共3个，事件B中的样本点为：1，3，5，共3个，
对于A，P(A)=36=12，故A错误；
对于B，A∪B={1,2,3,5}，P(A∪B)=46=23，故B正确；
对于C，A∩B={1,3}≠⌀，故C错误；
对于D，因为P(A)=P(B)=36=12,P(AB)=26=13，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，故D正确．
故选：AC．
由古典概型概率计算公式验算AB，由对立的定义判断C，由独立事件的定义判断D．
本题考查概率的乘法公式等，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：A选项，根据题意可知，在△ABC中，BC=2，D为BC中点，BD=1,AB= 2,AD= 2，
在△BAD中，根据余弦定理可知，csB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD=2+1−22× 2×1= 24，
在△ABC中，根据余弦定理，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=2+4−2× 2×2× 24=4，
即AC=2，∴A选项不正确；
B选项，根据三角形面积公式可知，S△ABC=12BC⋅ℎ=12×2ℎ=ℎ≤AD= 2，
当AD⊥BC时，等号成立，∴B选项正确；
C选项，根据AC−AB=BC,AB+AC=2AD，
∴AB2+AC2−2AB⋅AC=BC2AB2+AC2+2AB⋅AC=4AD2⇒2(|AB|2+|AC|2)=|BC|2+4|AD|2⇒|AB|2+|AC|2=6，∴C选项正确；
D选项，根据C可知，AB2+AC2=6，∴(AB+AC2)2≤AB2+AC22=3，∴AB+AC≤2 3，
当且仅当AB=AC= 3时，等号成立，又AB+AC≤2 3