2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第7章立体几何第6讲空间的角与距离第1课时空间的角和距离问题

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类型一 动点问题
1.(2024·福建宁德一中测试)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为( C )
A.eq \f(2\r(5),5) B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \r(5) D．2eq \r(5)
[分析] 由D1O⊥OP知P在过O且垂直D1O的平面内，又P在平面BB1C1C内，故P的轨迹为线段，所以建系确定垂面与棱BB1、CC1的交点M，N，进而求C1到线段MN上点的距离最大值即可．
[解析] 如图建立空间直角坐标系，设M(2,2，a)，N(0,2，b)，又D1(0,0,2)，O(1,1,0)，∴eq \(D1O,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝(1,1，－2)·(1,1，a)＝0，得a＝1，eq \(D1O,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝(1,1，－2)·(－1,1，b)＝0得b＝0，∴M、N分别为BB1的中点和C，P∈MC，显然C1Pmax＝C1M＝eq \r(5)，又C1D1⊥C1P，∴(S△D1C1P)max＝eq \r(5)，故选C.
2．(多选题)(2024·广东调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，N1为A1B1C1D1所在平面上一动点，且NN1⊥平面ABCD，则下列命题正确的是( ACD )
A．若MN与平面ABCD所成的角为eq \f(π,4)，则点N的轨迹为圆
B．若三棱柱NAD－N1A1D1的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆
C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为eq \f(π,3)，则点N的轨迹为双曲线
[解析] 连接DN，因为MD⊥平面ABCD，
所以∠MND是MN与平面ABCD所成的角，
即∠MND＝eq \f(π,4)，因为M为DD1的中点，
所以DN＝MD＝eq \f(1,2)DD1＝2，因此点N的轨迹为以D为圆心半径为2的圆，所以A正确；
过N做EN⊥AD，设三棱柱NAD－N1A1D1的表面积为S，所以S＝2×eq \f(1,2)×4·NE＋(AD＋DN＋AN)·4＝4(4＋DN＋AN＋NE)＝定值，
即N到A、D、直线AD的距离之和为定值，这与椭圆的定义不符合，故B错误；
由BB1⊥BN，即点N到直线BB1为点N到点B的距离，所以点N的轨迹为点N到点B与直线DC的距离相等的轨迹，即抛物线，所以C正确；
分别以DA、DC、DD1所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设N(x，y,0)，则有eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)、eq \(D1N,\s\up6(→))＝(x，y，－4)，因为D1N与AB所成的角为eq \f(π,3)，所以cseq \f(π,3)＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(D1N,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|·|\(D1N,\s\up6(→))|)⇒eq \f(1,2)＝eq \f(|4y|,4·\r(x2＋y2＋16))⇒3y2－x2＝16，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．故选ACD.
名师点拨：
1．动态问题的一般解法
2．立体几何中轨迹问题的解法
(1)利用平行、垂直关系转化为面面交线，或把空间数量关系转化为某平面内的数量关系确定动点轨迹．
(2)若动点与定点的连线与定直线所成角为定值，则动点形成圆锥侧面，可通过分析平面与圆锥母线及轴的位置关系确定动点在该平面内的轨迹．
(3)建立直角坐标系，求得轨迹方程进行判断．
类型二 翻折问题
(多选题)(2024·广东佛山S7联考)如图甲，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为AB上一动点(不含端点)，且满足将△AED沿DE折起后，点A在平面DCBE上的射影F总在棱DC上，如图乙，则下列说法正确的有( ACD )
A．翻折后总有BC⊥AD
B．当EB＝eq \f(1,2)时，翻折后异面直线AE与BC所成角的余弦值为eq \f(1,3)
C．当EB＝eq \f(1,2)时，翻折后四棱锥A－DCBE的体积为eq \f(5\r(5),36)
D．在点E运动的过程中，点F运动的轨迹长度为eq \f(1,2)
