2026届高考数学一轮总复习提能训练练案45空间的角和距离问题

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案45空间的角和距离问题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2024·陕西部分学校联考)如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D，E分别为SO，SB的中点，OC⊥AB，SO＝AB＝4，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(5),3) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(2),4)
[答案] C
[解析] 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(0,0,2)，E(0，－1,2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，－2,2)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(－2，－1，2)，cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AD,\s\up6(→))·\(CE,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))||\(CE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2).
2．(2025·河南郑州阶段测试)已知空间三点A(3,2,0)，B(3,2,2)，C(3,0,1)，则C到直线AB的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．eq \r(5)
[答案] B
[解析] eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，－2,1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,0,2)，
则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，
所以cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(5),5)，
则sin〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \r(1－cs2〈\(AC,\s\up6(→))，\(AB,\s\up6(→))〉)＝eq \f(2\r(5),5)，
所以C到直线AB的距离为|eq \(AC,\s\up6(→))|sin〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \r(5)×eq \f(2\r(5),5)＝2.故选B.
3．(2024·河南许昌中学定位考试)如图，在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为( )
A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(6),6)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(6),3)
[答案] A
[解析] 解法一：设PA＝PB＝PC＝2，则AF＝eq \r(6)，VF－PAE＝eq \f(1,4)VP－ABC＝eq \f(1,3).又PF＝PE＝EF＝eq \r(2)，∴S△PEF＝eq \f(\r(3),2)，设A到平面PEF的距离为d，则eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)d＝eq \f(1,3)，∴d＝eq \f(2\r(3),3).记AF与平面PEF所成角为θ，则sin θ＝eq \f(d,AF)＝eq \f(\r(2),3).故选A．
解法二：因为PA，PB，PC两两垂直，所以以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝PB＝PC＝2，则P(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，E(1,1,0)，F(0,1,1)，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝(－2,1,1)，eq \(PE,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(PF,\s\up6(→))＝(0,1,1)．设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PE,\s\up6(→))＝x＋y＝0，,n·\(PF,\s\up6(→))＝y＋z＝0，))取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以平面PEF的一个法向量为n＝(1，－1,1)．设直线AF与平面PEF所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈eq \(AF,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\(AF,\s\up6(→))·n|,|\(AF,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(2,\r(3)×\r(6))＝eq \f(\r(2),3).故选A．
4．(2024·广东江门一中阶段测试)已知平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，A(1,0，－1)，B(0，－1,1)，且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(6),6)
C．eq \f(\r(3),3) D．1
[答案] B
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1,2)，又平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，∴点A到平面α的距离为eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(6),6)， 故选B.
5．(2025·辽宁师大附中测试)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为棱CC1中点，F为正方形A1B1C1D1内(含边界)的动点，若MF⊥AM，则动点F的轨迹长度为( )
A．eq \r(2) B．2eq \r(2)
C．eq \f(π,2) D．π
[答案] A
[解析] 如图建立空间直角坐标系，设F(x，y,4)，
则A(4,0,0)，M(0,4,2)，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝(－4,4,2)，eq \(MF,\s\up6(→))＝(x，y－4,2)．
因为MF⊥AM，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(MF,\s\up6(→))＝－4x＋4(y－4)＋2×2＝0，
所以x－y＋3＝0，所以点F的轨迹为上底面中的一条线段．易知点F的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为(0,3,4)，(1,4,4)，
所以动点F的轨迹长度为
eq \r(0－12＋3－42＋4－42)＝eq \r(2)，故选A．
6．(2024·河南新乡模拟)已知圆锥MO的底面半径为eq \r(3)，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－eq \f(9,4) B．－eq \f(3,2)
C．－2 D．－1
[答案] A
[解析] 圆锥MO的底面半径为eq \r(3)，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，则有eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \(OB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
点P在圆锥MO的侧面上运动，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))2＝eq \(OP,\s\up6(→))2－(eq \r(3))2，
|eq \(OP,\s\up6(→))|最小时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))有最小值，|eq \(OP,\s\up6(→))|的最小值为O点到圆锥母线的距离，
Rt△MOA中，OA＝eq \r(3)，OM＝1，则AM＝2，O点到MA的距离OD＝eq \f(OA·OM,AM)＝eq \f(\r(3),2)，
则|eq \(OP,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(\r(3),2)，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2－(eq \r(3))2＝－eq \f(9,4).故选A．
二、多选题
7．(2025·重庆重点中学月考)下列结论正确的是( )
A．两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥β
B．直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量u＝(1,0,2)，则l∥α
C．若eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(0，－4，－8)，则点P在平面ABC内
D．若a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则向量a，b，c也是空间一组基底
[答案] ACD
[解析] 因为u·v＝(2,2，－1)·(－3,4,2)＝－6＋8－2＝0，所以α⊥β，故A正确；
因为直线l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量u＝(1,0,2)，不能确定直线是否在平面内，故B不正确；
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝(0，－4，－8)＝2(2，－1，－4)－(4,2,0)＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共面，即点P在平面ABC内，故C正确；
若a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则对空间任意一个向量d，存在唯一的实数组(x，y，z)，使得d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)，于是d＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，所以a，b，c也是空间一组基底，故D正确．故选ACD.
8．(2025·河北部分学校摸底)已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )
A．A1D与B1D1是异面直线
B．A1D与EF所成角的大小为45°
C．A1F与平面B1EB所成角的余弦值为eq \f(1,3)
D．平面CD1B1与平面D1B1B所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)
[答案] AD
[解析] 因为B1D1⊂平面A1B1C1D1，A1D∩平面A1B1C1D1＝A1，A1∉B1D1，
所以A1D与B1D1是异面直线，故A正确；
以D为原点eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，E(1,2,0)，F(0,1,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)
因为eq \(A1D,\s\up6(→))＝(－2,0，－2)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，
设A1D与EF所成角为θ，
则cs θ＝eq \f(|\(A1D,\s\up6(→))·\(EF,\s\up6(→))|,|\(A1D,\s\up6(→))||\(EF,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,\r(8)×\r(2))＝eq \f(1,2)，
又因为0°