[解析] 在图乙中，因为点A在平面DCBE上的射影F在棱DC上，所以AF⊥平面DCBE，又BC⊂平面DCBE，所以AF⊥BC，又BC⊥DC，AF∩DC＝F，AF，DC⊂平面ADC，所以BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，所以BC⊥AD，故A正确；如图，在图乙中作EP⊥DC于P，连接AP，则EP∥BC，所以AE与BC所成角即为AE与EP所成角，又由BC⊥平面ADC可得EP⊥平面ADC，所以EP⊥AP而EP＝1，AE＝2－BE＝eq \f(3,2)，则cs∠AEP＝eq \f(2,3)，即AE与BC所成角的余弦值为eq \f(2,3)，故B错误；如上图，在图乙中作FG⊥DE于G，连接AG，则由AF⊥平面DCBE可得AF⊥DE，又FG∩AF＝F，FG，AF⊂平面AGF，所以DE⊥平面AGF，又AG⊂平面AGF，则DE⊥AG，
在图甲中，如图，作AG⊥DE，则A，G，F三点共线，设AE＝x，DF＝y，则由△DFA∽△ADE可得eq \f(DF,AD)＝eq \f(AD,EA)，即eq \f(y,1)＝eq \f(1,x)，又在图乙中有AF＝eq \r(AD2－DF2)＝eq \r(1－y2)>0，所以y∈(0,1)，所以x＝eq \f(1,y)>1，而x＝AE∈(0,2)，所以x∈(1,2)，y＝eq \f(1,x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，故D正确；当EB＝eq \f(1,2)时，x＝eq \f(3,2)，则y＝eq \f(2,3)，所以AF＝eq \r(AD2－DF2)＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，则VA－DCBE＝eq \f(1,3)·eq \f(EB＋DC·BC,2)·AF＝eq \f(\f(1,2)＋2,6)×eq \f(\r(5),3)＝eq \f(5\r(5),36)，故C正确．故选ACD.
名师点拨：立体几何中的翻折问题的处理策略
1．明确翻折前后变与不变的量，翻折前后在同一面内的量不发生变化，翻折前后不在同一面内的量发生变化；
2．翻折后变化的量的大小要进行推理计算证明，不能从图形中凭感觉主观判断；
3．翻折后不易计算的量，可以回归到翻折前的图形中计算．
【变式训练】
1．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 ①③④ .
①翻折到某个位置，使得DA1⊥EC
②翻折到某个位置，使得AC⊥平面A1DE
③四棱锥A1－DCBE体积的最大值为eq \f(\r(2),4)
④点M在某个球面上运动
[解析] 对于①，由题知A1D⊥A1E，若存在某个位置使得DA1⊥EC，由于A1E∩EC＝E，A1E，EC⊂平面A1EC，所以A1D⊥平面A1EC，又A1C⊂平面A1EC，即A1D⊥A1C，由于AB＝2AD＝2，故A1C＝eq \r(3)，由于在折叠过程中，A1C∈(1，eq \r(5))，所以存在某个位置，使得A1C＝eq \r(3)，故存在某个位置，使得DA1⊥EC，故①正确；对于②，若存在某个位置，使得AC⊥平面A1DE，因为DE⊂平面A1DE，所以AC⊥DE，另一方面，在矩形ABCD中，∠AED＝eq \f(π,4)，∠CAE≠eq \f(π,4)，故AC⊥DE不成立，所以②错误；对于③，四棱锥A1－DCBE体积最大时，平面A1DE⊥平面ABCD，由于△A1DE是等腰直角三角形，所以此时点A1到平面DCBE的距离为eq \f(\r(2),2)，所以四棱锥A1－DCBE体积的最大值为V＝eq \f(1,3)SBCDE·eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(2＋1)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),4)，故③正确；对于④，取DC中点O，连接OM，由于M为线段A1C的中点，所以OM∥A1D，OM＝eq \f(1,2)A1D＝eq \f(1,2)，所以M在以点O为球心的球面上，故④正确．故答案为①③④.
2. (多选题)(2024·福建福州八中质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的有( ABD )
A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
D．三棱锥D1－APC的体积不变
[解析] 对于A，易知B1D⊥平面ACD1，B1D⊂平面PB1D，从而平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；对于B，易知平面BA1C1∥平面ACD1，A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；对于C，A1P与AD1所成角即为A1P与BC1的所成角，BA1＝BC1＝A1C1，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值eq \f(π,3)，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值eq \f(π,2)，故A1P与AD1所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故C不正确；对于D，由选项B得BC1∥平面ACD1，故BC1上任意一点到平面ACD1的距离均相等，所以以P为顶点，△ACD1为底面，则三棱锥P－ACD1的体积不变，又VD1－APC＝VP－AD1C，所以三棱锥D1－APC的体积不变，故D正确．故选ABD.